+++=1. (2)由n n n+n 与limn=l,可知 n→on+1 m1+1 w(n+万 n+V n+√n (3)由2=2m+2<罗<2n+2与1m2m+2=2,可知 n+1√Rn n→on (+1 =2。 (4)应用不等式2k>2k-12k+D,得到0<：3：5-(2n-<1 2.4.6…(2n)）√2n+1 由lim =0,可知 n→o√2n+1 1-3-5-2n-0=0。 lim m→西2.4.6…(2nm)） 9.求下列数列的极限： (1)1im 3n2+4n-1 n3+2n2-3n+1. n2+1, (2)1im 2n3-n+3 3"+n3 (3)1im ④）m(m+1-1sin2 n四3*1+(n+1)3 (5)lim n(n+1-√m); (6)lim n(+1-+1); ⑧m1-)--) (9)lim ngn; m-行是*+2经）：
limn→∞ 1 1 3 1 2 1 1 1 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + n n " 。 （2）由 ⎜ ⎝ ⎛ + < + 1 1 n n n n + 1 n + 2 + … + 1 1 + <⎟ ⎟ ⎠ ⎞ + n n n n ，lim = 1 →∞ n + n n n 与 1 1 lim = →∞ n + n n ，可知 limn→∞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 n + 1 n + 2 + … + 1 1 =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ n + n 。 （3）由 n n n k n n k n 1 2 2 1 2 2 2 2 2 ( 1) + < < + + = ∑ + = 与 2 2 2 lim = + →∞ n n n ，可知 limn→∞ ∑ + = 2 2 ( 1) 1 n k n k = 2。 （4）应用不等式2k > (2k −1)(2k +1) ，得到 2 1 1 2 4 6 (2 ) 1 3 5 (2 1) 0 + < ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − < n n n " " ， 由 0 2 1 1 lim = n→∞ n + ，可知 limn→∞ 0 2 4 6 (2 ) 1 3 5 (2 1) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − n n " " 。 9. 求下列数列的极限： ⑴ limn→∞ 3 4 1 2 2 n n n + − + 1 ; ⑵ limn→∞ n n n n n 3 2 3 2 3 2 3 + − + − + 1 ; ⑶ limn→∞ 3 3 1 3 1 3 n n n n + + + + ( ) ; ⑷ limn→∞ ( ) n si n n 2 1 1 2 + − π n ; ⑸ limn→∞ n n ( + − 1 n) ; ⑹ limn→∞ n n ( ) n 4 2 + −1 1 + ; ⑺ limn→∞ 1 n n ! ; ⑻ limn→∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 3 1 1 … ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 1 1 n ； ⑼ limn→∞ lg n n n ; ⑽ limn→∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + n n 2 2 1 2 3 2 1 2 " 。 16
解(1)1im 3n2+4n-1 3+41 =lim n2=3。 +00 n2+1 n→0 1+ 1+231 n3+2n2-3n+1 n-1 (2)im2n-n+3=m”,足 2-13 2 n n 1+ m*把明广时 (3)lim 3”+n 3n 3* (4)因为1imn2+1-1,|sin”zs1,所以 lim (n2 +1-1)sin r=0。 2 (5)ma(n+i-m=im厅 =lim noVn+1+√nna ++1 (6)1imn(代Wm2+1-√n+)=lim √n[n2+1-(n+1)2] n(n2+1+√n+1)(Vn2+1+n+1) -2n√n lim m(n2+1+√n+I)(Vn2+1+n+1) -2 lim- 2 1 .1 (7)1im 1g1+1g2+…+lg元 °n=-0,所以 n 8)m-- 1
