经过那些圆点最终移至原点(00) 图2给出了一种移动方案,经过决策d1,d2…d1,最终有S2=(0,0)这个结 果很容易翻译成渡河的方案。 评注这里介绍的是一个规格化的方法,所建立的多步决策模型可以用计算机求 从而具有推广的意义。譬如当商人和随从人数增加或小船的容量加大时,靠逻辑 思考就困难了,而用这种模型则仍可方便地求解。读者不妨考虑四名商人各带一个随 从的情况(小船同前)。 适当地设置状态和决策,确定状态转移律,建立多步决策模型,是有效地解决很 广泛的一类问题的方法,在以后的章节中还要用到 §3.3建模示例之三如何预报人口的增长 人类社会进入20世纪以来,在科学技术和生产力飞速发展的同时,世界人口也 以空前的规模增长。统计数据显示: 年 1625 1830 1930 1974 1987 1999 人口(亿) 10 0 30 0 60 可以看出,人口每增加十亿的时间,由一百年缩短为十二三年。我们赖以生存的地球, 已经携带着它的60亿子民踏入21世纪 长期以来,人类的繁殖一直在自发地进行着。只是由于人口数量的迅速膨胀和环 境质量的急剧恶化,人们才猛然醒悟,开始研究人类和自然的关系、人口数量的变化 规律,以及如何进行人口控制等问题。 我国是世界第一人口大国,地球上每九个人中就有一个中国人。在20世纪的一 段时间内我国人口的增长速度过快,请看: 1908 1933 1953 1964 1982 1990 2000 人口(亿) 3.0 4.7 10.3 l1.3 有效地控制我国人口的增长,不仅是使我国全面进入小康社会、到21世纪中叶建成
11 经过那些圆点最终移至原点 (0,0). 图 2 给出了一种移动方案，经过决策 1 2 11 d ,d , ,d ，最终有 (0,0) s12 = . 这个结 果很容易翻译成渡河的方案。 评注 这里介绍的是一个规格化的方法，所建立的多步决策模型可以用计算机求 解，从而具有推广的意义。譬如当商人和随从人数增加或小船的容量加大时，靠逻辑 思考就困难了，而用这种模型则仍可方便地求解。读者不妨考虑四名商人各带一个随 从的情况（小船同前）。 适当地设置状态和决策，确定状态转移律，建立多步决策模型，是有效地解决很 广泛的一类问题的方法，在以后的章节中还要用到。 §3.3 建模示例之三 如何预报人口的增长 人类社会进入 20 世纪以来，在科学技术和生产力飞速发展的同时，世界人口也 以空前的规模增长。统计数据显示： 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口（亿） 5 10 20 30 40 50 60 可以看出，人口每增加十亿的时间，由一百年缩短为十二三年。我们赖以生存的地球， 已经携带着它的 60 亿子民踏入 21 世纪。 长期以来，人类的繁殖一直在自发地进行着。只是由于人口数量的迅速膨胀和环 境质量的急剧恶化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系、人口数量的变化 规律，以及如何进行人口控制等问题。 我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有一个中国人。在 20 世纪的一 段时间内我国人口的增长速度过快，请看： 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 2000 人口（亿） 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.95 有效地控制我国人口的增长，不仅是使我国全面进入小康社会、到 21 世纪中叶建成
富强民主文明的社会主义国家的需要,而且对于全人类社会的美好理想来说,也是我 们义不容辞的责任。 认识人口数量的变化规律,建立人口模型,做出准确的预报,是有效控制人口增 长的前提。长期以来人们在这方面作了不少工作,下面介绍两个最基本的人口模型 并利用表1给出的近两个世纪的美国人口统计数据(以百万为单位),对模型作检验, 最后用它预报2010年美国的人口。 1790 1800 1810 1820 1830184018501860 人口 7.2 9.6 12917.123.2314 18701880189019001910192019301940 人口 38650.262976092.01065123.2131.7 人口150717932040226525142814 表1美国人口统计数据 1)指数增长模型 最简单的人口增长模型使人所共识的:记今年人口为x0,k年后人口为xk, 增长率为r,则 xk=Xo 显然,这个公式的基本条件是年增长率r保持不变 二百多年前英国人口学家马尔塞斯( Maltha,1766-1834)调查了英国一百多年 的人口统计资料,得出了人口增长率不变的假设,并据此建立了著名的人口指数增长 模型 模型建立记时刻t的人口为x(1),当考察一个国家或一个较大地区的人口时 x()是一个很大的整数。为了利用微积分这一数学工具,将x()视为连续、可微函数。 记初始时刻(t=0)的人口为x0·假设人口增长率为常数r,即单位时间内x(1)的 增量等于r乘以x(1).考虑t到t+M时间内人口的增量,显然有
