记n"}=9},m=2}则得到(x,}的两个子列{xw}与{xe}, 它们收敛于不同的极限。 10.若数列{x}无界，但非无穷大量，则必存在两个子列{x}与 {x},其中{x}是无穷大量，{x}是收敛子列。 证由于数列{xn}不是无穷大量，所以M>0,使得数列{xn}中有无 穷多项满足x≤M,于是从中可以取出数列{xn}的一个收敛子列 {xm}。又由于数列{xn}无界，所以对G>0,数列{x}中必有无 穷多项满足x>G。 取G=1,则3n,使得m>G, 取G2=2,则3n2>n,使得x>G2: 取G=k,则3n>n-1,使得m>G, 记}=n},m}=n2},则得到{x,}的两个子列{x}与{xwe, 其中{x}是无穷大量，{x}是收敛子列。 11.设S是非空有上界的数集，supS=aES。证明在数集S中可取 出严格单调增加的数列{xn},使得limx=a。 证由supS=aES,可知Vs>0,3x∈S,使得a-8<x<a。 先取s,=l,则x∈S,使得a-6<x<a:对=mina-}>0, 则3x2eS,使得a-2<x2<a,其中x=a-(a-x)≤a-62<x2:对 G,=min写a-}>0,则3r,eS,使得a-&<x<a,其中 x2=a-(a-x)sa-6,<x3::对8n=mina-x>0,则3xn∈S, 使得a-6n<xn<a,其中xm1=a-(a-xm)≤a-6n<xn;,由此在数 31
记{ } { } (1) "k k n = n ，{ } { } (2) "k k m = n ，则得到｛ ｝的两个子列{ }与{ }， 它们收敛于不同的极限。 xn (1) k n x ( 2) k n x 10. 若数列{ }无界，但非无穷大量，则必存在两个子列{ }与 { }，其中｛ ｝是无穷大量，｛ ｝是收敛子列。 xn (1) k n x ( 2) k n x (1) k n x ( 2) k n x 证 由于数列{ xn }不是无穷大量，所以∃M > 0，使得数列{ }中有无 穷多项满足 xn xn ≤ M ，于是从中可以取出数列{ }的一个收敛子列 { }。又由于数列{ }无界，所以对 xn mk x xn ∀G > 0，数列{ }中必有无 穷多项满足 xn xn > G 。 取G1 = 1，则∃n1，使得 1 G1 xn > ， 取G2 = 2，则∃n2 > n1，使得 2 2 xn > G ， "", 取Gk = k ，则∃nk > nk−1，使得 n Gk x k > ， "". 记{ } { } (1) k k n = n ，{ } { } (2) k k m = n ，则得到｛ xn ｝的两个子列{ xnk (1) }与{ xnk ( 2) }， 其中｛ xnk (1) ｝是无穷大量，｛ xnk ( 2) ｝是收敛子列。 11. 设S 是非空有上界的数集，sup S = a ∈ S 。证明在数集S 中可取 出严格单调增加的数列{ xn }，使得lim n→∞ xn = a 。 证 由sup S =a ∈ S ，可知∀ε > 0，∃x ∈ S ，使得a − ε < x < a。 先取 1 ε 1 = ，则∃x1 ∈ S ，使得a − < x < a 1 1 ε ；对 , } 0 2 1 min{ ε 2 = a − x1 > ， 则∃x2 ∈ S ，使得a − < x < a 2 2 ε ，其中 1 1 2 2 x = a − (a − x ) ≤ a − ε < x ；对 , } 0 3 1 min{ ε 3 = a − x2 > ，则∃x3 ∈ S ，使得a − ε 3 < x3 < a ，其中 2 2 3 3 x = a − (a − x ) ≤ a − ε < x ；""； 对 , } 0 1 min{ n = a − xn−1 > n ε ，则∃xn ∈ S ， 使得a − ε n < xn < a ，其中 n n n n x = a − a − x ≤ a − < x − − ( ) ε 1 1 ；""D由此在数 31
集S中取到了严格单调增加的数列{xn},使得lim=a。 7→0 12.设{(an,b)}是一列开区间，满足条件： (1)a1<a2<<an<…<bn<…<b2<b, (2)1im(b,-an户0。 证明存在唯一的实数：属于所有的开区间(an,b),且 ξ=lima,=im6,。 证根据题意，{an}单调增加有上界，色n}单调减少有下界，因此都收 敛。设1iman=5,则1imbn=1im[an+(亿n-an】=5。由于{an}严格单调 增加，色n}严格单调减少，可知n,有an<5<bn,即5属于所有的开 区间(an,bn)。 若存在另一属于所有的开区间(an,bn),则由an<<bn,利用极 限的夹逼性，得到5=1man=limb,=5,即满足题意的5是唯一的。 l3.利用Cauchy收敛原理证明下述数列收敛： (1)xn=a+aq+a292++ang”(q<1,ax≤M0: 11 正（①)a0<<品，取N [in (-labe M 当n>N时，成立 In 三agsw0+g++…+gr 2)>0,取w-[，当>N时，成三-“ 14.(I)设数列{xn}满足条件1imx41-x=0,问{xn}是否一定是基本 数列。 32