解（1）limn→∞ 3 4 1 →∞ = n lim 1 2 2 n n n + − + 3 1 1 4 1 3 2 2 = + + − n n n 。 （2）limn→∞ n n n n n 3 2 3 2 3 + 1 →∞ = n lim 2 3 + − − + 2 1 1 3 2 2 3 1 1 2 3 2 3 = − + + − + n n n n n 。 （3）limn→∞ 1 3 3 3 ( 1) 3 + + + + n n n n →∞ = n lim ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + +1 3 3 3 ( 1) 3 1 3 1 n n n n 3 1 = 。 （4）因为limn→∞ 1 1 2 + = n n ， | 1 2 |sin ≤ nπ ，所以 limn→∞ ( ) n sin n n 2 1 1 2 + − π = 0。 （5）limn→∞ n n ( ) + − 1 n →∞ = n lim = n + + n n 1 limn→∞ = + +1 1 1 1 n 2 1 。 （6）limn→∞ n n ( ) n 4 2 + −1 1 + ( 1 1)( 1 1) [ 1 ( 1) ] lim 4 2 2 2 2 + + + + + + + − + = →∞ n n n n n n n n ( 1 1)( 1 1) 2 lim 4 2 2 + + + + + + − = →∞ n n n n n n n = + + + + + + − = →∞ ) 1 1 1 )( 1 1 1 1 ( 1 2 lim 2 4 2 n n n n n 2 1 − 。 （7）limn→∞ 1 1 lg1 lg lg 2 n n + + + = −∞ " ，所以 limn→∞ n = n! 1 0。 （8）limn→∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 3 1 1 … ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 1 1 n 17
n1-3243-5n-2n.n-1n+=lim =lim n+11 n→223242(n-102 n2 (9)1<nlgn<,lim√n2=1,所以 lim nlgn=1。 《0)设是，则1字+两武 相减得到，=1++分京+2点)-2.由 ,1.1 m+2分++2)-2，m21-0可知 1.1 n→2n limx=3。 700 10.证明：若an>0(n=12…),且ima=1>1,则1ima,=0。 antl 证取1<r<1,由1iman=1>1,可知N,n>N,成立an>r>1,于 m-→dn+l 是0<a,<a-(0月 =0可知 lima=0。 7≥00 11.证明：若a.>0(n=12,…),且lim=a,则1imVa。=a。 m→am 证 a2.a.a1及1im0l=a,可知 由an=aaa an-1 n→oan liman=a 12.设1im(a1+a2++an)存在，证明： (1)lim-(a1+2a2++nan)=0: n-→on (2)lim(nlaa2…an)=0(a,>0,i=1,2,…,n)。 18
→∞ = n lim = − + ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 2 2 ( 1)( 1) ( 1) ( 2) 4 3 5 3 2 4 2 1 3 n n n n n n " limn→∞ = + n n 2 1 2 1 。 （9） 2 1 lg n n < n n < n ，limn→∞ 1 2 = n n ，所以 limn→∞ lg n n n = 1。 （10）设 n n n x 2 2 1 2 5 2 3 2 1 2 3 − = + + +"+ ，则 2 1 2 2 1 2 5 2 3 2 1 − − = + + + n n n x " ，两式 相减，得到 n n n n x 2 2 1 ) 2 1 2 1 2 1 1 (1 2 2 − = + + + + + − " − 。由 n→∞ lim ) 2 2 1 2 1 2 1 (1 2 2 + + + + = " n− ， 0 2 2 1 lim = − →∞ n n n ，可知 lim = 3 →∞ n n x 。 10. 证明：若an > 0（n = 1,2,"），且lim 1 1 = > + →∞ l a a n n n ，则lim = 0。 →∞ n n a 证 取1 < r < l ，由lim 1 1 = > + →∞ l a a n n n ，可知∃N,∀n > N ，成立 1 1 > > + r a a n n ，于 是 1 1 1 0 − − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < < n N n N r a a 。由 1 1 1 lim 0 n N N n a r − − + →∞ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ ⎨ ⎬ ⎜ ⎟ = ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ ⎭ 可知 lim = 0 →∞ n n a 。 11．证明：若an > 0（n = 1,2,"），且 a a a n n n = + →∞ 1 lim ，则 n an a n = →∞ lim 。 证 由 n n n n n a a a a a a a a 2 1 3 1 2 1 − = ⋅ ⋅ ⋅"⋅ 及 a a a n n n = + →∞ 1 lim ，可知 n an a n = →∞ lim 。 12. 设lim ( a a )存在，证明： n→∞ a 1 2 + +"+ n (1) limn→∞ 1 2 1 2 n a a nan ( ) + +"+ = 0； (2) limn→∞ ( ! n a a a ) n n ⋅ 1 2 1 " = 0 ( ai > 0 , i = 1,2,…,n)。 18
