(2)1naa,a)i_lna+lna,++lna,由1 lim Ina,=-0,可知 n 1 limIn(aa2…an)"=-oo,从而 1→0 lim(aa2…an)n=0。 3.证明： (I)设{xn}是无穷大量，|yn|≥δ>0，则{xnyn}是无穷大量； ②)设x是无穷大量，-=60，则{与得} 是无穷大 量。 证（1)因为x}是无穷大量，所以*G>0,N,m>N,成立小>号 于是n>N,成立nyal>G,所以{xnyn}也是无穷大量。 (2)由m=6≠0，可知，>N,成立身ss24因为x} 是无穷大量，所以G>0,3,a>,成立>m得 取N=maw,N,m>N,成立小G与的>G,所以(y与 都是无穷大量。 y. 4.(1)利用Stolz定理，证明： 12+32+52++(2n+102_4」 lim 3 (2)求极限lim 「12+32+52++(2n+10)2_4 1西 3 解（1)lim 12+32+52++(2n+1)2 (2n+1)2 4 lim n n3 n3-(n-1)39 21
（2） n a a an 1 1 2 ln( " ) n a a an ln 1 + ln 2 + + ln = " ，由 = −∞ →∞ n n lim ln a ，可知 = −∞ →∞ n n n a a a 1 1 2 lim ln( " ) ，从而 lim n→∞ (a a an n 1 2 1 " ) n n = 0。 3. 证明： (1) 设{ x }是无穷大量，｜ y ｜≥ > δ 0，则{ xn yn }是无穷大量； (2) 设{ xn }是无穷大量，lim n→∞ yn = b≠0，则{ xn yn }与 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n y x 都是无穷大 量。 证 （1）因为{ xn }是无穷大量，所以∀G > 0，∃N ，∀n > N ，成立 δ G xn > 。 于是∀n > N ，成立 xn yn > G ，所以{ xn yn }也是无穷大量。 （2）由lim ≠0，可知 ' n→∞ yn = b ∃N ，∀n > N'，成立 y b b n 2 2 ≤ ≤ 。因为{ } 是无穷大量，所以 ， xn ∀G > 0 ∃N"，∀n > N"，成立 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > b G b G xn ,2 2 max 。 取 N = max{ } N',N" ，∀n > N ，成立 xn yn > G 与 G y x n n > ，所以{ xn yn }与 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n y x 都是无穷大量。 4. (1) 利用 Stolz 定理，证明： lim n→∞ 1 3 5 2 1 4 3 2 2 2 2 3 + + + + + = " ( ) n n ； (2) 求极限lim n→∞ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + + + + + 3 1 3 5 (2 1) 4 3 2 2 2 2 n n n " 。 解（1）lim n→∞ = + + + + + 3 2 2 2 2 1 3 5 (2 1) n " n lim n→∞ 3 4 ( 1) (2 1) 3 3 2 = − − + n n n 。 21
(2)lim n 12+32+52+…+(2n+1)2_4 lim 32+32+…+(2n+1)2]-4n3 n- 3 n→∞ 3n2 lim 32n+2-4m3+40n-13=1im 24n-1 =4。 →00 3n2-3n-1)2 n-→6n-3 5.利用Stolz定理，证明： (1)lim log.”=0(a>1)月 n (②)ima=0(a>1,k是正整数) 证(1)lim m loga n =lim loga=0 n-→ (2) m (-)lim P() →a”-a-laa-(a-l) 其中P-n)为关于n的k-1次多项式：重复上述过程k次即得到 n lim =lim P）=limB-2m） Po(n) na”4a-(a-）a-2(a-102 a-a-k=0。 =…=lim- 6.(①)在Stolz定理中，若1im,-一=o,能否得出1im=∞的结 n→oyn-ym-1 n→oyn 论？ (2)在Stolz定理中，若im,-x不存在，能否得出1im不存 n→eyn-ym-l n→yn 在的结论？ 解(1)不能。考虑例子x,=(-n,人=n,m文。- Xn-Xn-1 =1m少2n-)=0,但m支=im-少极限不存在。 1 n-→ynn-→0 (2)不能。考虑例子x,=1-2+3-4++--m,y.=m2,1im- m→oyn-yn-i 22
（2）lim n→∞ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + + + + + 3 1 3 5 (2 1) 4 3 2 2 2 2 n n n " →∞ = n lim 2 2 2 2 3 3 3[1 3 (2 1) ] 4 n + +"+ n + − n →∞ = n lim 2 2 2 3 3 3 3( 1) 3(2 1) 4 4( 1) − − + − + − n n n n n →∞ = n lim 4 6 3 24 1 = − − n n 。 5. 利用 Stolz 定理，证明： (1) lim n→∞ loga n n = 0 ( a > 1)； (2) lim n→∞ n a k n = 0 ( a > 1，k 是正整数)。 证 （1）lim n→∞ loga n n = lim n→∞ 0 1 log = n − n a 。 （2）lim n→∞ n a k n =lim n→∞ = − − − −1 ( 1) n n k k a a n n lim n→∞ ( 1) ( ) 1 1 − − − a a P n n k ， 其中Pk−1 (n)为关于n的k −1次多项式；重复上述过程k 次即得到 lim n→∞ n a k n =lim n→∞ = − − − ( 1) ( ) 1 1 a a P n n k lim n→∞ = − − − 2 2 2 ( 1) ( ) a a P n n k →∞ = n " lim 0 ( 1) ( ) 0 = − n−k k a a P n 。 6. (1) 在 Stolz 定理中，若lim n→∞ x x y y n n n n − − − − 1 1 = ∞，能否得出lim n→∞ x y n n = ∞的结 论? (2) 在 Stolz 定理中，若lim n→∞ x x y y n n n n − − − − 1 1 不存在，能否得出lim n→∞ x y n n 不存 在的结论? 解 （1）不能。考虑例子 x n , n n = −( )1 y n n = ，lim n→∞ x x y y n n n n − − − − 1 1 →∞ = n lim = ∞ − − 1 ( 1) (2n 1) n ， 但 lim n→∞ x y n n n n = lim(−1) →∞ 极限不存在。 （2）不能。考虑例子 x n n = −1 2 + 3 − 4+"+( ) −1 n−1 , yn = n 2 ，lim n→∞ x x y y n n n n − − − − 1 1 22
=m”极限不存在，但1m名=0。 n-→m2n-1 7.设0<入<1，lim a=a,证明 no （(a.+a1+a++a,)归已元 证记k=x,则a+a1+…+a-"a,+a++,利用Solz k” 定理， lim (a +a+xan2++"ao)=lim" k”an+k-a-1+…+a0 n→0 -→0 长分 lim- k"an n→0k(k-1)1-元 8.设A.=∑a4,当n→o时有极限。{P,}为单调递增的正数数列，且 k=l pn→+o(n→o)。证明： mBa1+Pa2++Pan=0。 P. 证设1imAn=A,作代换a=Ag-4-1,得到 B4+Pa++P=A-4P-P)+4P3-P2++An-P-, Pn Pn 对上式求极限，在求后一分式的极限时应用Stolz定理， lim Pia+P2a2+…+pna2 n￥0 Pn =lim d-lim 4(P2-p)+(P-B2)+() 月→0 Pn =A-lim,n-P-=A-A=0。 Pn-Pn- 23
2 1 ( 1) lim 1 − − = − →∞ n n n n 极限不存在，但lim n→∞ x y n n = 0。 7. 设 0＜λ ＜1，lim ，证明 n→∞ an = a lim n→∞ ( a a a a ) n n n n + + λ λ − − 1 + +λ 2 2 0 " = − a 1 λ 。 证 记k = λ −1 ，则 n n n n n n n n k k a k a a a a a 1 0 1 1 0 + + + + + + = − − − " λ " λ ，利用 Stolz 定理， lim n→∞ ( a a a a ) n n n n + + λ λ − − 1 + +λ 2 2 0 " n n n n n n k k a k a a 1 0 1 lim + + + = − − →∞ " ( 1) lim 1 − = − →∞ k k k a n n n n − λ = 1 a 。 8. 设 ,当 时有极限。{ }为单调递增的正数数列，且 ( n ）。证明： A a n k k n = = ∑ 1 n → ∞ pn pn → +∞ → ∞ lim n→∞ p a p a p a p n n n 1 1 2 2 0 + + + = " 。 证 设 An A，作代换 n = →∞ lim ak = Ak − Ak−1，得到 = + + + n n n p p a p a " p a 1 1 2 2 n n n n n p A p p A p p A p p A ( ) ( ) ( ) 1 2 − 1 + 2 3 − 2 + + −1 − −1 − " ， 对上式求极限，在求后一分式的极限时应用 Stolz 定理， lim n→∞ n n n p p1a1 + p2a2 +"+ p a n n n n n n n p A p p A p p A p p A ( ) ( ) ( ) lim lim 1 2 1 2 3 2 −1 −1 →∞ →∞ − + − + + − = − " = A − lim n→∞ 1 1 ( ) − − − − n n n n n p p A p p = A − A = 0。 23
习题2.4收敛准则 利用一+=e求下列数列的极限： w- (2)1im +4月 ⑧+ ④+ 6+八 解-=+)气+ 24》-++e o)-=[f a〔 (5)当n≥2时，有 ++s++ 由+2广=e与m+-e,即得m+=e 2.利用单调有界数列必定收敛的性质，证明下述数列收敛，并求出 极限： (1)x=V2,x41=V2+xn,n=12,3,… 24
习 题 2.4 收敛准则 1． 利用lim n→∞ e n n ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 求下列数列的极限： ⑴ lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 1 ; ⑵ lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 1 1 1 ; ⑶ lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 ; ⑷ lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 ; (5) lim n→∞ n n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − 2 1 1 1 。 