集S 中取到了严格单调增加的数列{ xn }，使得lim n→∞ xn = a 。 12. 设{( an ,bn )}是一列开区间，满足条件： 1 2 n n 2 1 (1) a ＜a ＜…＜a ＜…＜b ＜…＜b ＜b ， (2) lim (b )=0。 n→∞ n − an 证明存在唯一的实数 ξ 属于所有的开区间 ( , ) ， 且 = =lim 。 an bn ξ lim n→∞ an n→∞ bn 证 根据题意，{an }单调增加有上界，{bn }单调减少有下界，因此都收 敛。设 lim n→∞ an = ξ ，则 lim n→∞ bn = lim n→∞ [an + (bn − an )] = ξ 。由于 严格单调 增加， 严格单调减少，可知 {an } {bn } ∀n，有an < ξ < bn ，即ξ 属于所有的开 区间( an ,bn )。 若存在另一ξ '属于所有的开区间( an ,bn )，则由an < < bn ξ ' ，利用极 限的夹逼性，得到 →∞ = n ξ ' lim an = lim n→∞ bn = ξ ，即满足题意的ξ 是唯一的。 13. 利用 Cauchy 收敛原理证明下述数列收敛： (1) x = a a n q a q an qn 0 1 2 2 + + +"+ ( q 1, a M ) < k ≤ ； (2) x = n 1 1 2 1 3 1 11 − + − + − " + ( ) n n 。 证 （1） ) 1 (0 q M − ∀ε < ε < ，取 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = q M q N ln (1 ) ln ε ，当n > N 时，成立 (1 ) 1 2 1 1 + − − = + ∑ ≤ + + + + n m n m k n k ak q M q q q " q < ε − < +1 1 n q q M 。 （2）∀ε > 0，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 1 N ，当n > N 时，成立 < ε + ∑ − < = + + 1 1 1 ( 1) 1 1 k n m k n k 。 14. (1) 设数列{ x }满足条件 | n limn→∞ xn+1 n − x | = 0，问{ }是否一定是基本 数列。 xn 32
(2)设数列{x}满足条件1x-x,1<(n=12,3…)。证明{x} 是基本数列。 解(1)不一定。反例：x=1+2+3+n 1,1,1 (2)s(0<ε<1)，取N=1+ Ing 1 m>n>N,成立 Xm-XnSXm-Xm-1+Xm-1-Xm-2++Xncl-Xnl < 15.对于数列{xn}构造数集4： A={xn|n≥k}={xk,xk1,…}o 记diam A4=sup{|xn-xn|，xne4,xm∈A},证明数列{xn}收敛的充 分必要条件是 lim diam A=0。 证因为limdiam4=0,s>0,K,∀k>K,成立diam4<&。取 N=K,则m>n>N,成立xm-xn≤diam4 Ak+1<E。 l6.利用Cauchy收敛原理证明：单调有界数列必定收敛。 证采用反证法。不妨设{x}是单调增加的有界数列。假设它不收敛， 则38。>0，N>0,3m,n>N:m-x>6 取N1=1,3m1>n1>N1xm-x%>60 取N2=m1,3m2>n2>N2:xm,-xm>80 Nk=mk-1,3mk>ng N Xmn>6o 于是xm-xn>k6。→+∞(k→0)，与数列x}有界矛盾。 33
(2) 设数列{ xn }满足条件｜ xn+1 n − x ｜＜ 1 2n （n = 1 2, ,3,"）。证明{ } 是基本数列。 xn 解（1）不一定。反例： n xn 1 3 1 2 1 =1+ + +"+ 。 （2）∀ε (0 < ε < 1)，取 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + 2 1 ln ln 1 ε N ，∀m > n > N ，成立 m n m m m m n n x − x ≤ x − x + x − x + + x − x −1 −1 −2 " +1 ⎟ < ε ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < + + + < − + − 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n " m 。 