运筹学讲义 §10存贮论 本章来介绍存贮论( Storage theory).存贮论是最早应用定量方法和技术的领域之一,是运筹 学的重要分支.早在1915年,F. Harris就针对银行货币的存贮问题建立了一个确定性的存贮费用模 型,并得到了最佳批量公式.1934年,R.H. Wilson重新得出了这个公式,后被称为经济订购批量公 式(E0Q公式, economical order quantity equation).1958年,T.M. Whitin撰写了《存贮管理 的理论》一书,存贮论开始成为一个独立的运筹学分支 问题的提出:在生产中,企业为保持生产的连续性和均衡性,需要存贮一定数量的物资.若存贮 量过多,则不仅占用仓库容量,而且造成积压:若存贮量过少,则造成生产停顿.那么,应该隔多长 时间,以何种方式进货一次,每批进货量是多少,这就是存贮论所要研究的主要问题 进货周期:两次进货之间的时间间隔 批次:一年中进货的次数 批量:每一个批次进货的数量. 两种进货方式 (1)货物以某种速度进入存贮.如在重汽集团的发动机车间和总装车间,当每台发动机被生产出 来后,即可供给总装车间,而不必等全部发动机都生产出来再供给总装车间 (2)货物整批进入存贮.如商店中某种商品的存贮减少到一定数量时,就可一次性购进若干数量 的商品. 两种进货能力 (1)有限:以一定的速度购进货物,直到满足订货量为止 (2)无限:一次性购进一定数量的货物 存贮问题的三个过程:进货,存贮,需求 有关费用 订购费:进一次货所需的固定费用,如差旅费,手续费等; 购进费:货物本身的价值及运费等,与进货量无关 保管费:包括保险费,照明费,仓库租金,保养费等 短缺费:因需求不能得到满足而造成的损失 存贮费=订购费+购进费+保管费+短缺费. 显然,当需求量一定时,无论批次和批量如何,购进费是一个常数故在讨论存贮问题时,不必 考虑购进费.于是,存贮费=订购费+保管费+短缺费 在下面的第一类存贮模型中,要求不允许缺货,即短缺费为0,∴存贮费=订购费+保管费. 存贮论就是硏究如何确定进货的批次和批量,使得存贮费最小 令 的货物需求量 :单位货物的年保管费: S:订购费 C:一年的存贮费 n:一年的进货批次
运 筹 学 讲 义 1 §10 存贮论 本章来介绍存贮论（Storage theory）.存贮论是最早应用定量方法和技术的领域之一，是运筹 学的重要分支.早在 1915 年，F. Harris 就针对银行货币的存贮问题建立了一个确定性的存贮费用模 型，并得到了最佳批量公式.1934 年，R. H. Wilson 重新得出了这个公式，后被称为经济订购批量公 式（EOQ 公式，economical order quantity equation）.1958 年，T. M. Whitin 撰写了《存贮管理 的理论》一书，存贮论开始成为一个独立的运筹学分支. 问题的提出：在生产中，企业为保持生产的连续性和均衡性，需要存贮一定数量的物资.若存贮 量过多，则不仅占用仓库容量，而且造成积压；若存贮量过少，则造成生产停顿.那么，应该隔多长 时间，以何种方式进货一次，每批进货量是多少，这就是存贮论所要研究的主要问题. 进货周期：两次进货之间的时间间隔； 批次：一年中进货的次数； 批量：每一个批次进货的数量. 两种进货方式： （1）货物以某种速度进入存贮.如在重汽集团的发动机车间和总装车间，当每台发动机被生产出 来后，即可供给总装车间，而不必等全部发动机都生产出来再供给总装车间； （2）货物整批进入存贮.如商店中某种商品的存贮减少到一定数量时，就可一次性购进若干数量 的商品. 两种进货能力： （1）有限：以一定的速度购进货物，直到满足订货量为止； （2）无限：一次性购进一定数量的货物. 存贮问题的三个过程：进货，存贮，需求. 有关费用： 订购费：进一次货所需的固定费用，如差旅费，手续费等； 购进费：货物本身的价值及运费等，与进货量无关； 保管费：包括保险费，照明费，仓库租金，保养费等； 短缺费：因需求不能得到满足而造成的损失. 存贮费 = 订购费 + 购进费 + 保管费 + 短缺费. 显然，当需求量一定时，无论批次和批量如何，购进费是一个常数.故在讨论存贮问题时，不必 考虑购进费.于是，存贮费 = 订购费 + 保管费 + 短缺费. 在下面的第一类存贮模型中，要求不允许缺货，即短缺费为 0， 存贮费 = 订购费 + 保管费. 存贮论就是研究如何确定进货的批次和批量，使得存贮费最小. 令 R ：一年的货物需求量； I ：单位货物的年保管费； S ：订购费； C ：一年的存贮费； n ：一年的进货批次；
