(5)1im+)”-l=lim Cx+C7x2++x” =no x0 x→0 x (6)1im (1+mx)”-(1+nx)m T→U x2 (1+nmx+C2m2x2+...+m"x")-(1+mnx+Can2x2+...+n"x") =lim x-0 + 、1 2n-m）。 2cosxasinx-a (7)lim sin x-sin a lim 21 12=cosa。 0 x-a x→a x-a (8) x2 x2 lim- lim =2。 01-cosx x→0 2sin2 (9)1im coSx-cos3x 2sin4xsin2x lim =4。 T0 x2 x→0 2sinxsin (10)1im tanx-sinx 2 =lim x+0 x'coSx 3.7 利用夹逼法求极限： (2)1imxx。 x→+0 解(1)x>0, 当1 n+1 有 s1。由1im”,=l,可知 m→on+1 Lx」n -→oon 可知im =1。由此得到 X0- (2)当n≤x<n+1,有n雨<x<(n+1)°。由lim n=1与lim(n+)”=l, 得到 1 lim x*=1。 4.利用夹逼法证明： ()）ma =0 (a>1,k为任意正整数)： x=0(化为任意正整数)。 (2)mx 36
（5）lim x→0 = + − x x n (1 ) 1 lim x→0 = + + + x C x C x x n n 1 n 2 2 " n。 （6）lim x→0 2 (1 ) (1 ) x mx nx n m + − + 0 lim → = x 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) x nmx C m x m x mnx C n x n x m m m n n + + n +"+ − + + +"+ ( ) 2 1 = nm n − m 。 （7）lim x a → = − − x a sin x sin a lim x a → x a x a x a − + − 2 sin 2 2cos = cosa。 （8）lim x→0 = − x x 1 cos 2 lim x→0 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 2sin2 2 x x 2。 （9）lim x→0 = − 2 cos cos3 x x x lim x→0 = 2 2sin 4 sin 2 x x x 4。 （10）lim x→0 = − 3 tan sin x x x lim x→0 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ x x x x cos 2 2sin sin 3 2 2 1 。 3. 利用夹逼法求极限： ⑴ limx→0 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x x 1 ； ⑵ limx→+∞ x x 1 。 解（1）∀x > 0，当 n x n 1 1 1 < ≤ + ，有 1 1 1 ≤⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ < + x x n n 。由 1 1 lim = →∞ n + n n ，可知 →0+ lim x 1 1 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x x 。∀x < 0，当 1 1 1 + − < ≤ − n x n ，有 n n x x 1 1 1 + <⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ≤ 。由 1 1 lim = + →∞ n n n ， 可知 →0− lim x 1 1 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x x 。由此得到 0 lim x→ 1 1 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x x 。 （2）当n ≤ x < n +1，有 n x n n x n 1 1 1 1 < < ( +1) + 。由n→∞ lim 1 1 1 = n+ n 与n→∞ lim ( 1) 1 1 + = n n ， 得到 limx→+∞ 1 1 = x x 。 4. 利用夹逼法证明： (1) limx→+∞ x k a x = 0 (a＞1，k 为任意正整数)； (2) limx→+∞ lnk x x = 0 (k 为任意正整数)。 36
