17901800181018201830184018501860 增长率29531299297291301308245 1870 1880 1910192019301940 增长率2442422051911661.46102104 195019601970198019902000 增长率158149116105109116 表3美国人口增长率(%年) 看来,为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况,必须修改指数增长 模型关于人口增长率是常数这个基本假设1 2)阻滞增长模型( Logistic模型) 模型建立分析人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因,人们注意到,自 然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用,并且随着人口的增长,阻滞作 用越来越大。所谓阻滞增长模型就是考虑到这个因素,对指数增长模型的基本假设进 行修改后得到的 阻滞作用体现在对人口增长率r的影响上,使得r随着人口数量x的增加而下降。 若将r表示为x的函数r(x),则它应是减函数。于是方程(2)写作 dr=r(x)kx, x(o)=x 对r(x)的一个最简单的假定是,设r(x)为x的线性函数,即 r(x)=r-sx,(>0,s>0) 这里r称固有增长率,表示人口很少时(理论上是x=0)的增长率。为了确定系数s 的意义,引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量x灬,称人口容量。当 x=xn时人口不再增长,即增长率应mn)=0,代入(6)式得S于是6)式为 (7)式的另一种解释是,增长率r(x)与人口尚未实现部分的比例(xm-x)xm成正比, 比例系数为固有增长率r 将(7)代入方程(5)得
16 年 增长率 1790 2.95 1800 3.11 1810 2.99 1820 2.97 1830 2.91 1840 3.01 1850 3.08 1860 2.45 年 增长率 1870 2.44 1880 2.42 1890 2.05 1900 1.91 1910 1.66 1920 1.46 1930 1.02 1940 1.04 年 增长率 1950 1.58 1960 1.49 1970 1.16 1980 1.05 1990 1.09 2000 1.16 表 3 美国人口增长率（﹪/年） 看来，为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改指数增长 模型关于人口增长率是常数这个基本假设[21] . 2) 阻滞增长模型（Logistic 模型） 模型建立 分析人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因，人们注意到，自 然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增长，阻滞作 用越来越大。所谓阻滞增长模型就是考虑到这个因素，对指数增长模型的基本假设进 行修改后得到的。 阻滞作用体现在对人口增长率 r 的影响上，使得 r 随着人口数量 x 的增加而下降。 若将 r 表示为 x 的函数 r(x) ，则它应是减函数。于是方程(2)写作 r(x)x dt dx = ， ( ) 0 0 x = x (5) 对 r(x) 的一个最简单的假定是，设 r(x) 为 x 的线性函数，即 r(x) = r − sx, (r 0,s 0) (6) 这里 r 称固有增长率，表示人口很少时（理论上是 x =0）的增长率。为了确定系数 s 的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量 m x ，称人口容量。当 m x x = 时人口不再增长，即增长率应 ( ) 0 m r x = ，代入(6)式得 m x r s = ，于是(6)式为 ( ) = − m x x r x r 1 (7) (7)式的另一种解释是，增长率 r(x) 与人口尚未实现部分的比例 ( ) m m x − x x 成正比， 比例系数为固有增长率 r . 将(7)代入方程(5)得
方程(8右端的因子r体现人口自身的增长趋势,因子1-x则体现了资源和环 境对人口增长的阻滞作用。显然,x越大,前一因子越大,后一因子越小,人口增 长是两个因子共同作用的结果 如果以x为横轴,dx/dt为纵轴作出方程8)的图形(图5),可以分析人口增长 速度dx{h随着x的增加而变化的情况,从而大致地看出x()的变化规律 图d/d~x曲线图 图6x-t曲线图 练习根据图5dx/at与x的关系,分析x随t的变化情况:t较小(从而x较小) 时和t较大(从而x较大)时x的增长速度有何不同,x多大时人口增长最快,t→∞ 时x→?等,由此你能大致画出x()的图形 实际上,方程(8)可以用分离变量法求解得到 x(t)= 读者可以用计算机画出(9)式的图形,它是一条S形曲线(图6),x增加得先快后 慢,I→∞时x→x,拐点在x=.你在上面的联系中画的图形与这个图形 样吗