运筹学讲义 6:进货周期 O:批量, 则有如下关系: n·O=1(年),n·O=R,C=nS+I一年的货物存贮量 第一类存贮模型(经济订购批量存贮模型) 存贮量 模型假设 (1)进货能力无限:(2)不允许缺货,即短缺 费为0:(3)一年中任一时刻的货物需求量服从 [0,R]上的均匀分布;(4)当货物的存贮量降为 0时,可立即得到补充(生产时间很短) 建模:设在一年中,进货批次为n,进货周期为,批量为Q n·Q=R③ 6=1 I Q ∵θ=兰(常数),∴存贮问题的讨论针对任一进货周期皆可.不妨取第一个进货周期[⑩0,O],令 (t)=在进货周期[0,0]的任一时刻t时货物的存贮量,t∈[0,].由模型假设(3)知,在进货周期 0.0]的任一时刻时货物的需求量为2-0.=R=R=R ()=Q-R,t∈[0,6 特别地,在第一个进货周期初,进货量全部进入存贮,即V(0)=Q;在第一个进货周期末,存 贮量降为0,即V(O)=0 于是,在第一个进货周期[0,内的存贮量为 =-B)b=(-2)=0-2
运 筹 学 讲 义 2 ：进货周期； Q ：批量， 则有如下关系： n =1 （年）， n Q = R ，C = nS + I 一年的货物存贮量. 第一类存贮模型（经济订购批量存贮模型） 模型假设： （1）进货能力无限；（2）不允许缺货，即短缺 费为 0；（3）一年中任一时刻的货物需求量服从 [0, R] 上的均匀分布；（4）当货物的存贮量降为 0 时，可立即得到补充（生产时间很短）. 建模：设在一年中，进货批次为 n ，进货周期为 ，批量为 Q ，则 R Q Q n R n n Q R n = = = = = 1 , 1 . R Q = （常数）， 存贮问题的讨论针对任一进货周期皆可.不妨取第一个进货周期 [0, ] ，令 V(t) = 在进货周期 [0, ] 的任一时刻 t 时货物的存贮量， t [0, ].由模型假设（3）知，在进货周期 [0, ] 的任一时刻 t 时货物的需求量为 Rt Rt n Rt n t R = = = − − 0 1 0 . V (t) = Q − Rt ，t [0, ]. 特别地，在第一个进货周期初，进货量全部进入存贮，即 V (0) = Q ；在第一个进货周期末，存 贮量降为 0，即 V( ) = 0 . 于是，在第一个进货周期 [0, ] 内的存贮量为 2 0 2 0 0 2 ) 2 ( ) ( ) ( R t Q R V t dt = Q − Rt dt = Qt − = −
运筹学讲义 一年的存贮量为m(Q-Aa3)=Q.nO-E,n=Q-R O、R 2PO、QQ Q (∴在第一个进货周期内的平均存贮量为 "0M=0-2oy)=2-2o=Q 2R99旦 RO 2 显然,一年的平均存贮量也为,) 从而,一年的保管费为1.9=9;又一年的订购费为n,S=R.=S:再由模型假设(3) Q 知,短缺费为0,∴一年的存贮费为C(Q)=2S+y 易求C(Q)=- Rs/ 2RS C(O) 令C(Q)=-2+5=0,得Q=12四 2RS O 2RS syc/=a 是C(Q的极(最)小值点,且C(Q)mn=C(Q0)=√2RS R VRI 2RS 经济订购批量公式:Q0 经济订购批量的一个直观解释
运 筹 学 讲 义 3 一年的存贮量为 2 2 2 2 2 ) 2 ( 2 Q Q Q R R Q Q R n Q R Q n R n Q − = − = − = − = − = . ( 在第一个进货周期内的平均存贮量为 2 2 2 2 ) 2 ( 1 ( ) 1 2 0 Q Q Q R R Q Q R Q R V t dt = Q − = − = − = − = . 显然，一年的平均存贮量也为 2 Q ，) 从而，一年的保管费为 2 2 Q QI I = ；又一年的订购费为 Q RS S Q R n S = = ；再由模型假设（3） 知，短缺费为 0， 一年的存贮费为 2 ( ) QI Q RS C Q = + . 易求 2 ( ) 2 I Q RS C Q = − + ， 3 2 ( ) Q RS C Q = . 令 0 2 ( ) 2 = − + = I Q RS C Q ，得 I RS Q 2 0 = . 0 2 2 ( ) 3 0 0 = = RS I I Q RS C Q ， I RS Q 2 0 = 是 C(Q) 的极（最）小值点，且 C(Q)min = C(Q0 ) = 2RIS . 此时， S RI Q R n 0 2 = = ， RI S n 1 2 = = . 经济订购批量公式： I RS Q 2 0 = . 经济订购批量的一个直观解释：
