归纳法可知n,x>-1.由1-x= -x,=-+<0,可知} 2+xn 2+xn 是单调减少有下界的数列，因此收敛。设m,=a,对等式x一2 -1 7→00 两端求极限，得到方程a=-1,解此方程，得到a=-1,因此 2+a lim x=-l。 n->oo (4)首先有0<x=1<4,设0<x<4,则0<x+1=√4+3x<4,由数 学归纳法可知n,0<xn<4。由x元1-x=4+3xn-x斤=(4-xn1+xn)>0, 可知{xn}是单调增加有上界的数列，因此收敛。设1imxn=a,对等式 月00 xm+1=√4+3xn两端求极限，得到方程a=√4+3a,解此方程，得到a=4, 因此 lim x=4。 1)00 (5)首先有0<x1<1,设0<x<1,则0<x+1=1-√-x<1,由数学 归纳法可知n,0<xn<1。由x1-xn=1-xn-√-xn<0,可知{xn}是 单调减少有下界的数列，因此收敛。设imxn=a,对等式x+1=l-V-xn 两端求极限，得到方程a=1-√1-a,解此方程，得到a=0（另一解a=1 舍去)，因此 limx=0。 月-00 (6)首先有0<x1<1,设0<x<1,则0<x+1=xx(2-x)<1,由数学 归纳法可知n,0<xn<1。由x1-xn=xn(2-xn)-xn=xn-xn)>0,可 知{xn}是单调增加有上界的数列，因此收敛。设limx=a,对等式 月0 x+1=x(2-xn)两端求极限，得到方程a=a(2-a),解此方程，得到a=1 (另一解a=0舍去)，因此 26
归纳法可知∀n，xn > −1。由 xn+1 − xn = − = + − n n x 2 x 1 0 2 ( 1) 2 < + + − n n x x ，可知 是单调减少有下界的数列，因此收敛。设 { }n x x a n n = →∞ lim ，对等式 xn+1= − + 1 2 xn 两端求极限，得到方程 a a + − = 2 1 ，解此方程，得到a = −1，因此 lim = −1 →∞ n n x 。 （4）首先有0 < x1=1 < 4，设0 < xk < 4，则0 < k+1 x = 4 + 3xk < 4，由数 学归纳法可知∀n，0 < xn < 4。由 + − = 2 2 n 1 n x x 2 4 3 n n + x − x = (4 − xn )(1+ xn ) > 0， 可知 是单调增加有上界的数列，因此收敛。设 ，对等式 = { }n x x a n n = →∞ lim xn+1 4 3 + xn 两端求极限，得到方程a = 4 + 3a ，解此方程，得到 ， 因此 a = 4 lim = 4 →∞ n n x 。 （5）首先有0 < x1 < 1，设0 < xk < 1，则0 < k+1 x =1− 1− xk < 1，由数学 归纳法可知∀n，0 < xn < 1。由 xn+1 − xn = 1− xn − 1− xn < 0，可知 是 单调减少有下界的数列，因此收敛。设 { }n x x a n n = →∞ lim ，对等式 xn+1= n 1− 1− x 两端求极限，得到方程a = 1− 1− a ，解此方程，得到a = 0（另一解 舍去），因此 a = 1 lim = 0 →∞ n n x 。 （6）首先有0 < x1 < 1，设0 < xk < 1，则0 < k+1 x = xk (2 − xk ) < 1，由数学 归纳法可知∀n，0 < xn < 1。由 xn+1 − xn = xn (2 − xn ) − xn = xn (1− xn ) > 0，可 知 是单调增加有上界的数列，因此收敛。设 ，对等式 = (2 )两端求极限，得到方程 { }n x x a n n = →∞ lim xn+1 xn n − x a = a(2 − a)，解此方程，得到 （另一解 舍去），因此 a = 1 a = 0 26
limx=1o n→0 3.利用递推公式与单调有界数列的性质，证明： 234 (1)lim n+1 m357 =0; 2n+1 a" mn=0(a>1)片 (2)1im (3)lim l=0。 n-on” 正（设号芳 则x>0,=+2<1,所以x,}是 2n+1 Xn 2n+3 单调减少有下界的数列，因此收敛。设m=0,对等式x _Xn 打00 2n+ 两端求极限，得到a=a,于是a=0,因此 lim 23.4.n+l=0。 357…2n+1 (2)设x,-Q,则x,>0,且当n>a时，=a<1,所以}从 Xn n+1 某一项开始是单调减少有下界的数列，因此收敛。设imxn-x,对等 式x一两端求极限，得到x=0,因此 a" mm=0。 (3) 设二，则>0，之-(+>1，所以是单调减少有 Xn+l 下界的数列，因此收敛。设mx,=a,对等式x,（+两端求极 0 限，得到a=ea,于是a=0,因此 a m=0。 4设+足 n=12,3,，分x=1与x=-2两种情况求 27