解（1）lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 1 →∞ = n lim = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + −( −1) −1 1 1 1 1 1 1 n n n e 1 。 （2）lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 1 1 1 →∞ = n lim = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + +1 −1 1 1 1 1 1 1 n n n e。 （3）lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 →∞ = n lim = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 2 2 1 1 n n e 。 （4）lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 →∞ = n lim = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + n n n 1 2 2 1 1 1。 （5）当n ≥ 2时，有 n n n n n n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ < + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ≤ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 1 1 1 1 1 2 1 1 2 。 由lim n→∞ e n n ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 2 1 1 与lim n→∞ e n n ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 ，即得lim n→∞ e n n n ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − 2 1 1 1 。 2. 利用单调有界数列必定收敛的性质，证明下述数列收敛，并求出 极限： (1) x1= 2 , xn+1= 2 + xn , n = 1 2, ,3,"； 24
(2)x,=2,x1=2xn,n=1,2,3 08=52n=23 (4)x1=1,xm41=V4+3xn,n=1,2,3,… (5)0<x<1,x41=1-V1-xn,n=1,23,; (6)0<x<1,xm+1=xn(2-xn),n=1,2,3,…o 解(1)首先有0<x=2<2,设0<xk<2,则0<x+1=√2+x<2,由 数学归纳法可知n,0<xn<2。由 Xn+-xn=2+X-2+X=- 2+xm+V2+xm-1 可知数列{xt1-xn}保持同号；再由x2-x1>0,可知n,x1-xn>0, 所以{xn}是单调增加有上界的数列，因此收敛。设limx=a,对等式 x1=√2+xn两端求极限，得到方程a=√2+a,解此方程，得到a=2, 因此 lim x=2。 n0 （2)首先有0<x=2<2,设0<x<2,则0<x+1=√2x<2,由数 学归纳法可知n,0<xn<2。由x1-xn=√2xn-xn=√Xn(2-√xn)>0, 可知{xn}是单调增加有上界的数列，因此收敛。设limx=a,对等式 xn=√2xn两端求极限，得到方程a=√2a,解此方程，得到a=2(另 一解a=0舍去)，因此 limx=2。 月-→00 3)首先有x=2>-1,设x>1,则1=2>-山，由数学 25
(2) x1= 2 , xn+1= 2xn , n = 1 2, ,3,"； (3) x1= 2 , xn+1= − + 1 2 xn , n = 1 2, ,3,"； (4) x1=1, xn+1= 4 3 + xn , n = 1 2, ,3,"； (5) 0＜ x1＜1, xn+1=1 n − 1− x , n = 1 2, ,3,"； (6) 0＜ x1＜1, xn+1= xn (2 − xn ), n = 1 2, ,3,"。 解 （1）首先有0 < x1= 2 < 2，设0 < xk < 2，则0 < k+1 x = 2 + xk < 2，由 数学归纳法可知∀n，0 < xn < 2。由 xn+1 − xn = 2 + xn − 2 + n−1 x 1 1 2 2 − − + + + − = n n n n x x x x ， 可知数列{xn+1 − xn }保持同号；再由 0 x2 − x1 > ，可知∀n， ， 所以 是单调增加有上界的数列，因此收敛。设 ，对等式 = xn+1 − xn > 0 { }n x x a n n = →∞ lim xn+1 2 + xn 两端求极限，得到方程a = 2 + a ，解此方程，得到 ， 因此 a = 2 lim = 2 →∞ n n x 。 （2）首先有0 < x1= 2 < 2，设0 < xk < 2，则0 < k+1 x = 2xk < 2，由数 学归纳法可知∀n，0 < xn < 2。由 xn+1 − xn = n 2x n − x = xn ( 2 − xn ) > 0， 可知 是单调增加有上界的数列，因此收敛。设 ，对等式 = { }n x x a n n = →∞ lim xn+1 n 2x 两端求极限，得到方程a = 2a ，解此方程，得到 （另 一解 舍去），因此 a = 2 a = 0 lim = 2 →∞ n n x 。 （3）首先有 x1 = 2 > −1，设 xk > −1，则 = k+1 x 1 2 1 > − + − k x ，由数学 25