12 富强民主文明的社会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理想来说，也是我 们义不容辞的责任。 认识人口数量的变化规律，建立人口模型，做出准确的预报，是有效控制人口增 长的前提。长期以来人们在这方面作了不少工作，下面介绍两个最基本的人口模型， 并利用表 1 给出的近两个世纪的美国人口统计数据（以百万为单位），对模型作检验， 最后用它预报 2010 年美国的人口。 年 人口 1790 3.9 1800 5.3 1810 7.2 1820 9.6 1830 12.9 1840 17.1 1850 23.2 1860 31.4 年 人口 1870 38.6 1880 50.2 1890 62.9 1900 76.0 1910 92.0 1920 106.5 1930 123.2 1940 131.7 年 人口 1950 150.7 1960 179.3 1970 204.0 1980 226.5 1990 251.4 2000 281.4 表 1 美国人口统计数据 1) 指数增长模型 最简单的人口增长模型使人所共识的：记今年人口为 0 x ，k 年后人口为 k x ，年 增长率为 r ，则 0 (1 )k k x x r = + (1) 显然，这个公式的基本条件是年增长率 r 保持不变。 二百多年前英国人口学家马尔塞斯（Malths，1766—1834）调查了英国一百多年 的人口统计资料，得出了人口增长率不变的假设，并据此建立了著名的人口指数增长 模型。 模型建立 记时刻 t 的人口为 xt() ，当考察一个国家或一个较大地区的人口时， xt() 是一个很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将 xt() 视为连续、可微函数。 记初始时刻（ t = 0 ）的人口为 0 x . 假设人口增长率为常数 r ，即单位时间内 xt() 的 增量等于 r 乘以 xt() . 考虑 t 到 t + t 时间内人口的增量，显然有
x(+△)-x)=nr( 令M→0,得到x()满足微分方程: (2) 有这个方程很容易解出 x()=x r>0时(3)式表示人口将按指数规律随时间无限增长,称为指数增长模型 参数估计(3)式的参数r和x0可以用表1的数据估计。为了利用简单的线性最小 二乘法,将(3)式取对数,可得 In In (4) 以1790年至1900年的数据拟合(4)式,用 MATLAB软件计算可得r=0.2743/10 年,x0=41884.以全部数据(1790年至2000年)拟合(4)式,得r=0202210年, x=60450 结果分析用上面得到的参数r和x0代入(3)式,将计算结果与实际数据作比较 表2中计算人口x1是用1790年至1900年的数据拟合的结果,计算人口x2是用全部数 据(1790年至2000年)拟合的结果,图3、图4是它们的图形表示(+号是实际数据 曲线是计算结果)。可以看出,用这个模型基本上能够描述十九世纪以前美国人口的 增长,但是进入20世纪后,美国人口增长明显变慢,这个模型就不合适了。 实际人口 计算人口x 计算人口x2 1800 5.3 5.5 74 1810 7.2 72 9 1820 9.6 1830 13.6
13 x(t +t)− x(t) = rx(t)t 令 t →0 ，得到 x(t) 满足微分方程： rx dt dx = ， 0 x(0) = x (2) 有这个方程很容易解出 ( ) rt x t x e = 0 (3) r 0 时(3)式表示人口将按指数规律随时间无限增长，称为指数增长模型。 参数估计 (3)式的参数 r 和 0 x 可以用表 1 的数据估计。为了利用简单的线性最小 二乘法，将(3)式取对数，可得 y = rt + a， y = ln x ， 0 a = ln x (4) 以 1790 年至 1900 年的数据拟合(4)式，用 MATLAB 软件计算可得 r =0.2743/10 年， 0 x =4.1884. 