第1篇建立数学模型 随着科学技术的迅速发展,数学模型这个词汇越来越多地出现在现代人的生产、 工作和社会活动中。电气工程师必须建立所要控制的生产过程的数学模型,用这个模 型对控制装置作出相应的设计和计算,才能实现有效的过程控制。气象工作者为了得 到准确的天气预报,一刻也离不开根据气象站、气象卫星汇集的气压、雨量、风速等 资料建立的数学模型。生理医学专家有了药物浓度在人体内随时间和空间的变化的数 学模型,就可以分析药物的疗效,有效地指导临床用药。城市规划工作者需要建立 个包括人口、经济、交通、环境等大系统的数学模型,为领导层对城市发展规划的决 策提供科学根据。厂长经理们要是能够根据产品的需求状况、生产条件和成本、贮存 费用等信息,筹划出一个合理安排生产和销售的数学模型,一定可以获得更大的经济 效益。就是在日常活动如访友、采购当中,人们也会谈论找一个数学模型,优化一下 出行的路线。对于广大的科学技术人员和应用数学工作者来说,建立数学模型是沟通 摆在面前的实际问题与他们掌握的数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁 本章作为全书的导言和数学模型的概述,主要讨论建立数学模型的意义、方法和 步骤,给读者以建立数学模型的全面的、初步的了解。§1介绍现实对象和它的模型 的关系,给出一些模型形式,说明什么是数学模型;§2阐述建立数学模型的重要意 义:§3节通过几个示例说明用数学语言和数学方法表述和解决实际问题,即建立数 学模型的过程:§4述建立数学模型的一般方法和步骤:§5介绍数学模型的特点及 数学模型的分类;§6论建立数学模型能力的培养。 §1从现实对象到数学模型 人类生活在丰富多彩、变化万千的现实世界里,无时无刻不在运用智慧和力量去 认识、利用、改造这个世界,从而不断地创造出日新月异、五彩缤纷的物质文明和精 神文明。博览会常常是集中展示这些成果的场所之一,那些五光十色、精美绝伦的展
1 第 1 篇 建立数学模型 随着科学技术的迅速发展，数学模型这个词汇越来越多地出现在现代人的生产、 工作和社会活动中。电气工程师必须建立所要控制的生产过程的数学模型，用这个模 型对控制装置作出相应的设计和计算，才能实现有效的过程控制。气象工作者为了得 到准确的天气预报，一刻也离不开根据气象站、气象卫星汇集的气压、雨量、风速等 资料建立的数学模型。生理医学专家有了药物浓度在人体内随时间和空间的变化的数 学模型，就可以分析药物的疗效，有效地指导临床用药。城市规划工作者需要建立一 个包括人口、经济、交通、环境等大系统的数学模型，为领导层对城市发展规划的决 策提供科学根据。厂长经理们要是能够根据产品的需求状况、生产条件和成本、贮存 费用等信息，筹划出一个合理安排生产和销售的数学模型，一定可以获得更大的经济 效益。就是在日常活动如访友、采购当中，人们也会谈论找一个数学模型，优化一下 出行的路线。对于广大的科学技术人员和应用数学工作者来说，建立数学模型是沟通 摆在面前的实际问题与他们掌握的数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁。 本章作为全书的导言和数学模型的概述，主要讨论建立数学模型的意义、方法和 步骤，给读者以建立数学模型的全面的、初步的了解。§1 介绍现实对象和它的模型 的关系，给出一些模型形式，说明什么是数学模型；§2 阐述建立数学模型的重要意 义；§3 节通过几个示例说明用数学语言和数学方法表述和解决实际问题，即建立数 学模型的过程；§4 述建立数学模型的一般方法和步骤；§5 介绍数学模型的特点及 数学模型的分类；§6 论建立数学模型能力的培养。 §1 从现实对象到数学模型 人类生活在丰富多彩、变化万千的现实世界里，无时无刻不在运用智慧和力量去 认识、利用、改造这个世界，从而不断地创造出日新月异、五彩缤纷的物质文明和精 神文明。博览会常常是集中展示这些成果的场所之一，那些五光十色、精美绝伦的展