lim = 1 →∞ n n x 。 3. 利用递推公式与单调有界数列的性质，证明： (1) lim n→∞ 2 3 3 5 4 7 1 2 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0 + + " = n n ； (2) lim n→∞ a n n ! = 0 ( a＞1)； (3) n→∞ lim 0 ! = n n n 。 证 （1）设 2 1 1 7 4 5 3 3 2 + + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ n n xn " ，则 xn > 0， 1 2 3 1 2 < + + = + n n x x n n ，所以 是 单调减少有下界的数列，因此收敛。设 { }n x x a n n = →∞ lim ，对等式 xn+1= n x n n 2 3 2 + + 两端求极限，得到a a 2 1 = ，于是a = 0，因此 lim n→∞ 2 3 3 5 4 7 1 2 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0 + + " = n n 。 （2）设 n! a x n n = ，则 xn > 0，且当n > a 时， 1 1 1 < + = + n a x x n n ，所以 从 某一项开始是单调减少有下界的数列，因此收敛。设 ，对等 式 = { }n x x x n n = →∞ lim xn+1 n x n a +1 两端求极限，得到 x = 0，因此 lim n→∞ a n n ! = 0。 （3）设 n n n n x ! = ，则 xn > 0， 1 1 1 1 ⎟ > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + + n n n x n x ，所以 是单调减少有 下界的数列，因此收敛。设 { }n x x a n n = →∞ lim ，对等式 1 1 1 ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + n n n x n x 两端求极 限，得到a = ea，于是a = 0，因此 lim n→∞ a n n ! = 0。 4. 设 xn+1 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + n n x x 2 2 1 , n = 1 2, ,3," ，分 x1 = 1 与 2 x1 = − 两种情况求 27
lim x n→ 解对x=1,易知n,xm>0,且当n≥2时，xn≥V2。由 x1-,=-+1≤0，可知数列k,}单调减少有下界，所以收敛。设 2 Xn ,=a,对等式+号 两端求极限，得到a=a+子，解得 a=2(a=-√2舍去)，因此 limx=V2。 对=-2，易知m,x,≤-2。由x1-x,=-+1≥0，可知数 2 xn 列}单调增加有上界，所以收敛：设国=b,对等式x怎+ 两端求极限，得到6=6+名，解得6=-反(b=5舍去，因此 limx=-V2。 5.设x=a,=b,x=,(n=123,…)，求m, 2 解首先利用递推公式x-x。=-,-x),得到数列在-的通 项公式-（6-a。于是由 =+6-*++-=a+-a, 得到 mx=0+26 39 6.给定0<a<b,令x1=a,y=b。 (0若x=.,=以(n=123,…), 2 证明(x},{.}收敛，且imx。=imy.。这个公共极限称 28
lim n→∞ xn 。 解 对 x1 =1，易知∀n， xn > 0，且当n ≥ 2时， xn ≥ 2 。由 0 1 2 +1 − = − + ≤ n n n n x x x x ，可知数列{xn }单调减少有下界，所以收敛。设 xn a，对等式 = n = →∞ lim xn+1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + n n x x 2 2 1 两端求极限，得到 ) 2 ( 2 1 a a = a + ，解得 a = 2 （a = − 2 舍去），因此 lim n→∞ xn = 2 。 对 x1 = −2 ，易知∀n， xn ≤ − 2 。由 0 1 2 +1 − = − + ≥ n n n n x x x x ，可知数 列{xn }单调增加有上界，所以收敛。