解(1)首先有0<亡<因+少，由m a n+)=0即得到 0。 lim (2)令lnx=t, 则nx=,且当x→+0时，有1→0。再利用(1) 的结论，即得到 lim In*x →+ 。x =0。 5.讨论单侧极限： 1 0<x≤1， 2x (1)f(x)= 2, 1<x<2, 在x=0,1,2三点； 2x2<x<3, 2x+1 (2)f(x)= 在x=0点； 2-1 (3)Dirichlet函数 D(x)= 1, x为有理数， 在任意点； 0,x为无理数， ④=士[ 在x=(n=12.3…)。 解(1)mfw)=+o,mf)=lmf=l,f)=4,f)=4。 x-2 X→2 (2)lim f(x)=-1,lim f(x)=1. 0 x->0+ (3)Dx)在任意点无单侧极限。 (4)lim f(x)=0,lim f(x)=1. X--t 6.1 说明下列函数极限的情况： sInx (1)）limx (2)lim e*sinx; (3)limx“sinx 1 ④+ ③+ o=[ 解1)mnx=0。 (2)lim e*sinx=0,lim e*sinx极限不存在，所以lime'sinx极限不 Y40 存在。 37
解（1）首先有 [ ] ([ ] 1) 0 x k x k a x a x + < < ，由 0 ( 1) lim = + →∞ n k n a n 即得到 limx→+∞ x a k x = 0。 （2）令ln x = t，则 t k k e t x x = ln ，且当 x → +∞时，有t → +∞。再利用（1） 的结论，即得到 limx→+∞ lnk x x = 0。 5. 讨论单侧极限： (1) f (x) = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < < < < < ≤ 2 2 3, , 1 2, , 0 1, 2 1 2 x x x x x x 在 x = 0,1,2 三点； (2) f (x) = 2 2 1 1 1 x x + − 1 ， 在 x = 0 点； (3) Dirichlet 函数 D (x) = 在任意点； ⎩ ⎨ ⎧ 0, , 1, , 为无理数 为有理数 x x (4) f (x) = x 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − x 1 , 在 x = 1 n （n = 1 2, ,3,"）。 解（1） = +∞ → + lim ( ) 0 f x x ， 2 1 lim ( ) 1 = → − f x x ，lim ( ) 1 1 = → + f x x ，lim ( ) 4 2 = → − f x x ，lim ( ) 4。 2 = → + f x x （2） lim ( ) 1 0 = − → − f x x ， lim ( ) 1 0 = → + f x x 。 （3）D(x)在任意点无单侧极限。 （4） lim ( ) 0 1 = → − f x n x ， lim ( ) 1 1 = → + f x n x 。 6. 说明下列函数极限的情况： (1) limx→∞ sin x x ; (2) limx→∞ e sin x x ; (3) limx→+∞ x x α sin 1 ; (4) limx→∞ 2 1 1 x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ; (5) limx→∞ x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 ; (6) limx→ +0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − x x 1 1 。 解（1）limx→∞ = x sin x 0。 （2） ， x→−∞ lim e sin x = 0 x x→+∞ lim e sin x x 极限不存在，所以limx→∞ e sin x x 极限不 存在。 37
0 a<1 (3) a=1o +0 a>1 (4) +=+，m+=0,所以=+ lim 极限不存 →+00 在。 (5) - 6取女士则民》，= n+ 2 所=([ 极限不存在。 7.设函数 f(x)- 2+e+ sinx 问当x→0时，f(x)的极限是否存在？ 解由于limf(x)=lim 2+e sinx =0+1=1, X-U 1 2+ex sinx lim f(x)=lim =2-1=1,所以 x→0 4 -x 1+ex 2+ex lim f(x)=lim +sinx =1g x->0 →0 4 1+ex x 8.设1imfx)=A(a≥0)，证明：ifr)=A。 证设1imf(x)=A(a≥0)，则Vs>0,8>0,x0<x-d<8),有 1-4水。取=mnA0,则当0c-<6时，首先有 k+a<1+2a，于是0<r2-d=x+ax-a<8，从而 /x2)-A<6,这就说明了if)=A。 9.(I)设1imf(x3)=A,证明：imfx)=A。 r- 38