15. 对于数列｛ xn ｝构造数集 k ： k n A A = { x ｜n≥k }={ xk , xk +1 ,…}。 记 diam A {｜ ｜，x k = sup xn − xm n ∈ Ak , xm ∈ Ak }，证明数列{ xn }收敛的充 分必要条件是 lim k→∞ diam Ak = 0。 证 因为lim diam = 0， k→∞ Ak ∀ε > 0，∃K ，∀k > K ，成立 diam < ε Ak 。取 N = K ，则∀m > n > N ，成立 xm − xn ≤ diam < ε Ak+1 。 16. 利用 Cauchy 收敛原理证明：单调有界数列必定收敛。 证 采用反证法。不妨设{ 是单调增加的有界数列。假设它不收敛， 则 xn } ∃ε 0 > 0，∀N > 0，∃m,n > N ： 0 − > ε m n x x 。 取 1, : ; 1 1 1 1 0 1 1 = ∃ > > − > ε m n N m n N x x "" , : ; 2 1 2 2 2 2 2 0 = ∃ > > − > ε m n 取N m m n N x x . , : ; 1 0 "" = ∃ > > − > ε − k k k k k k k m n 取N m m n N x x 于是 ( ) 0 1 xm − xn > k → +∞ k → ∞ k ε ，与数列{xn }有界矛盾。 33
第三章 函数极限与连续函数 习题3.1 函数极限 1.按函数极限的定义证明： (1)limx3=8; (2)limV=2: (3)lim* -1=1 (lim x+1 x3x+1 2x-1会 2 (5)lim Inx =-o; (6)lim e-*=0; 0 2x (⑦）1mx-4=+o: (8)1im子 =-00 →-ox+1 证(1)先取-2<1，则1<x<3,3-8=x2+2x+4ex-2<19外-2， 于是对任意的s>0,取6=mm1号>0，当0<k-2<6时，成立 x3-8<19r-2<6,所以 1imx3=8。 K-2 2首无函数G的定义城为20，--4，丁是 对任意的>0，取6=min4,2s}>0，当0<x-4<6时，成立 G-2sr-4<c,所以 1imV=2。 (3)先取-<1，则2<x<4,目 女-于是对在 意的&>0，取6=mim1,6s>0，当0<k-3到<6时，成立 款-<8，所以 x-1 x+i= 2。 (4)先取>1，则2x-1≥， x+11 3 2x-12=22x-1≤2'于是对任意 的>0，取X=max儿}>0，当>X时，成立≤ 2r-122羽< 所以 34
第三章 函数极限与连续函数 习 题 3.1 函数极限 1. 按函数极限的定义证明： ⑴ lim x→2 x 3 ＝8； ⑵ lim x→4 x = 2； ⑶ lim x→3 x x − + 1 1 ＝ 1 2 ； ⑷ lim x→∞ x x + − 1 2 1 = 1 2 ； ⑸ lim ln x x → +0 = − ∞； ⑹ lim x→+∞ e− x ＝0； ⑺ lim x→ +2 2 4 2 x x − = +∞； ⑻ lim x→−∞ x x 2 +1 = −∞。 证 （1）先取 x − 2 < 1，则1 < x < 3， 8 ( 2 4)( 2) 19 2 3 2 x − = x + x + x − < x − ， 于是对任意的ε > 0，取 0 19 min 1, > ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ε δ ，当0 < x − 2 < δ 时，成立 − 8 < 19 − 2 < ε 3 x x ，所以 lim x→2 x 3 ＝8。 （2）首先函数 x 的定义域为 x ≥ 0，且 4 2 1 2 4 2 ≤ − + − − = x x x x ，于是 对任意的 ε > 0 ， 取 δ = min{4,2ε} > 0 ， 当 0 < x − 4 < δ 时，成立 − ≤ − 4 < ε 2 1 x 2 x ，所以 lim x→4 x = 2。 （3）先取 x − 3 < 1，则2 < x < 4， 2( 1) 3 2 1 1 1 + − − = + − x x x x 3 6 1 < x − ，于是对任 意 的 ε > 0 ， 取 δ = min{1,6ε}> 0 ， 当 0 < x − 3 < δ 时，成立 2 1 1 1 − + − x x < − 3 < ε 6 1 x ，所以 lim x→3 x x − + 1 1 ＝ 1 2 。 （4）先取 x > 1，则 2x −1 ≥ x ， 2 1 2 1 1 − − + x x 2 2 1 3 − = x 2 x 3 ≤ ，于是对任意 的ε > 0，取 0 2 3 max 1, > ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ε X ，当 x > X 时，成立 2 1 2 1 1 − − + x x ≤ < ε 2 x 3 ， 所以 lim x→∞ x x + − 1 2 1 = 1 2 。 34