品给我们留下了深刻的印象。工业博览会上,豪华、舒适的新型汽车叫人赞叹不已 农业博览会上,硕大、娇艳的各种水果令人流连忘返:科技展览厅里,大型水电站模 型雄伟壮观,人造卫星模型高高耸立,清晰的数字和图表显示着电力工业的迅速发展 和整面墙壁一样大的地图上鲜明地标出了新建的铁路和新辟的航线,核电站工程的彩 色巨照前,手持原子结构模型的讲解员深入浅出地介绍反应堆的运行机理:电影演播 室里,播放着一部现代化炼钢厂实现生产自动控制的科技影片,其中既有火花四溅的 钢坯浇铸情景,也有展示计算机管理和控制的框图、公式和程序 参观博览会,像汽车、水果那些原封不动地从现实世界搬到展厅里的物品固然给 人以亲切真实的感受,可是从开阔眼界、丰富知识的角度看,电站、卫星、铁路、钢 ∫……这些在现实世界被人们认识、构造、控制的对象,以它们的各种形式的模型一 一实物模型、照片、图表、公式、程序……汇集在人们面前,这些模型在短短几小时 里所起的作用,恐怕是置身现实世界多少天也无法做到的。 与形形色色的模型相对应,它们在显示世界里的原始参照物通称为原型。本节先 讨论原型和模型,特别是数学模型的关系,再介绍数学模型的意义。 原型和模型原型( Prototype)和模型(Mode)是一对对偶体,原型指人们在现实世界 里关心、硏究或者从事生产、管理的实际对象。在科技领域通常使用系统( System)、 过程( Process等词汇、如机械系统、电力系统、生态系统、生命系统、社会经济系统, 又如钢铁冶炼过程、导弹飞行过程、化学反应过程、污染扩散过程、生产销售过程、 计划决策过程等。本书所述的现实对象、研究对象、实际问题等均指原型。模型则指 为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。 这里特别强调构造模型的目的性。模型不是原型原封不动的复制品,原型有各个 方面的各种层次的特征,而模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次。一个 原型,为了不同的目的可以有许多不同的模型。如放在展厅里的飞机模型应该在外形 上逼真,但是不一定会飞。而参加航模竞赛的模型飞机要具有良好的飞行性能,在外 观上不必苛求。至于在飞机设计、试制过程中用到的数学模型和计算机模拟,则只要 在数量规律上真实反映飞机动态特性,毫不涉及飞机的实体。所以模型的基本特征是
2 品给我们留下了深刻的印象。工业博览会上，豪华、舒适的新型汽车叫人赞叹不已； 农业博览会上，硕大、娇艳的各种水果令人流连忘返；科技展览厅里，大型水电站模 型雄伟壮观，人造卫星模型高高耸立，清晰的数字和图表显示着电力工业的迅速发展， 和整面墙壁一样大的地图上鲜明地标出了新建的铁路和新辟的航线，核电站工程的彩 色巨照前，手持原子结构模型的讲解员深入浅出地介绍反应堆的运行机理；电影演播 室里，播放着一部现代化炼钢厂实现生产自动控制的科技影片，其中既有火花四溅的 钢坯浇铸情景，也有展示计算机管理和控制的框图、公式和程序。 参观博览会，像汽车、水果那些原封不动地从现实世界搬到展厅里的物品固然给 人以亲切真实的感受，可是从开阔眼界、丰富知识的角度看，电站、卫星、铁路、钢 厂……这些在现实世界被人们认识、构造、控制的对象，以它们的各种形式的模型— —实物模型、照片、图表、公式、程序……汇集在人们面前，这些模型在短短几小时 里所起的作用，恐怕是置身现实世界多少天也无法做到的。 与形形色色的模型相对应，它们在显示世界里的原始参照物通称为原型。本节先 讨论原型和模型，特别是数学模型的关系，再介绍数学模型的意义。 原型和模型 原型(Prototupe)和模型(Model)是一对对偶体，原型指人们在现实世界 里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。在科技领域通常使用系统(System)、 过程(Process)等词汇、如机械系统、电力系统、生态系统、生命系统、社会经济系统， 又如钢铁冶炼过程、导弹飞行过程、化学反应过程、污染扩散过程、生产销售过程、 计划决策过程等。本书所述的现实对象、研究对象、实际问题等均指原型。模型则指 为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。 这里特别强调构造模型的目的性。模型不是原型原封不动的复制品，原型有各个 方面的各种层次的特征，而模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次。一个 原型，为了不同的目的可以有许多不同的模型。如放在展厅里的飞机模型应该在外形 上逼真，但是不一定会飞。而参加航模竞赛的模型飞机要具有良好的飞行性能，在外 观上不必苛求。至于在飞机设计、试制过程中用到的数学模型和计算机模拟，则只要 在数量规律上真实反映飞机动态特性，毫不涉及飞机的实体。所以模型的基本特征是
