4!.按照建模目的分。有描述模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型 等 5.按照对模型结构的了解程度分。有所谓白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。这 是把研究对象比喻成一只箱子里的机关,要通过建模来解释它的奥妙。白箱主要包括 用力学、热学、电学等一些机理相当清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题, 这方面的模型大多已经基本确定,还需深入研究的主要是优化设计和控制等问题了 灰箱主要指生态、气象、经济、交通等领域中机理尚不十分清楚的现象,在建立和改 善模型方面都还不同程度地有许多工作要做。至于黑箱则主要指生命科学和社会科学 等领域中一些机理(数量关系方面)很不清楚的现象。有些工程技术问题虽然主要基 于物理、化学原理,但由于因素众多、关系复杂和观测困难等原因也常作为灰箱或黑 箱模型处理。当然,白、灰、黑之间并没有明显的界限,而且随着科学技术的发展, 箱子的“颜色”必然是逐渐由暗变亮的。 §6数学建模能力的培养 在详细分析了建立数学模型的全过程和数学模型的特点以后,我们看到用建模方 法解决实际问题,首先是用数学语言表述问题及构造模型,其次才是用数学工具求解 构成的模型。绝大多数数学课程如微积分、线性代数、概率论、计算方法等都是讲授 某一专门知识和培养数学运算、逻辑推理能力的,这些数学技巧主要用来求解数学模 型。用数学语言表述问题,包括模型假设、模型构造等,除了要有广博的知识(包括 数学知识和各种实际知识)和足够的经验之外,特别需要丰富的想象力和明锐的洞察 力 想象力指人们在原有知识的基础上,将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、 重新组合、加工处理,创造出新的形象,是一种形象思维活动。洞察力指人们在充分 占有资源的基础上,经过初步分析能迅速抓住主要矛盾,舍弃次要因素,简化问题的 层次,对可以用哪些方法解决面临的问题,以及不同方法的优劣做出判断51l。 类比方法和理想化方法是建模中常用的方法,它们运用与想象力、洞察力有密切 关系。类比法注意到研究对象与已熟悉的另一对象具有某些共性,比较二者相似之处 已获得对研究对象的新认识。喧杂什么对象进行类比,比较哪些相似的属性,在一定 程度上是靠想象进行的。将交通流与水流类比来建立交通流模型是这方面例子。理想 化方法是从观察和经验中通过想象和逻辑思维,把对象简化、纯化,使其升华到理想
26 4. 按照建模目的分。有描述模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型 等。 5. 按照对模型结构的了解程度分。有所谓白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。这 是把研究对象比喻成一只箱子里的机关，要通过建模来解释它的奥妙。白箱主要包括 用力学、热学、电学等一些机理相当清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题， 这方面的模型大多已经基本确定，还需深入研究的主要是优化设计和控制等问题了。 灰箱主要指生态、气象、经济、交通等领域中机理尚不十分清楚的现象，在建立和改 善模型方面都还不同程度地有许多工作要做。至于黑箱则主要指生命科学和社会科学 等领域中一些机理（数量关系方面）很不清楚的现象。有些工程技术问题虽然主要基 于物理、化学原理，但由于因素众多、关系复杂和观测困难等原因也常作为灰箱或黑 箱模型处理。当然，白、灰、黑之间并没有明显的界限，而且随着科学技术的发展， 箱子的“颜色”必然是逐渐由暗变亮的。 §6 数学建模能力的培养 在详细分析了建立数学模型的全过程和数学模型的特点以后，我们看到用建模方 法解决实际问题，首先是用数学语言表述问题及构造模型，其次才是用数学工具求解 构成的模型。绝大多数数学课程如微积分、线性代数、概率论、计算方法等都是讲授 某一专门知识和培养数学运算、逻辑推理能力的，这些数学技巧主要用来求解数学模 型。用数学语言表述问题，包括模型假设、模型构造等，除了要有广博的知识（包括 数学知识和各种实际知识）和足够的经验之外，特别需要丰富的想象力和明锐的洞察 力。 想象力指人们在原有知识的基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、 重新组合、加工处理，创造出新的形象，是一种形象思维活动。洞察力指人们在充分 占有资源的基础上，经过初步分析能迅速抓住主要矛盾，舍弃次要因素，简化问题的 层次，对可以用哪些方法解决面临的问题，以及不同方法的优劣做出判断[51]。 类比方法和理想化方法是建模中常用的方法，它们运用与想象力、洞察力有密切 关系。类比法注意到研究对象与已熟悉的另一对象具有某些共性，比较二者相似之处 已获得对研究对象的新认识。喧杂什么对象进行类比，比较哪些相似的属性，在一定 程度上是靠想象进行的。将交通流与水流类比来建立交通流模型是这方面例子。理想 化方法是从观察和经验中通过想象和逻辑思维，把对象简化、纯化，使其升华到理想
