的有效手段。数学建模、数值计算和计算机图形学等相结合形成的计算机软件,已经 被固化于产品中,在许多高新技术领域起着核心作用,被认为是高新技术的特征之 在这个意义上,数学不再仅仅作为一门科学,是许多技术的基础,而且直接走向了技 术的前台。国际上一位学者就提出了“高技术本质上一种数学技术”的观点。 3)数学迅速进入一些新领域,为数学建模开拓了许多新的处女地 随着数学向诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透,一些交叉学 科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生。这里一般地说 不存在作为支配关系的物理定律,当用数学方法研究这些领域中的定量关系时,数学 建模就成为首要的、关键的步骤和这些学科发展与应用的基础。在这些领域里建立不 同类型、不同方法、不同深浅程度的模型的余地相当大,为数学建模提供了广阔的新 天地。马克思说过:“一门科学只有成功地运用数学时,才算达到了完善的地步”。展 望21世纪,数学必将大踏步地进入所有学科,数学建模将迎来蓬勃发展的新时期 今天,在国民经济和社会活动的以下诸多方面,数学建模都有着非常具体的应用 分析与设计例如描述药物浓度在人体内的变化规律以分析药物的疗效;建立跨 音速流和激波的数学模型,用数值模拟设计新的飞机翼型。 预报与决策生产过程中产品质量指标的预报、气象预报、人口预报、经济增长 预报等等,都要有预报模型;使经济效益最大的价格策略、使费用最少的设备维修方 案,是决策模型的例子。 控制与优化电力、化工生产过程的最优控制、零件设计中的参数优化,要以数 学模型为前提。建立大系统控制与优化的数学建模,是迫切需要和十分棘手的课题。 规划与管理生产计划、资源配置、运输网络规划、水库优化调度,以及排队策 略、物资管理等,都可以用数学规划模型解决。 数学建模与计算机技术的关系密不可分。一方面,像新型飞机设计、石油勘探数 据处理中的数学模型的求解当然离不开巨型计算机,而微型电脑的普及更使数学建模 逐步进入人们的日常活动。比如当一位公司经理根据客户提出的产品数量、质量、交 货期等要求,用手提电脑与客户进行价格谈判时,您不会怀疑他的电脑中贮存了由公
6 的有效手段。数学建模、数值计算和计算机图形学等相结合形成的计算机软件，已经 被固化于产品中，在许多高新技术领域起着核心作用，被认为是高新技术的特征之一。 在这个意义上，数学不再仅仅作为一门科学，是许多技术的基础，而且直接走向了技 术的前台。国际上一位学者就提出了“高技术本质上一种数学技术”的观点。 3）数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地 随着数学向诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学 科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生。这里一般地说 不存在作为支配关系的物理定律，当用数学方法研究这些领域中的定量关系时，数学 建模就成为首要的、关键的步骤和这些学科发展与应用的基础。在这些领域里建立不 同类型、不同方法、不同深浅程度的模型的余地相当大，为数学建模提供了广阔的新 天地。马克思说过：“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步”。展 望 21 世纪，数学必将大踏步地进入所有学科，数学建模将迎来蓬勃发展的新时期。 今天，在国民经济和社会活动的以下诸多方面，数学建模都有着非常具体的应用。 分析与设计 例如描述药物浓度在人体内的变化规律以分析药物的疗效；建立跨 音速流和激波的数学模型，用数值模拟设计新的飞机翼型。 预报与决策 生产过程中产品质量指标的预报、气象预报、人口预报、经济增长 预报等等，都要有预报模型；使经济效益最大的价格策略、使费用最少的设备维修方 案，是决策模型的例子。 控制与优化 电力、化工生产过程的最优控制、零件设计中的参数优化，要以数 学模型为前提。建立大系统控制与优化的数学建模，是迫切需要和十分棘手的课题。 规划与管理 生产计划、资源配置、运输网络规划、水库优化调度，以及排队策 略、物资管理等，都可以用数学规划模型解决。 数学建模与计算机技术的关系密不可分。一方面，像新型飞机设计、石油勘探数 据处理中的数学模型的求解当然离不开巨型计算机，而微型电脑的普及更使数学建模 逐步进入人们的日常活动。比如当一位公司经理根据客户提出的产品数量、质量、交 货期等要求，用手提电脑与客户进行价格谈判时，您不会怀疑他的电脑中贮存了由公