由构造模型的目的决定的。 我们已经看到模型有各种形式。用模型替代原型的方式来分类,模型可以分为物 质樸型(形象模型)和理想模型(抽象模型)。前者包括直观模型、物理模型等,后 者包括思维模型、符号模型、数学模型等 直观模型指那些供展览用的实物模型,以及玩具、照片等,通常是把原型的尺 寸按比例缩小或放大,主要追求外观上的逼真。这类模型的效果是一目了然的 物理模型主要指科技工作者为一定目的根据相似原理构造的模型,它不仅可以 显示原型的外形或某些特征,而且可以用来进行模拟实验,间接地研究原型的某些规 律。如波浪水箱中的舰艇模型用来模拟波浪冲击下舰艇的航行性能,风洞中的飞机模 型用来试验飞机在气流中的空气动力学特性。有些现象直接用原型研究非常困难,更 可借助于这类模型,如地震模拟装置、核爆炸反应模拟设备等。应注意验证原型与模 型间的相似关系,以确定模拟实验结果的可靠性。物理模型常可得到实用上很有价值 的结果,但也存在成本高、时间长、不灵活等缺点。 思维模型指通过人们对原型的反复认识,将获取的知识以经验形式直接贮存于 人脑中,从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。如汽车司机对方向盘的操纵、一 些技艺性较强的工种(如钳工)的操作,大体上是靠这类模型进行的。通常说的某些 领导者凭借经验作决策也是如此。思维模型便于接受,也可以在一定条件下获得满意 的结果,但是它往往带有模糊性、片面性、主观性、偶然性等缺点,难以对它的假设 条件进行检验,并且不便于人们的互相沟通 符号模型是在一些约定或假设下借助于专门的符号、线条等,按一定形式组合 起来描述原型。如地图、电路图、化学结构式等,具有简明、方便、目的性强及非量 化等特点。 本书要专门讨论的数学模型则是由数字、字母或其它数学符号组成的,描述现实 对象数量规律的数学公式、图形或算法。 什么是数学模型其实你早在学习初等代数的时候就已经碰到过数学模型了。当 然其中许多问题是老师为了教会学生知识而人为设置的。譬如你一定解过这样的所谓
3 由构造模型的目的决定的。 我们已经看到模型有各种形式。用模型替代原型的方式来分类，模型可以分为物 质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后 者包括思维模型、符号模型、数学模型等。 直观模型 指那些供展览用的实物模型，以及玩具、照片等，通常是把原型的尺 寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真。这类模型的效果是一目了然的。 物理模型 主要指科技工作者为一定目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以 显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规 律。如波浪水箱中的舰艇模型用来模拟波浪冲击下舰艇的航行性能，风洞中的飞机模 型用来试验飞机在气流中的空气动力学特性。有些现象直接用原型研究非常困难，更 可借助于这类模型，如地震模拟装置、核爆炸反应模拟设备等。应注意验证原型与模 型间的相似关系，以确定模拟实验结果的可靠性。物理模型常可得到实用上很有价值 的结果，但也存在成本高、时间长、不灵活等缺点。 思维模型 指通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验形式直接贮存于 人脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。如汽车司机对方向盘的操纵、一 些技艺性较强的工种（如钳工）的操作，大体上是靠这类模型进行的。通常说的某些 领导者凭借经验作决策也是如此。思维模型便于接受，也可以在一定条件下获得满意 的结果，但是它往往带有模糊性、片面性、主观性、偶然性等缺点，难以对它的假设 条件进行检验，并且不便于人们的互相沟通。 符号模型 是在一些约定或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合 起来描述原型。如地图、电路图、化学结构式等，具有简明、方便、目的性强及非量 化等特点。 本书要专门讨论的数学模型则是由数字、字母或其它数学符号组成的，描述现实 对象数量规律的数学公式、图形或算法。 什么是数学模型 其实你早在学习初等代数的时候就已经碰到过数学模型了。当 然其中许多问题是老师为了教会学生知识而人为设置的。譬如你一定解过这样的所谓