（3） ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ∞ > = < = →+∞ 1 1 1 0 1 1 lim sin α α α α x x x 。 （4） x→+∞ lim ⎟ = +∞ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 x x ， x→−∞ lim 0 1 1 2 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + x x ，所以limx→∞ 2 1 1 x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 极限不存 在。 （5）limx→∞ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + x x 2 1 1 1。 （6）取 n xn ' 1 = ， 2 1 " 1 + = n xn ，则n→∞ lim 0 1 1 ' ' =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − n n x x ，n→∞ lim 2 1 1 1 " " =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − n n x x ， 所以 limx→ +0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − x x 1 1 极限不存在。 7．设函数 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = | | sin 1 2 ( ) 4 1 x x e e f x x x 。 问当 x → 0时， f (x)的极限是否存在？ 解 由于 = → + lim ( ) 0 f x x 0 1 1 sin 1 2 lim 4 1 1 0 = + = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + → + x x e e x x x ， = → − lim ( ) 0 f x x 2 1 1 sin 1 2 lim 4 1 0 = − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + → − x x e e x x x ，所以 1 | | sin 1 2 lim ( ) lim 4 1 0 0 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = → → x x e e f x x x x x 。 8. 设lim = A（a≥0），证明： x a → f (x) lim x a → f x( ) 2 = A 。 证 设lim = A（a≥0），则 x a → f x( ) ∀ε > 0，∃δ '> 0，∀x(0 < x − a < δ ')，有 f (x) − A < ε 。取 0 1 2 ' min 1, > ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + = a δ δ ，则当 0 < x − a < δ 时，首先有 x + a < 1+ 2 a ，于是 < x − a 2 0 = (x + a)(x − a) < δ ' ，从而 f (x ) − A < ε 2 ，这就说明了 lim x a → f x( ) 2 = A 。 9. (1) 设 = A，证明： = A 。 0 lim x→ ( ) 3 f x 0 lim x→ f (x) 38