司的各种资源、产品工艺流程及客户需求等数据研制的数学模型一一快速报价系统和 生产计划系统。另一方面,以数字化为特征的信息正以爆炸之势涌入计算机,去伪存 真、归纳整理、分析现象、显示结果……,计算机需要人们给它以思维的能力,这些 当然要求助于数学模型,所以把计算机技术与数学建模在知识经济中的作用比喻为如 虎添翼,是恰如其分的 美国科学院一位院士总结了将数学科学转化为生产力过程中的成功和失败,得出 了“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术”的结论,认为数学“由研究到工 业领域的技术转化,对加强经济竞争力具有重要意义”,而“计算和建模重新成为中 心课题,它们是数学科学技术转化的主要途径” §3.1建模示例之一椅子能在不平的地面上放稳吗 本节和下面两节将给出三个数学建模的例子,重点说明如何作出合理的、简化的 假设,用数学语言确切地描述实际问题,以及模型的结果怎样解释实际现象。 本节讨论的问题来源于日常生活中一件普通的事实:把椅子往不平的地面上 放,通常只有三只脚着地,放不稳,然而只需稍微挪动几次,就可以使四只脚同时着 地,放稳了。这个看来似乎与数学无关的现象能用数学语言给予表述,并用数学工具 来证实吗?让我们试试看B21 棋型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设: 、椅子四条腿一样长,椅脚与地面接触可视为一个点,四脚的连线呈正方形。 2、地面高度是连续变化的,沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情 ),即地面可视为数学上的连续曲面 3、对于椅脚的间距和椅脚的长度而言,地面是相对平坦的,使椅子在任何位置 至少有三只脚同时着地。 假设1显然是合理的。假设2相当于给出了椅子能放稳的条件,因为如果地面高 度不连续,譬如在有台阶的地方是无法使四只脚同时着地的。至于假设3是要排除这 样的情况:地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内,出现深沟或凸峰 (即使是连续变化的),致使三只脚无法同时着地
7 司的各种资源、产品工艺流程及客户需求等数据研制的数学模型——快速报价系统和 生产计划系统。另一方面，以数字化为特征的信息正以爆炸之势涌入计算机，去伪存 真、归纳整理、分析现象、显示结果……，计算机需要人们给它以思维的能力，这些 当然要求助于数学模型，所以把计算机技术与数学建模在知识经济中的作用比喻为如 虎添翼，是恰如其分的。 美国科学院一位院士总结了将数学科学转化为生产力过程中的成功和失败，得出 了“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术”的结论，认为数学“由研究到工 业领域的技术转化，对加强经济竞争力具有重要意义”，而“计算和建模重新成为中 心课题，它们是数学科学技术转化的主要途径”。 §3.1 建模示例之一 椅子能在不平的地面上放稳吗 本节和下面两节将给出三个数学建模的例子，重点说明如何作出合理的、简化的 假设，用数学语言确切地描述实际问题，以及模型的结果怎样解释实际现象。 本节讨论的问题来源于日常生活中一件普通的事实；把椅子往不平的地面上一 放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着 地，放稳了。这个看来似乎与数学无关的现象能用数学语言给予表述，并用数学工具 来证实吗？让我们试试看[32] . 模型假设 对椅子和地面都要作一些必要的假设： 1、椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形。 2、 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情 况），即地面可视为数学上的连续曲面。 3、 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置 至少有三只脚同时着地。 假设 1 显然是合理的。假设 2 相当于给出了椅子能放稳的条件，因为如果地面高 度不连续，譬如在有台阶的地方是无法使四只脚同时着地的。至于假设 3 是要排除这 样的情况；地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，出现深沟或凸峰 （即使是连续变化的），致使三只脚无法同时着地