“航行问题” 甲乙两地相距750km,船从甲到乙顺水航行需30h,从乙到甲逆水航行需50h, 问船速、水速各若干? 用x,y分别代表船速和水速,可以列出方程 (x+y)-30=750,(x-y)50=750 实际上,这组方程就是上述航行问题的数学模型。列出方程,原问题已转化为纯粹的 数学问题。方程的解x=20kmh,y=5km/h,最终给出了航行问题的答案。 当然,真正实际问题的数学模型通常要复杂得多,但是建立数学模型的基本内容 已经包含在解这个代数应用题的过程中了。那就是:根据建立数学模型的目的和问题 的背景做出必要的简化假设(航行中设船速和水速为常数);用字母表示待求的未知 量(x,y代表船速和水速);利用相应的物理或其它规律(匀速运动的距离等于速 度乘以时间),列出数学式子(二元一次方程组);求出数学上的解答(x=20,y=5); 用这个答案解释原问题(船速和水速分别为20km/h和5km/h):最后还要用实际现象 来验证上述结果。 般地说,数学模型可以描述为,对于现实世界的一个特定对象,为了一个特定 目的,根据特有的内在规律,做出一些必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到 的一个数学结构。 需要指出,本书的重点不在于介绍现实对象的数学模型( Mathematical model)是什 么样子,而是要讨论建立数学模型( Mathematical Modelling)的全过程,建立数学模型 下面简称为数学建模或建模。 与数学建模有密切关系的数学模拟,主要指运用数字式计算机的计算机模拟 ( Computer Simulation)。它根据实际系统或过程的特性,按照一定的数学规律用计算机 程序语言模拟实际运行状况,并依据大量模拟结果对系统或过程进行定量分析。例如 通过各种工件在不同机器上按一定工艺顺序加工的模拟,可以分析车辆在路段上的分 布特别是堵塞的状况,与用物理模型的模拟实验相比,计算机模拟有明显的优点;成
4 “航行问题”： 甲乙两地相距 750 km，船从甲到乙顺水航行需 30 h，从乙到甲逆水航行需 50 h， 问船速、水速各若干？ 用 x ， y 分别代表船速和水速，可以列出方程 (x + y)30 = 750， (x − y)50 = 750 实际上，这组方程就是上述航行问题的数学模型。列出方程，原问题已转化为纯粹的 数学问题。方程的解 x = 20 km/h， y = 5 km/h，最终给出了航行问题的答案。 当然，真正实际问题的数学模型通常要复杂得多，但是建立数学模型的基本内容 已经包含在解这个代数应用题的过程中了。那就是：根据建立数学模型的目的和问题 的背景做出必要的简化假设（航行中设船速和水速为常数）；用字母表示待求的未知 量（ x， y 代表船速和水速）；利用相应的物理或其它规律（匀速运动的距离等于速 度乘以时间），列出数学式子（二元一次方程组）；求出数学上的解答（ x = 20 ，y = 5 ）； 用这个答案解释原问题（船速和水速分别为 20 km/h 和 5 km/h）；最后还要用实际现象 来验证上述结果。 一般地说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定 目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到 的一个数学结构。 需要指出，本书的重点不在于介绍现实对象的数学模型(Mathematical Model)是什 么样子，而是要讨论建立数学模型(Mathematical Modelling)的全过程，建立数学模型 下面简称为数学建模或建模。 与数学建模有密切关系的数学模拟，主要指运用数字式计算机的计算机模拟 (Computer Simulation)。它根据实际系统或过程的特性，按照一定的数学规律用计算机 程序语言模拟实际运行状况，并依据大量模拟结果对系统或过程进行定量分析。例如 通过各种工件在不同机器上按一定工艺顺序加工的模拟，可以分析车辆在路段上的分 布特别是堵塞的状况，与用物理模型的模拟实验相比，计算机模拟有明显的优点；成