运筹学讲义 年的存贮费C(Q=+ Ry,其中年订购费乙随Q C(2) 的增大而减少,年保管费≌随O的增大而增大,故当年订 购费与年保管费相等时,年存贮费最大.即当 2 RS QI 2→g=,8 时,年存贮费最大 例1某农机公司每年需向“潍柴”购买500台柴油机.订购费为750元/次.每台柴油机的年保管 费为12元.潍柴可随时供货,农机公司不允许缺货.问:该农机公司每年订货的最优批次应为多少? 解:显然,此问题可归结为第一类存贮模型,S=750,R=500,I=12 由经济订购批量公式知,最优批量为Q0 -{ 500×750 故最优批次为n= R=500=2 例2某文具店出售一种中性笔,其单价为5元,每支日保管费为单价的0.1%.订购费为10元/ 次市场对该中性笔的日需求量为100支生产该中性笔的厂家的生产能力无限,文具店不允许缺货 问:该文具店每年应分几批进货,才能使得一年的存贮费最少?(一年按365天计) 解:显然,此问题可归结为第一类存贮模型,R=100×365=36500 Ⅰ=5×0.1%×365=1.825,S=10 2×36500×10 由经济订购批量公式知,最优批量为Qo= ≈632 1.825 故最优批次为nsR36500 Q0632 即该玩具店每年应分58次进货,才能使一年存贮费最小,且最小存贮费为 2RS=√2×36500×11825×10≈1154 以上,仅讨论了第一类存贮模型.其它存贮模型亦可类似地来讨论. 1.浪潮集团需从市场购进一种电子元件,年购进量为4800个.元件的单价为40元/个,单个元件 的年保管费为单价的25%订购费为10元/次.设此种元件的生产供应能力无限,浪潮集团不允许缺 货.问:浪潮集团每年订货的最优批次是多少? 2.某个建筑工地每月需水泥1200吨,不允许缺货.水泥的价格为1500元/吨,每吨水泥的月保管
运 筹 学 讲 义 4 一年的存贮费 2 ( ) QI Q RS C Q = + ，其中年订购费 Q RS 随 Q 的增大而减少，年保管费 2 QI 随 Q 的增大而增大，故当年订 购 费 与 年 保 管 费 相 等 时 ， 年 存 贮 费 最 大 . 即 当 2 QI Q RS = I RS Q 2 0 = 时，年存贮费最大. 例 1 某农机公司每年需向“潍柴”购买 500 台柴油机.订购费为 750 元/次.每台柴油机的年保管 费为 12 元.潍柴可随时供货，农机公司不允许缺货.问：该农机公司每年订货的最优批次应为多少？ 解：显然，此问题可归结为第一类存贮模型， S = 750 ， R = 500， I = 12 . 由经济订购批量公式知，最优批量为 250 12 2 2 500 750 0 = = = I RS Q ， 故最优批次为 2 250 500 0 = = = Q R n .▍ 例 2 某文具店出售一种中性笔，其单价为 5 元，每支日保管费为单价的 0.1％.订购费为 10 元/ 次.市场对该中性笔的日需求量为 100 支.生产该中性笔的厂家的生产能力无限，文具店不允许缺货. 问：该文具店每年应分几批进货，才能使得一年的存贮费最少？（一年按 365 天计） 解 ： 显 然 ， 此 问 题 可 归 结 为 第 一 类 存 贮 模 型 ， R =100365 = 36500 ， I = 50.1%365 =1.825， S =10. 由经济订购批量公式知，最优批量为 632 1.825 2 2 36500 10 0 = = I RS Q ， 故最优批次为 58 632 36500 0 = = Q R n . 即该玩具店每年应分 58 次进货，才能使一年存贮费最小，且最小存贮费为 2RIS = 2365001.82510 1154.▍ 以上，仅讨论了第一类存贮模型.其它存贮模型亦可类似地来讨论. Ex. 1.浪潮集团需从市场购进一种电子元件，年购进量为 4800 个.元件的单价为 40 元/个，单个元件 的年保管费为单价的 25％.订购费为 10 元/次.设此种元件的生产供应能力无限，浪潮集团不允许缺 货.问：浪潮集团每年订货的最优批次是多少？ 2.某个建筑工地每月需水泥 1200 吨，不允许缺货.水泥的价格为 1500 元/吨，每吨水泥的月保管
运筹学讲义 费为价格的2%,订购费为1800元/次问:该工地每年购进水泥的最优批次是多少? 3.某厂每年需购进48000个某种型号的电子管,不允许缺货.该电子管的市场价格为5元/个,年 保管费为生产成本的25%,订购费为1000元/次.问:该该厂每年购进此种型号的电子管的最优批次 是多少?(27713)
运 筹 学 讲 义 5 费为价格的 2％，订购费为 1800 元/次.问：该工地每年购进水泥的最优批次是多少？ 3.某厂每年需购进 48000 个某种型号的电子管，不允许缺货.该电子管的市场价格为 5 元/个，年 保管费为生产成本的 25％，订购费为 1000 元/次.问：该该厂每年购进此种型号的电子管的最优批次 是多少？（27713）