模型构成 中心问题是用数学语言把椅子四只 脚同时着地的条件和结论表示出来。 B 首先用变量表示椅子的位置,由于椅 脚的连线呈正方形,以中心为对称点,正 方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位 置改变,于是可以用旋转角度θ这一变量 来表示椅子的位置。 其次要把椅脚着地用数学符号表示出来,如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直 距离,当这个距离为0时,表示椅脚着地了。椅子要挪动位置说明这个距离是位置变 量的函数 由于正方形的中心对称性,只要设两个距离函数就行了,记A、C两脚与地面距 离之和为f(O),B、D两脚与地面距离之和为g(0),显然f()、g()≥0,由假设 (2)知f、g都是连续函数,再由假设(3)知f(0)、g(0)至少有一个为0。当O=0 时,不妨设g(O)=0,f(0)>0,这样改变椅子的位置使四只脚同时着地,就归结为如 下命题: 命题己知f(0)、g(0)是O的连续函数,对任意O,f()*g0)=0,且 g(0)=0.,/(0)>0,则存在Oo,使g(0)=f(a)=0。 模型求解 将椅子旋转90,对角线AC和BD互换,由gO)=0,f(O)>0可知 g(x/2)>0,f(x/2)=0。令O)=f(0)-g(0),则h(0)>0.h(x/2)<0,由f、g 的连续性知h也是连续函数,由零点定理,必存在60(0<60</2)使h() 8()=f(0),由g(O0)*f(0)=0,所以g(0)=f(0)=0 评注 模型巧妙在于用已知变量θ表示椅子的位置,用θ的两个函数表示椅子四脚与地
8 模型构成 中心问题是用数学语言把椅子四只 脚同时着地的条件和结论表示出来。 首先用变量表示椅子的位置，由于椅 脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正 方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位 置改变，于是可以用旋转角度 这一变量 来表示椅子的位置。 其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直 距离，当这个距离为 0 时，表示椅脚着地了。椅子要挪动位置说明这个距离是位置变 量的函数。 由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记 A、C 两脚与地面距 离之和为 f ( )，B、D 两脚与地面距离之和为 g( ) ，显然 f ( )、g( ) 0 ，由假设 （2）知 f、g 都是连续函数，再由假设（3）知 f ( )、g( ) 至少有一个为 0。当 = 0 时，不妨设 g( ) = 0, f ( ) 0 ，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如 下命题： 命题 已知 f ( )、 g( ) 是 的连续函数，对任意 ， f ( ) * g( ) =0，且 g(0) = 0, f (0) 0 ，则存在 0 ，使 g( 0 ) = f ( 0 ) = 0。 模型求解 将椅子旋转 0 90 ，对角线 AC 和 BD 互换，由 g(0) = 0, f (0) 0 可 知 g( 2) 0, f ( 2) = 0 。令 h() = f () − g() ，则 h(0) 0,h( 2) 0 ，由 f、g 的连续性知 h 也是连续函数，由零点定理，必存在 (0 2) 0 0 使 h( 0 ) = 0 ， ( ) ( ) 0 0 g = f ，由 g( 0 )* f ( 0 ) = 0 ，所以 g( 0 ) = f ( 0 ) = 0。 评 注 模型巧妙在于用已知变量 表示椅子的位置，用 的两个函数表示椅子四脚与地 B B A C A x C D D
面的距离。利用正方形的中心对称性及旋转90并不是本质的,同学们可以考虑四脚 呈长方形的情形 §3.2建模示例之二商人们怎样安全过河 三名商人各带一个随从乘船渡河,一只小船只能容纳二人,由他们自己划行。随 从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货。但是如何乘船渡 河的大权掌握在商人们的手中。商人们怎样才能安全渡河呢? 对于这类智力游戏经过一番逻辑思索是可以找出解决办法的。这里用数学模型求 解,一是为了给出建模的示例,二是因为这类模型可以解决相当广泛的一类问题,比 逻辑思索的结果容易推广。 由于这个虚拟的问题已经理想化了,所以不必再作假设。安全渡河问题可以视为 一个多步决策过程。每一步,即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸,都要对船上的 人员(商人、随从各几人)作出决策,在保证安全的前提下(两岸的随从数都不比商 人多),在有限步内使全部人员过河。用状态(变量)表示某一岸的人员状况,决策 (变量)表示船上的人员状况,可以找出状态随决策变化的规律。问题转化为在状态 的允许变化范围内(即安全渡河条件),确定每一步的决策,达到渡河的目标。 模型构成记第k次渡河前此岸的商人数为xk,随从数为yk,k=12…,xk y=01,2,3.将二维向量S4=(x,y)定义为状态。安全渡河条件下的状态集合称为 允许状态集合,记作S S={x,y)x=0,y=0123x=3,y=02,3x=y=12}(1) 不难验证,S对此岸和彼岸都是安全的。 记第k次渡船上的商人数为u4,随从数为v将二维向量dk=(u4,v)定义为决 策。允许决策集合记作D,由小船的容量可知 D={a,v1≤a+v≤2,u,v=0