本低、时间短、重复性高、灵活性强。有人把计算机模拟作为建立数学模拟的手段之 但是数学模拟在某种意义下描述了对象内在特性的数量关系,其结果容易推广, 特别是得到了解析形式答案时,更容易推广。而计算机模拟则完全模仿对象的实际演 变过程,难以从得到的数字结果分析对象的内在规律。当然,对于那些因内部机理过 于复杂,目前尚难以建立数学模型的实际对象,用计算机模拟获得一些定量结果,可 称是解决问题的有效手段。 §2数学建模的重要意义 数学,作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学,在它产生和发展的历 史长河中,一直是和人们生活的实际需要密切相关的。作为用数学方法解决实际问题 的第一步,数学建模自然有着与数学同样悠久的历史。两千多年以前创立的欧几里德 几何,17世纪发现的牛顿万有引力定律,都是科学发展史上数学建模的成功范例。 进入20世纪以来,随着数学以空间的广度和深度向一切领域的渗透,和电子计 算机的出现与飞速发展,数学建模越来越受到人们的重视,可以从以下几方面来看数 学建模在现实世界中的重要意义 1)在一般工程技术领域,数学建模仍然大有用武之地 在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水利等 工程技术领域中,数学建模的普遍性和重要性不言而喻。虽然这里的基本模型是已有 的,但是由于新技术、新工艺的不段涌现,提出了许多需要用数学方法解决的新问题 高速、大型计算机的飞速发展,使得过去即便有了数学模型也无法求解的课题(如大 型水坝的应力计算,中长期天气预报等)迎刃而解;建立在数学模型和计算机模拟基 础上的CAD技术,以其快速、经济、方便等优势,大量地替代了传统工程设计中的 现场实验、物理模拟等手↓ 2)在高薪技术领域,数学建模几乎是必不可少的工具 无论是发展通讯、航天、微电子、自动化等高新技术本身,还是将高新技术用于 传统工业去创造新工艺、开发新产品,计算机技术支持下的建模和模拟都是经常使用
5 本低、时间短、重复性高、灵活性强。有人把计算机模拟作为建立数学模拟的手段之 一，但是数学模拟在某种意义下描述了对象内在特性的数量关系，其结果容易推广， 特别是得到了解析形式答案时，更容易推广。而计算机模拟则完全模仿对象的实际演 变过程，难以从得到的数字结果分析对象的内在规律。当然，对于那些因内部机理过 于复杂，目前尚难以建立数学模型的实际对象，用计算机模拟获得一些定量结果，可 称是解决问题的有效手段。 §2 数学建模的重要意义 数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历 史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关的。作为用数学方法解决实际问题 的第一步，数学建模自然有着与数学同样悠久的历史。两千多年以前创立的欧几里德 几何，17 世纪发现的牛顿万有引力定律，都是科学发展史上数学建模的成功范例。 进入 20 世纪以来，随着数学以空间的广度和深度向一切领域的渗透，和电子计 算机的出现与飞速发展，数学建模越来越受到人们的重视，可以从以下几方面来看数 学建模在现实世界中的重要意义。 1）在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地 在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水利等 工程技术领域中，数学建模的普遍性和重要性不言而喻。虽然这里的基本模型是已有 的，但是由于新技术、新工艺的不段涌现，提出了许多需要用数学方法解决的新问题； 高速、大型计算机的飞速发展，使得过去即便有了数学模型也无法求解的课题（如大 型水坝的应力计算，中长期天气预报等）迎刃而解；建立在数学模型和计算机模拟基 础上的 CAD 技术，以其快速、经济、方便等优势，大量地替代了传统工程设计中的 现场实验、物理模拟等手段。 2）在高薪技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具 无论是发展通讯、航天、微电子、自动化等高新技术本身，还是将高新技术用于 传统工业去创造新工艺、开发新产品，计算机技术支持下的建模和模拟都是经常使用