(2)设1imf(x2)=A,问是否成立1imf(x)=A? 证(1)设1imfx3)=A,则e>0,36>0,x(0<H<8)（即 0<x引<8)，有f(x3)-A<6。取6=83>0，则当0<<6时，有 0<x3 <8,从而f(x)-A<6,这就说明了1imfx)=A。 (2)当mx)=A时，不一定成立mf)=A,例如：f)=0x<0' 1x>0 则1imf(x2)=1,但极限1imf(x)不存在。 10.写出下述命题的“否定命题”的分析表述： (1){x}是无穷小量： (2){xn}是正无穷大量： (3)f(x)在x的右极限是A: (4)f(x)在x。的左极限是正无穷大量： (5)当x→-o,f(x)的极限是A: (6)当x→+0，f(x)是负无穷大量。 解（1)38o>0,N,3n>N:n≥o。 (2)3G0>0,N,3n>N:xn≤G0 (3)360>0,6>0,3x∈(x0,x0+):f(x)-A≥0。 (4)3G>0,6>0,3x∈(x-6,xo):f(x)≤G0 (5)36>0,X>0,3x∈(-0，-X)f(x)-A≥ (6)3G0>0,X>0,3x∈(X,+o):f(x)≥-G00 11.证明imf(x)=+o的充分必要条件是：对于任意从右方收敛于x。 的数列{xn}(xn>xo),成立 limf(xn)=+oo。 证必要性：由1imf(x)=+o,可知G>0,36>0,x(0<x-x<): fx)>G。因为数列{xn}(xn>x)收敛于x。,对于上述6>0，N, n>N:0<xn-x<6。于是当n>N时，成立f(xn)>G,即 limf(xn)=+oo。 充分性：用反证法。设1imf(x)=+o不成立，则G。>0,6>0, 30<x-0<8:≤G。取8，-n=23: 对于6，=1,3x(0<x1-x0<):fx)≤G0 39
(2) 设 = A，问是否成立 = A？ 0 lim x→ ( ) 2 f x 0 lim x→ f (x) 证 （1）设 = A，则 0 lim x→ ( ) 3 f x ∀ε > 0 ， ∃δ '> 0 ， ∀x(0 < x < δ ') （即 3 3 0 < x < δ ' ），有 f (x ) − A < ε 3 。取δ = δ ' 3 > 0 ，则当 0 < x < δ 时，有 3 1 0 < x < δ '，从而 f (x) − A < ε ，这就说明了 = A 。 0 lim x→ f (x) （2）当 = A 时，不一定成立 = A。例如： ， 则 ，但极限 不存在。 0 lim x→ ( ) 2 f x 0 lim x→ f (x) ⎩ ⎨ ⎧ < > = 0 0 1 0 ( ) x x f x 0 lim x→ ( ) 1 2 f x = 0 lim x→ f (x) 10. 写出下述命题的“否定命题”的分析表述： (1) { xn }是无穷小量； (2) { xn }是正无穷大量； (3) f (x) 在 x0 的右极限是 A； (4) f (x) 在 x0 的左极限是正无穷大量； (5) 当 x → − ∞ , f x( ) 的极限是 A； (6) 当 x→ + ∞ ， f x( ) 是负无穷大量。 解（1） 0 0 ∃ε > 0,∀ ,∃ > : ≥ ε n N n N x 。 （2）∃G0 > 0,∀N,∃n > N : xn ≤ G0。 （3） 0 0 0 0 ∃ε > 0,∀δ > 0,∃x∈(x , x +δ ): f (x) − A ≥ ε 。 （4） 0 0 0 0 ∃G > 0,∀δ > 0,∃x∈(x −δ , x ): f (x) ≤ G 。 （5） 0 0 ∃ε > 0,∀X > 0,∃x∈(−∞,−X ): f (x) − A ≥ ε 。 （6） 0 0 ∃G > 0,∀X > 0,∃x∈(X ,+∞): f (x) ≥ −G 。 11. 证明 = 的充分必要条件是：对于任意从右方收敛于 的数列{ } ，成立 limx x → +0 f x( ) + ∞ x0 xn ( ) 0 x x n > limn→∞ f xn ( ) =+ ∞。 证 必要性：由 lim = x x → +0 f x( ) + ∞ ，可知∀G > 0，∃δ > 0， (0 ) ∀x < x − x0 < δ ： f (x) > G 。因为数列{ xn } (xn > x0 ) 收敛于 x0 ，对于上述δ > 0 ， ， ： ∃N ∀n > N 0 < xn − x0 < δ 。于是当 时，成立 ， 即 = 。 n > N f (xn ) > G limn→∞ f xn ( ) + ∞ 充分性：用反证法。设 lim = x x → +0 f x( ) + ∞ 不成立，则∃G0 > 0，∀δ > 0， (0 ) ∃x < x − x0 < δ ： f (x) ≤ G0。取 n n 1 δ = ，n = 1,2,3,"： 对于 1 δ 1 = ， (0 1) ∃x1 < x1 − x0 < ： 1 0 f (x ) ≤ G ； 39