17 = − m x x rx dt dx 1 ， ( ) 0 0 x = x (8) 方程(8)右端的因子 rx 体现人口自身的增长趋势，因子 − m x x 1 则体现了资源和环 境对人口增长的阻滞作用。显然， x 越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增 长是两个因子共同作用的结果。 如果以 x 为横轴， dx dt 为纵轴作出方程(8)的图形（图 5），可以分析人口增长 速度 dx dt 随着 x 的增加而变化的情况，从而大致地看出 x(t) 的变化规律。 练习 根据图 5 dx dt 与 x 的关系，分析 x 随 t 的变化情况： t 较小（从而 x 较小） 时和 t 较大（从而 x 较大）时 x 的增长速度有何不同， x 多大时人口增长最快， t → 时 x → ？等，由此你能大致画出 x(t) 的图形吗。 实际上，方程(8)可以用分离变量法求解得到 ( ) m rt m e x x x x t − + − = 1 1 0 (9) 读者可以用计算机画出(9)式的图形，它是一条 S 形曲线（图 6）， x 增加得先快后 慢， t → 时 m x → x ，拐点在 2 m x x = . 你在上面的联系中画的图形与这个图形 一样吗。 o xm 2 xm x dt dx 图 5 dx dt ~ x 曲线图 x xm 2 m x 0 x o t 图 6 x~t 曲线图
参数估计为了利用简单的线性最小二乘法估计这个模型的参数r和x,我们 不用(9)式,而将方程(8)表为 dx/dt r-sX. S= 上式左端可以从表1的数据用数值微分计算,右端对参数r,s是线性的。我们利 用1860年至1990年的数据(去掉个别异常数据),用 MATLAB软件计算得到 r=0.2557/10年,x=392.0886 参数估计也可以借助专家的经验。例如,某些人口学家估计世界人口的固有增 长率r=0.029,又知道世界人口在1960年为298亿时,增长率是185%,即 =0.0185,于是按照方程(8),世界人口容量为xn=29.8÷(1-0.01850029)}=823 亿。实际上,20世纪70年代世界人口为40亿左右时增长率达到最大,然后开始下 降。注意到阻滞增长模型中x=x/2时d/d最大,可以看出上述结果的一致性 结果分析用上面得到的参数r和x代入(⑨9)式,将计算结果与实际数据作比 较,得表4和图7 实际人口 计算人口x 1790 1800 1810 1820 1830 12.9 10.7 1840 17.1 1850 23.2 175 1860 31.4 1870 38.6 1880 50.2 358 62.9 76.0 1910 92.0 1920 106.5 1930 123.2 103.9
18 参数估计 为了利用简单的线性最小二乘法估计这个模型的参数 r 和 m x ，我们 不用(9)式，而将方程(8)表为 m x r r sx s x dx dt = − , = (10) 上式左端可以从表 1 的数据用数值微分计算，右端对参数 r ， s 是线性的。我们利 用 1860 年至 1990 年的数据（去掉个别异常数据），用 MATLAB 软件计算得到 r =0.2557/10 年， m x =392.0886. 参数估计也可以借助专家的经验。例如，某些人口学家估计世界人口的固有增 长率 r =0.029，又知道世界人口在 1960 年为 29.8 亿时，增长率是 1.85﹪，即 x dx dt =0.0185，于是按照方程(8)，世界人口容量为 m x =29.8 (1-0.0185/0.029)=82.3 亿。实际上，20 世纪 70 年代世界人口为 40 亿左右时增长率达到最大，然后开始下 降。注意到阻滞增长模型中 x = xm / 2 时 dx / dt 最大，可以看出上述结果的一致性。 结果分析 用上面得到的参数 r 和 m x 代入(9)式，将计算结果与实际数据作比 较，得表 4 和图 7 年 实际人口 计算人口 x 1790 3.9 3.9 1800 5.3 5.0 1810 7.2 6.5 1820 9.6 8.3 1830 12.9 10.7 1840 17.1 13.7 1850 23.2 17.5 1860 31.4 22.3 1870 38.6 28.3 1880 50.2 35.8 1890 62.9 45.0 1900 76.0 56.2 1910 92.0 69.7 1920 106.5 85.5 1930 123.2 103.9
131.7 124.5 150.7 79.3 196.2 1980 226.5 221.2 51.4 表4阻滞增长模型拟合美国人口数据的结果 图7阻滞增长模型拟合图形(以1790年为起点) 可以看出,用这个模型拟合时虽然中间一段(19世纪中叶到20世纪中叶)不大 好,但是最后一段(二十世纪中叶以后)吻合的不错 模型检验在估计阻滞增长模型的参数时没有用2000年的实际数据,是为了用它 作模型检验。我们用模型计算2000年的人口,与已知的实际数据(2814百万)比较, 来检验模型是否合适 为简单起见,可利用x(99)0和方程(作如下计算 x(2000=x(1990)+△x=x(199)+(1990)1-x(1990)/x 得到x(20002745百万与实际数据的误差约25%,可以分为该模型是相当满意的