9 面的距离。利用正方形的中心对称性及旋转 0 90 并不是本质的，同学们可以考虑四脚 呈长方形的情形。 §3.2 建模示例之二 商人们怎样安全过河 三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随 从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船渡 河的大权掌握在商人们的手中。商人们怎样才能安全渡河呢？ 对于这类智力游戏经过一番逻辑思索是可以找出解决办法的。这里用数学模型求 解，一是为了给出建模的示例，二是因为这类模型可以解决相当广泛的一类问题，比 逻辑思索的结果容易推广。 由于这个虚拟的问题已经理想化了，所以不必再作假设。安全渡河问题可以视为 一个多步决策过程。每一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上的 人员（商人、随从各几人）作出决策，在保证安全的前提下（两岸的随从数都不比商 人多），在有限步内使全部人员过河。用状态（变量）表示某一岸的人员状况，决策 （变量）表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律。问题转化为在状态 的允许变化范围内（即安全渡河条件），确定每一步的决策，达到渡河的目标。 模型构成 记第 k 次渡河前此岸的商人数为 k x ，随从数为 k y ， k k =1,2, , x ， yk = 0,1,2,3. 将二维向量 ( ) k k k s = x , y 定义为状态。安全渡河条件下的状态集合称为 允许状态集合，记作 S . S = (x, y) x = 0, y = 0,1,2,3; x = 3, y = 0,1,2,3; x = y =1,2 (1) 不难验证， S 对此岸和彼岸都是安全的。 记第 k 次渡船上的商人数为 k u ，随从数为 k v . 将二维向量 ( ) k k k d = u ,v 定义为决 策。允许决策集合记作 D ，由小船的容量可知 D = (u,v) 1 u + v 2,u,v = 0,1,2 (2)
因为k为奇数时船从此岸驶向彼岸,k为偶数时船由彼岸驶回此岸,所以状态S4随决 策d4变化的规律是 Ski=Sk+(-l)dk (3)式称状态转移律。这样,制定安全渡河方案归结为如下的多步决策模型: 求决策d∈D(k=1,2…,n),使状态S∈S按照转移率(3),由初始状态 s1=(33)经有限步n到达状态sn1=0.0) 模型求解根据(1)(3)式编一段程序用计算机求解上述多步决策问题是可行的。 不过对于商人和随从人数不大的简单状况,用图解法这个模型更为方便 d, d 图2安全渡河问题的图解法 在Oxy平面坐标系上画出图2那样的方格,方格点表示状态=(x,y).允许状态 集合S是用圆点标出的10个格子点。允许决策d是沿方格线移动1或2格,k为奇 数时向左、下方移动,k为偶数是向右、上方移动。要确定一系列的d4使由S1=(3,3)
10 因为 k 为奇数时船从此岸驶向彼岸， k 为偶数时船由彼岸驶回此岸，所以状态 k s 随决 策 k d 变化的规律是 ( ) k k sk+1 = sk + −1 d (3) (3)式称状态转移律。这样，制定安全渡河方案归结为如下的多步决策模型： 求决策 dk D (k =1,2, ,n) ，使状态 sk S 按照转移率(3)，由初始状态 (3,3) s1 = 经有限步 n 到达状态 (0,0) sn+1 = . 模型求解 根据(1)~ (3)式编一段程序用计算机求解上述多步决策问题是可行的。 不过对于商人和随从人数不大的简单状况，用图解法这个模型更为方便。 图 2 安全渡河问题的图解法 在 Oxy 平面坐标系上画出图 2 那样的方格，方格点表示状态 s = (x, y). 允许状态 集合 S 是用圆点标出的 10 个格子点。允许决策 k d 是沿方格线移动 1 或 2 格， k 为奇 数时向左、下方移动， k 为偶数是向右、上方移动。要确定一系列的 k d 使由 (3,3) s1 = O 1 2 y x 1 2 3 3 1 s 1 d 3 d 2 d 4 d5 d 9 d 6 d 7 d 11 d 8 d 10 d