设 x b n n = →∞ lim ，对等式 xn+1= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + n n x x 2 2 1 两端求极限，得到 ) 2 ( 2 1 b b = b + ，解得b = − 2 （b = 2 舍去），因此 lim n→∞ xn = − 2 。 5. 设 x = a , = b , 1 x2 x x x n n n + + = + 2 1 2 （n = 1 2, ,3,"），求lim 。 n→∞ xn 解 首先利用递推公式 ( ) 2 1 n+1 − n = − n − n−1 x x x x ，得到数列{ }的通 项公式 n n x − x +1 ( ) 2 1 1 1 x x b a n n n ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − − + 。于是由 ( ) ( ) ( ) n = 1 + 2 − 1 + 3 − 2 + + n − n−1 x x x x x x " x x ∑ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + − − 1 0 2 1 ( ) n k k a b a ， 得到 lim n→∞ xn 3 a + 2b = 。 6. 给定 0＜a ＜b，令 x1 = a , y1 = b。 (1) 若 x = n+1 x yn n ， yn+1 = x y n + n 2 （n = 1 2, ,3,"）， 证明｛ xn ｝，｛ yn｝收敛，且lim = 。这个公共极限称 n→∞ xn lim n→∞ yn 28
为a与b的算术几何平均： (2)若x=义，=(n=123…),证明(x, xn+yn 收敛，且imxn=lim y。这个公共极限称为a与b的算术调和 月 平均。 证（1)首先易知n,有xn≤yn。由x1-xn=Vxn(Wyn-Vxn)≥0，ym+1-ym ,-)s0,得到a≤<<<，≤b,即，)是单调增加有上 界的数列，yn}是单调减少有下界的数列，所以它们收敛。设imxn=x, m,=y,对y1=的两端求极限，得到x=y。 2 1 (2)首先易知当n≥2时，有xn≥。由x-x=2-x)≤0， 1-y,=≥0，得到当n≥2时， Xn+yn 2ab a+b <1<<≤生，即.是单调增加有上界的数列，k} 是单调减少有下界的数列，所以它们收敛。设1imxn=x,lim y=y, 对x1=业的两端求极限，得到x=y。 2 7.设x1=V2,xn1= 。1(n=123,…),证明数列(x,}收敛，并 2+x 求极限1imxn。 解当0<xm<V2-1时，有x1>V2-1;当xn>V2-1时，有 0<x+1<V2-1。 由于x1=V2>V2-1,得到n,x21>V2-1,0<x2n<√2-1。于是由 X2+1-X2m-1= 2+-1=-22-5+1t5+<0, 5+2x2m-1 5+X2-1 X2+2-X2n =2+-3=-2m-5++v2+D0, Γ5+2x2m 5+X2n 汤
为a与b 的算术几何平均； (2) 若 x = n+1 x y n n + 2 , y = n+1 2x y x y n n n n + （n = 1 2, ,3,"），证明｛ ｝,{ } 收敛，且 = 。这个公共极限称为 与 的算术调和 平均。 xn yn lim n→∞ xn lim n→∞ yn a b 证（1）首先易知∀n，有 xn ≤ yn 。由 xn+1 − xn = xn ( yn − xn ) ≥ 0，n n y − y +1 ( ) 0 2 1 = xn − yn ≤ ，得到a ≤ xn < xn+1 < yn+1 < yn ≤ b，即{xn }是单调增加有上 界的数列，{ 是单调减少有下界的数列，所以它们收敛。设 ， ，对 = yn } lim n→∞ x x n = lim n→∞ y y n = yn+1 x y n + 2 n 的两端求极限，得到 x = y 。 （2）首先易知当 n ≥ 2时，有 xn ≥ yn 。由 n n x − x +1 ( ) 0 2 1 = yn − xn ≤ ， n n y − y +1 0 ( ) ≥ + − = n n n n n x y y x y ，得到当n ≥ 2时， 2 2 1 1 a b y y x x a b ab n n n n + ≤ < < < ≤ + + + ，即{yn }是单调增加有上界的数列，{ } 是单调减少有下界的数列，所以它们收敛。设 n x lim n→∞ x x n = ， ， 对 = lim n→∞ y y n = n+1 x x y n + 2 n 的两端求极限，得到 x = y 。 7. 设 x = 1 2 , x = n+1 1 2 + xn （n = 1 2, ,3,"），证明数列｛ ｝收敛，并 求极限 。 