19 1940 131.7 124.5 1950 150.7 147.2 1960 179.3 171.3 1970 204.0 196.2 1980 226.5 221.2 1990 251.4 245.3 表 4 阻滞增长模型拟合美国人口数据的结果 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 50 100 150 200 250 300 图 7 阻滞增长模型拟合图形（以 1790 年为起点） 可以看出，用这个模型拟合时虽然中间一段（19 世纪中叶到 20 世纪中叶）不大 好，但是最后一段（二十世纪中叶以后）吻合的不错。 模型检验 在估计阻滞增长模型的参数时没有用 2000 年的实际数据，是为了用它 作模型检验。我们用模型计算 2000 年的人口，与已知的实际数据（281.4 百万）比较， 来检验模型是否合适。 为简单起见，可利用 x(1990) 和方程(7)作如下计算 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m x 2000 = x 1990 + x = x 1990 + rx 1990 1− x 1990 / x 得到 x(2000)=274.5 百万，与实际数据的误差约 2.5﹪，可以分为该模型是相当满意的
人口预报应将2000年的实际数据加进去重新估计参数,可得r=0.2490/10年 xn=433.9886.然后再利用模型检验中的计算方法预报美国2010年的人口,得到 x(2010)年的人口,得到x(2010)=3060百万。这个预报结果的准确性如何。让我们 拭目以待。 由方程(8)表示的阻滞增长模型,是荷兰生物学家 Verhulst19世纪中叶提出的 它不仅能够大体上描述人口及许多物种数量(如森林中的树木、鱼塘中的鱼群等)的 变化,而且在社会经济领域也有广泛的应用,例如耐用消费平的销售就可以用它来描 述。基于这个模型能够描述一些事物符合逻辑的客观规律,人们常称它为 Logistic 模型,本书以后章节将多次用到它 评注用数学工具描述人口变化规律,关键是对人口增长率作出合理、简化的假 定。阻滞增长模型就是将指数增长模型关于人口增长率是常数的假设进行修正后得到 的。可以想到,影响增长率的出生率与死亡率与年龄有关,所以,更合乎实际的人口 模型应该考虑年龄的因素。后面的讨论这样的模型。 参数估计和模型检验是建模的重要步骤,本节用到的线性最小二乘法是参数估计 (如果是基于数据的,又称数据拟合)的基本方法,读者应该知道它的原理,并掌握 它的软件实现 §4数学建模的基本方法和步骤 数学建模面临的实际问题是多种多样的,建模的目的不同、分析的方法不同、采 用的数学工具不同,所得模型的类型也不同,我们不能指望归纳出若干条准则,适用 于一切实际问题的数学建模方法。下面所谓基本方法不是针对具体问题而是从方法论 的意义上讲的 数学建模的基本方法 般说来建模方法大体上可分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客 观事物特性的认识,找出反映内部机理的数量规律,建立的模型常有明确的物理或现 实意义。前面几个示例都是用的机理分析。测试分析将研究对象看做一个“黑箱”系 统(意义是它的内部机理看不清楚),通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析, 按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型 面对一个实际问题用哪一种方法建模,主要取决与人们对研究对象的了解程度和
20 人口预报 应将 2000 年的实际数据加进去重新估计参数，可得 r =0.2490/10 年， m x =433.9886. 然后再利用模型检验中的计算方法预报美国 2010 年的人口，得到 x(2010) 年的人口，得到 x(2010) =306.0 百万。这个预报结果的准确性如何。让我们 拭目以待。 由方程(8)表示的阻滞增长模型，是荷兰生物学家 Verhulst19 世纪中叶提出的。 它不仅能够大体上描述人口及许多物种数量（如森林中的树木、鱼塘中的鱼群等）的 变化，而且在社会经济领域也有广泛的应用，例如耐用消费平的销售就可以用它来描 述。基于这个模型能够描述一些事物符合逻辑的客观规律，人们常称它为 Logistic 模型，本书以后章节将多次用到它[31] . 评注 用数学工具描述人口变化规律，关键是对人口增长率作出合理、简化的假 定。阻滞增长模型就是将指数增长模型关于人口增长率是常数的假设进行修正后得到 的。可以想到，影响增长率的出生率与死亡率与年龄有关，所以，更合乎实际的人口 模型应该考虑年龄的因素。后面的讨论这样的模型。 参数估计和模型检验是建模的重要步骤，本节用到的线性最小二乘法是参数估计 （如果是基于数据的，又称数据拟合）的基本方法，读者应该知道它的原理，并掌握 它的软件实现。 §4 数学建模的基本方法和步骤 数学建模面临的实际问题是多种多样的，建模的目的不同、分析的方法不同、采 用的数学工具不同，所得模型的类型也不同，我们不能指望归纳出若干条准则，适用 于一切实际问题的数学建模方法。下面所谓基本方法不是针对具体问题而是从方法论 的意义上讲的。 数学建模的基本方法 一般说来建模方法大体上可分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客 观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现 实意义。前面几个示例都是用的机理分析。测试分析将研究对象看做一个“黑箱”系 统（意义是它的内部机理看不清楚），通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析， 按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。 面对一个实际问题用哪一种方法建模，主要取决与人们对研究对象的了解程度和