状态,以期更本质地揭示对象的固有规律。在一定条件下把物体看作质点,把实际位 置看做数学上的点、线等都是理想化的结果 建模过程是一种创造性思维过程,除了想象、洞察、判断这些属于思维、逻辑思 维范畴的能力之外,直觉和灵感往往也起着不可忽视的作用。直觉是人们对新事物本 质的极敏锐的领悟、理解或推断,灵感指在人们有意识或下意识思考过程中迸发出来 的猜测、思路或判断。二者都具有突发性,且思维者本人往往说不清它的来路和道理 当由于各种限制利用已有知识难以对研究对象作出有效的推理和判断时,凭借相似 类比、猜测,外推等思维方式及不完整、不连续、不严密的,带启发性的直觉和灵感, 去“战略性”地认识对象,是人类创造性思维的特点之一,也是人脑比按程序逻辑工 作的计算机、机器人的高明之处。历史上不乏在科学家的直觉和灵感的火花中诞生的 假说、论证和定律。当然,直觉和灵感不是凭空产生的,它要求人们具有丰富的背景 知识,对问题进行反复的思考和艰苦探索,对各种思维方法运用娴熟。相互讨论和思 想交锋,特别是不同专业的成员之间的探讨,是激发直觉和灵感的重要因素。所以由 各种专门人才组成的所谓团队工作方式( Team work)越来越受到重视。 前面说过,建模可以看成一门艺术。艺术在某种意义下是无法归纳出几条准则或 方法的。一名出色的艺术家需要大量的观摩和前辈的指教,更需要亲身的实践。类似 的,掌握建模这门艺术,培养想象力和洞察力,不外乎认真作好这样两条: 习、分析、评价、改造别人作过的模型。首先要弄懂它,分析为什么这么做,然后找 出它的优缺点,并尝试改进的方法。第二,要亲自动手,踏实地做几个实际题目。为 了这个目的本书采用实例研究方法,一方面给出在各个应用领域不同数学方法建模的 大量实例,另一方面通过习题提供若干题目让读者自己练习。实例研究方法虽然不能 按照严密的逻辑结构去讨论问题,不能划定这些方法的实用范围,其得到的结果也并 非无可置疑,但它却是我们学习建模以解决实际问题的一种很生动,有效的方法
27 状态，以期更本质地揭示对象的固有规律。在一定条件下把物体看作质点，把实际位 置看做数学上的点、线等都是理想化的结果。 建模过程是一种创造性思维过程，除了想象、洞察、判断这些属于思维、逻辑思 维范畴的能力之外，直觉和灵感往往也起着不可忽视的作用。直觉是人们对新事物本 质的极敏锐的领悟、理解或推断，灵感指在人们有意识或下意识思考过程中迸发出来 的猜测、思路或判断。二者都具有突发性，且思维者本人往往说不清它的来路和道理。 当由于各种限制利用已有知识难以对研究对象作出有效的推理和判断时，凭借相似、 类比、猜测，外推等思维方式及不完整、不连续、不严密的，带启发性的直觉和灵感， 去“战略性”地认识对象，是人类创造性思维的特点之一，也是人脑比按程序逻辑工 作的计算机、机器人的高明之处。历史上不乏在科学家的直觉和灵感的火花中诞生的 假说、论证和定律。当然，直觉和灵感不是凭空产生的，它要求人们具有丰富的背景 知识，对问题进行反复的思考和艰苦探索，对各种思维方法运用娴熟。相互讨论和思 想交锋，特别是不同专业的成员之间的探讨，是激发直觉和灵感的重要因素。所以由 各种专门人才组成的所谓团队工作方式（Team work）越来越受到重视。 前面说过，建模可以看成一门艺术。艺术在某种意义下是无法归纳出几条准则或 方法的。一名出色的艺术家需要大量的观摩和前辈的指教，更需要亲身的实践。类似 的，掌握建模这门艺术，培养想象力和洞察力，不外乎认真作好这样两条：第一，学 习、分析、评价、改造别人作过的模型。首先要弄懂它，分析为什么这么做，然后找 出它的优缺点，并尝试改进的方法。第二，要亲自动手，踏实地做几个实际题目。为 了这个目的本书采用实例研究方法，一方面给出在各个应用领域不同数学方法建模的 大量实例，另一方面通过习题提供若干题目让读者自己练习。实例研究方法虽然不能 按照严密的逻辑结构去讨论问题，不能划定这些方法的实用范围，其得到的结果也并 非无可置疑，但它却是我们学习建模以解决实际问题的一种很生动，有效的方法
附:近几年全国大学生数学建模竞赛题 零件的参数设计 1997 最优截断切割问题 投资的收益与风险 灾情巡视路线 自动化车床管理 1999 钻井布局 DNA序列分析 2000 2001 2002 2003 2004 ABABABABABABABABABABA 钢管订购与运输 血管的三维重建 公交车调度 车灯线光源的优化设计 彩票中的数学 SARS的传播 露天矿生产的车辆安排 奥运会临时超市网点设计 电力市场的输电阻塞管理 长江水质的评价和预测 2005 关于DVD的在线租赁 2006 2007
28 附：近几年全国大学生数学建模竞赛题 1997 A 零件的参数设计 B 最优截断切割问题 1998 A 投资的收益与风险 B 灾情巡视路线 1999 A 自动化车床管理 B 钻井布局 2000 A DNA 序列分析 B 钢管订购与运输 2001 A 血管的三维重建 B 公交车调度 2002 A 车灯线光源的优化设计 B 彩票中的数学 2003 A SARS 的传播 B 露天矿生产的车辆安排 2004 A 奥运会临时超市网点设计 B 电力市场的输电阻塞管理 2005 A 长江水质的评价和预测 B 关于 DVD 的在线租赁 2006 A B 2007 A
B 课堂练习:把四只脚连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放,通常只有三只脚着地, 放不稳,然而有人认为只要稍挪动几次,就可以四脚着地,放稳了,对吗?(分析、 建立模型并给出结论)
29 B 课堂练习：把四只脚连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地， 放不稳，然而有人认为只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了，对吗？（分析、 建立模型并给出结论）
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