xn lim n→∞ xn 解 当0 < xn < 2 −1时，有 xn+1 > 2 −1；当 xn > 2 −1时，有 0 < xn+1 < 2 −1。 由于 x1 = 2 > 2 −1，得到∀n， x2n+1 > 2 −1，0 < x2n < 2 −1。于是由 x2n+1 − x2n−1 = − = + + − − − 2 1 2 1 2 1 5 2 2 n n n x x x 0 5 2( 2 1)( 2 1) 2 1 2 1 2 1 < + − − + + + − − − n n n x x x ， x2n+2 − x2n = − = + + n n n x x x 2 2 2 5 2 2 0 5 2( 2 1)( 2 1) 2 2 2 > + − − + + + n n n x x x ， 29
可知数列{x2m-1}单调减少有下界，数列{2m}单调增加有上界，从而都 收敛。 设1imx2n=a,limx2m-1=b,对等式x2m+1= 2+X2m-L与x2m+2= 2+X2n两 月0 5+2x2m-1 5+2x2m 端求极限，得到方程a-2+a与6=2+b,解此两方程，得到解 5+2a 5+2b a=√2-1与b=√2-1（另两解a=-2-1与b=-√2-1舍去），因此 limx=V2-1。 8.设{xn}是一单调数列，证明limx,=a的充分必要条件是：存在 {xn}的子列{xm}满足1mx=a。 证必要性显然，现证充分性。不妨设{x,}单调增加，mxw=a, 则&>0,3K,k>K:-e<xm-a≤0。取N=nKH,n>N, 3M>K+1,使得nk1<n<nM,于是-6<x-a≤xn-a≤xmw-a≤0， 因此imxn=ao 9.若有界数列{xn}不收敛，则必存在两个子列{x心}与{x}收敛 于不同的极限，即m=a,mg=b,a≠b。 证由于{xn}不收敛，所以3s0>0,W,3m>n>N:rm-xn≥6o 取N1=1,3m1>n>N1:km-xh≥0， 取N2=m1,3h2>n2>N2:Xm-x≥80， 取Nk=mk-,3mk>n>Nk:Xm-x≥Eo, 于是得到{x}的两个子列{xm}与{xm,它们都是有界数列。 首先{xm}具有收敛子列{xm),由于对应的{xm}也是有界数列， 又具有收敛子列{xm。 30
可知数列{x2n−1}单调减少有下界，数列{x2n }单调增加有上界，从而都 收敛。 设lim = ， ，对等式 n→∞ n x2 a lim n→∞ x2n−1 = b x2n+1 = 2 1 2 1 5 2 2 − − + + n n x x 与 x2n+2 = n n x x 2 2 5 2 2 + + 两 端求极限，得到方程 a a a 5 2 2 + + = 与 b b b 5 2 2 + + = ，解此两方程，得到解 a = 2 −1与b = 2 −1（另两解a = − 2 −1与b = − 2 −1舍去），因此 lim = 2 −1 →∞ n n x 。 8. 设｛ ｝是一单调数列，证明 = 的充分必要条件是：存在 ｛ ｝的子列{ }满足 xn lim n→∞ xn a xn xnk lim k→∞ xnk = a 。 证 必要性显然，现证充分性。不妨设｛ xn ｝单调增加，lim ， k→∞ xnk = a 则∀ε > 0，∃K ，∀k > K ：− < x − a ≤ 0 nk ε 。 取 = K+1 N n ，∀n > N ， ∃M > K +1 ，使得nK+1 < n < nM ，于是 0 1 − < − ≤ − ≤ − ≤ + x a x a x a nK n nM ε ， 因此lim =a。 n→∞ xn 9. 若有界数列｛ ｝不收敛，则必存在两个子列{ }与{ }收敛 于不同的极限，即 = ， = b， ≠b。 xn (1) k n x ( 2) k n x lim k→∞ (1) k n x a lim k→∞ ( 2) k n x a 证 由于｛ xn ｝不收敛，所以∃ε 0 > 0，∀N ，∃m > n > N ： 0 − ≥ ε m n x x 。 取 N1 = 1，∃m1 > n1 > N1： 0 1 1 − ≥ ε m n x x ， 取 N2 = m1，∃m2 > n2 > N2： 2 2 0 − ≥ ε m n x x ， "", 取 Nk = mk−1，∃mk > nk > Nk ： 0 − ≥ ε mk nk x x ， "". 于是得到｛ ｝的两个子列｛ ｝与｛ ｝，它们都是有界数列。 首先｛ ｝具有收敛子列｛ ｝，由于对应的｛ ｝也是有界数列， 又具有收敛子列｛ ｝。 xn nk x mk x nk x ' nk x ' mk x " mk x 30