以全部数据（1790 年至 2000 年）拟合(4)式，得 r =0.2022/10 年， 0 x =6.0450. 结果分析 用上面得到的参数 r 和 0 x 代入(3)式，将计算结果与实际数据作比较。 表 2 中计算人口 1 x 是用 1790 年至 1900 年的数据拟合的结果，计算人口 2 x 是用全部数 据（1790 年至 2000 年）拟合的结果，图 3、图 4 是它们的图形表示（+号是实际数据， 曲线是计算结果）。可以看出，用这个模型基本上能够描述十九世纪以前美国人口的 增长，但是进入 20 世纪后，美国人口增长明显变慢，这个模型就不合适了。 年 实际人口 计算人口 1 x 计算人口 2 x 1790 3.9 4.2 6.0 1800 5.3 5.5 7.4 1810 7.2 7.2 9.1 1820 9.6 9.5 11.1 1830 12.9 12.5 13.6
1660 23.2 1860 31.4 28.6 24.90 888 37.6 50.2 37.3 1900 76 85.6 55.9 92.0 1920 106.5 123.2 102.5 131.7 125.5 153.6 1960 79.3 1880 204.0 230.1 1990 2514 344.8 2000 281.4 422.1 表2指数增长模型拟合美国人口数据的结果 图3指数增长模型拟合图形
14 1840 17.1 16.5 16.60 1850 23.2 21.7 20.30 1860 31.4 28.6 24.90 1870 38.6 37.6 30.5 1880 50.2 49.5 37.3 1890 62.9 65.1 45.7 1900 76.0 85.6 55.9 1910 92.0 68.4 1920 106.5 83.7 1930 123.2 102.5 1940 131.7 125.5 1950 150.7 153.6 1960 179.3 188.0 1970 204.0 230.1 1980 226.5 281.7 1990 251.4 344.8 2000 281.4 422.1 表 2 指数增长模型拟合美国人口数据的结果 0 2 4 6 8 10 12 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 图 3 指数增长模型拟合图形
400 250 150 100 图4指数增长模型拟合图形 练习用1900至2000年的数据拟合指数增长模型,计算并作图,观察结果 历史上,指数增长模型与十九世纪以前欧洲一些地区人口统计数据可以很好地吻 合,迁往加拿大的欧洲移民后代人口也大致符合这个模型。另外,用它做短期人口预 测可以得到较好的结果。显然,这是因为在这些情况下,模型的基本设计—一人口增 长率是常数一一大致成立。 但是长期以来,任何地区的人口都不可能无限增长,即指数模型不能描述、也不 能预测较长时期的人口演变过程。这是因为,人口增长率事实上是在不断地变化着 排除灾难、战争等特殊时期,一般说来,当人口较少时,增长较快,即增长率较大; 人口增加到一定数量以后,增长就会慢下来,即增长率变小。表3是用数值微分的三 点公式计算的美国人口增长率(%/年),可以看到,进入20世纪后增长率明显下降。 用平均增长率作为r,用指数增长模型描述美国人口的变化,结果当然会与表1的统 计数据相差很大
15 0 5 10 15 20 25 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 图 4 指数增长模型拟合图形 练习 用 1900 至 2000 年的数据拟合指数增长模型，计算并作图，观察结果。 历史上，指数增长模型与十九世纪以前欧洲一些地区人口统计数据可以很好地吻 合，迁往加拿大的欧洲移民后代人口也大致符合这个模型。另外，用它做短期人口预 测可以得到较好的结果。显然，这是因为在这些情况下，模型的基本设计——人口增 长率是常数——大致成立。 但是长期以来，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述、也不 能预测较长时期的人口演变过程。这是因为，人口增长率事实上是在不断地变化着。 排除灾难、战争等特殊时期，一般说来，当人口较少时，增长较快，即增长率较大； 人口增加到一定数量以后，增长就会慢下来，即增长率变小。表 3 是用数值微分的三 点公式计算的美国人口增长率（﹪/年），可以看到，进入 20 世纪后增长率明显下降。 用平均增长率作为 r ，用指数增长模型描述美国人口的变化，结果当然会与表 1 的统 计数据相差很大