对于63,0<-<：)sG: 对于0=是30<-<是：f)≤G,: 于是得到数列{xn}(xn>xo)收敛于，但相应的函数值数列{(xn)}不 可能是无穷大量，由此产生矛盾，所以imf(x)=+o成立。 12.证明1imf(x)=-o的充分必要条件是：对于任意正无穷大量{xn}, 成立 limf(xn)=-w。 证必要性：由imfx)=-o,可知G>0,3X>0,x>X:f(x)<-G。 因为数列{xn}是正无穷大量，对于上述X>0,N,n>N:xm>X。 于是当n>N时，成立f(xn)<-G,即Iimf(xn)=-o。 充分性：用反证法。设1imfx)=-o不成立，则G>0,x>0,3r>X: f(x)≥-G0。取Xn=n,n=1,2,3,…: 对于X1=1,x1>1:f(x)≥-G0 对于X2=2,x2>2:f(x2)≥-G0; 对于Xk=k,3xk>k:f(xk)之-G0 于是得到数列{xn}为正无穷大量，但相应的函数值数列{f(x)}不可能 是负无穷大量，由此产生矛盾，所以limf(x)=-o成立。 13.证明imfx)存在而且有限的充分必要条件是：对于任意正无穷 大量{xn},相应的函数值数列{(xn)}收敛。 证必要性：设1imf(x)=A,则e>0,X>0,x>X:|f(x)-AKs。 因为数列{xn}是正无穷大量，对于上述x>0,N,n>N:xm>X。 于是当n>N时，成立|f(xn)-Ak6,即lim f(x)=A。 充分性：因为对于任意正无穷大量{x},相应的函数值数列 {fx)}收敛，我们可以断言{f(x)}收敛于同一个极限。如果存在正 无穷大量{x,}与{xn},使得mfx,)=A,imfx)=B,且A≠B, 则取x2m=xn,x2n=x”n,{xn}仍然是正无穷大量，但相应的函数值 数列{f(x)}不收敛。 设{f(xn)}都收敛于同一个极限A,现用反证法证明imf(x)=A。 %
对于 2 1 δ 2 = ， ) 2 1 (0 ∃x2 < x2 − x0 < ： 2 0 f (x ) ≤ G ； ", 对于 k k 1 δ = ， ) 1 (0 0 k x x x ∃ k < k − < ： 0 f (xk ) ≤ G ； ", 于是得到数列{ } 收敛于 ，但相应的函数值数列{ }不 可能是无穷大量，由此产生矛盾，所以 = xn ( ) 0 x x n > x0 ( ) n f x limx x → +0 f x( ) + ∞ 成立。 12. 证明 = 的充分必要条件是：对于任意正无穷大量{ }, 成立 x→+∞ lim f x( ) − ∞ xn limn→∞ f xn ( ) =− ∞。 证 必要性：由 = x→+∞ lim f (x) − ∞，可知∀G > 0，∃X > 0，∀x > X ： 。 因为数列{ }是正无穷大量，对于上述 ， f (x) < −G xn X > 0 ∃N ，∀n > N ： 。 于是当 时，成立 xn > X n > N f (xn ) < −G ，即lim = n→∞ f xn ( ) − ∞。 充分性：用反证法。设 = x→+∞ lim f (x) − ∞不成立，则∃G0 > 0，∀X > 0， ： 。取 ， ： ∃x > X 0 f (x) ≥ −G Xn = n n = 1,2,3," 对于 X1 = 1， 1 ∃x1 > ： 1 0 f (x ) ≥ −G ； 对于 X2 = 2，∃x2 > 2： 2 0 f (x ) ≥ −G ； ", 对于 Xk = k ，∃xk > k ： 0 f (xk ) ≥ −G ； ", 于是得到数列{ }为正无穷大量，但相应的函数值数列{ 不可能 是负无穷大量，由此产生矛盾，所以 = xn f (xn )} x→+∞ lim f (x) − ∞成立。 13. 证明 存在而且有限的充分必要条件是：对于任意正无穷 大量{ }，相应的函数值数列{ }收敛。 limx→+∞ f x( ) xn f xn ( ) 证 必要性：设 lim ，则 x→+∞ f (x) = A ∀ε > 0，∃X > 0，∀x > X ：| f (x) − A |< ε 。 因为数列{ xn }是正无穷大量，对于上述 X > 0，∃N ，∀n > N ： 。 于是当 时，成立 xn > X n > N | f (x ) − A |< ε n ，即n→∞ lim f (xn ) = A。 充分性：因为对于任意正无穷大量{ xn }，相应的函数值数列 { }收敛，我们可以断言{ }收敛于同一个极限。如果存在正 无穷大量{ }与{ }，使得 f xn ( ) f xn ( ) n x' n x" f x n A n = →∞ lim ( ' ) ， f x n B n = →∞ lim ( " ) ，且 A ≠ B ， 则取 ， ，{ }仍然是正无穷大量，但相应的函数值 数列{ }不收敛。 n n x x' 2 −1 = n n x x" 2 = xn f xn ( ) 设{ f x( n ) }都收敛于同一个极限 A，现用反证法证明 lim 。 x→+∞ f (x) = A 40