(5)对任意的G>0,取6=e6>0,当0<x<6时，成立lnx<-G,所 以 lim Inx=-0 x0+ (6)对任意的0<E<1,取X=ln1>0,当x>X时，成立0<e<ens=6, 所以 lim e-*=0. -40 (7)先取0<x-2<1,则2<x<3,2x>1,于是对任意的G>0,取 x+2 当0<x-2<6时，成立2x= 2x 1 >G, x2-4(x+2)(x-2)x-2 所以 2x lim x24x2-4 =+0。 (8)先取x<-1,则x>1,于是对任意的G>0,取X=max,G, x+1 当x<-X时，成立 <x<-G,所以 x+1 lim 2 -0X+1 =-000 2.求下列函数极限： (1)1im x2-1 x2-1 2x2-x-15 ②m2-x- (3)1im 3x3-5x3+2x (4)1im (1+2x)1+3x)-1 0x5-x3+3x -0 (5)1im (1+x)”-1 (6)1im (1+mx)”-(1+x)m sinx-sina (7)lim x2 X口 x-a (8)1-cox (9)lim cosx-cos3x ao）lim tanx-sinx X+0 解 x2-1 x+12 (1)m2x产-x-=四2x+亏 (2)1im x2-11 x→四2x2-x-12 (3)1im 3x3-5x3+2x 2-5x2+3x42 -=lim x0x3-x3+3x 03-x2+x4=3° (4)1im 0+2x0+3)-l=1im1+5x+6x2)-l=5。 x->0 35
（5）对任意的G > 0，取δ = e−G > 0，当0 < x < δ 时，成立 ，所 以 ln x < −G lim ln x x → +0 = −∞。 （6）对任意的0 < ε < 1，取 0 1 = ln > ε X ，当 时，成立 ， 所以 x > X ε ε < < = − ln 0 e e x lim x→+∞ e− x ＝0。 （7）先取0 < x − 2 < 1，则2 < x < 3， 1 2 2 > x + x ，于是对任意的G > 0，取 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = G 1 δ min 1, ，当0 < x − 2 < δ 时，成立 G x x x x x x > − > + − = − 2 1 ( 2)( 2) 2 4 2 2 ， 所以 lim x→ +2 2 4 2 x x − = +∞。 （8）先取 x < −1，则 1 1 > x + x ，于是对任意的 ，取 ， 当 时，成立 G > 0 X = max{1,G} x < −X x G x x < < − +1 2 ，所以 lim x→−∞ x x 2 +1 = − ∞。 2. 求下列函数极限： ⑴ lim x→1 x x x 2 2 1 2 1 − − − ； ⑵ lim x→∞ x x x 2 2 1 2 1 − − − ； ⑶ lim x→0 3 5 2 3 5 3 5 3 x x x x x − + − + x ； ⑷ lim x→0 ( ) 1 2 + x x (1+ 3 ) −1 x ； ⑸ lim x→0 ( ) 1 1 + − x x n ； ⑹ lim x→0 ( ) 1 1( ) 2 + − mx + nx x n m ； ⑺ lim x a → sin x a sin x a − − ； ⑻ lim x→0 x x 2 1− cos ； ⑼ lim x→0 cos x x cos x − 3 2 ； ⑽ lim x→0 3 tan sin x x − x 。 解 （1）lim x→1 x x x 2 2 1 2 1 − − − 1 lim → = x = + + 2 1 1 x x 3 2 。 （2）lim x→∞ = − − − 2 1 1 2 2 x x x 2 1 。 （3）lim x→0 3 5 2 3 5 3 5 3 x x x 0 lim → = x x x x − + − + = − + − + 2 4 2 4 3 2 5 3 x x x x 3 2 。 （4）lim x→0 = + + − x (1 2x)(1 3x) 1 lim x→0 = + + − x (1 5x 6x ) 1 2 5。 35