解（1)设a+a++a,=S,mS,=a,则由2a:=心，-∑S,可知 m2a=lmS,-im- n-→nk=1 n→0 m-→onn-1 ∑Sk]=a-a=0。 1 (2)由0<(nla,a2…an)"≤二(a,+2a2+…+nan)与(1)，即得到 n lim(nla1a2…an)n=0。 13.已知lim a=a,l1imbn=b,证明： n→ lim ab,+a,b-++a.b=ab。 n-→o 2 证令an=a+an,bn=b+Bn,由1iman=a,lim b=b,可知limn=0, lim B-0。设neN,BnsM。因为 6+a++a4=b+62a4+2A+2aBnt1, n n k=1 nk=1 1a4B1sM21a4, n k= n k=1 由im之a4-0,m2a4=0及m之A.=0,得到 n-→onkl n-→onk=1 n-oo n k=1 lim ab+a,b-++a,b=ab。 14.设数列{a,}满足im+a++0=a(←0<a<+0)。证明： n lim =0 n-→on 证因为1im4+a++a=lim-l.a4+a++a)=a,所以 n-→ n n n-1 ---(4+青+a-4++=0。 n n 9
解（1）设a1 + a2 +"+ an = Sn，limn→∞ Sn = a ，则由 kak nS S 可知 k n n k n = = − ∑ ∑ = − 1 1 1 k limn→∞ ] 0 1 1 1 lim lim[ 1 1 1 1 = − = − ⋅ − ∑ = − ∑ − = →∞ →∞ = S a a n n n ka S n n k k n n n n k k 。 （2）由 n n a a an 1 1 2 0 < ( !⋅ " ) ( 2 ) 1 1 2 n a a na n ≤ + +"+ 与（1），即得到 limn→∞ ( ! n a a a ) n n ⋅ 1 2 1 " = 0。 13. 已知limn→∞ an = a ，limn→∞ bn = b，证明： limn→∞ a b a b a b n ab 1 2 n n + 1+ + n 1 = − " 。 证 令an = a +α n bn = b + β n , ，由limn→∞ an = a ，limn→∞ bn = b，可知limn→∞ α n = 0， limn→∞ β n = 0。设∀n ∈N +， β n ≤ M 。因为 = + + − + + ab n a1bn a2bn 1 " anb1 ∑ = n k k n b 1 α ∑ = + n k k n a 1 β ∑ = + − + n k k n k n 1 1 1 α β ， ∑ = − + ≤ n k k n k n 1 1 | | 1 α β | | 1 ∑ = n k k n M α ， 由 0 1 lim 1 ∑ = = →∞ n k k n n α ， 0 1 lim 1 ∑ = = →∞ n k k n n α 及 0 1 lim 1 ∑ = = →∞ n k k n n β ，得到 limn→∞ a b a b a b n ab 1 2 n n + 1+ + n 1 = − " 。 14. 设数列{ an }满足limn→∞ a a a n 1 2 + +"+ n = a (−∞ ＜a＜+ ∞) 。证明： limn→∞ a n n = 0。 证 因为 = + + + − →∞ n a a an n 1 2 1 lim " limn→∞ a n a a a n n n = − + + + ⋅ − − ) 1 1 ( 1 2 " 1 ，所以 limn→∞ a n n =limn→∞ n a1 + a2 +"+ an ( ) 0 1 2 1 = + + + − − n a a " an 。 19
习题2.3无穷大量 1.按定义证明下述数列为无穷大量： (1) n2+1 a{-》 (a>1): 2n+1 (3){n-arc tann; (4) {++ 证(1)∀G>0,取N=B,当m>N时，成立+>G。 2n+1>3 2)vG>0,取N=u1,当>N时，成立ce.日=lgn>G… (3)G>0,取N-G+1,当m>N时，成立n-arctan>G。 (4)G>0,取N=[2G2],当n>N时，成立 1+1+…+ 1 Vn+1√n+2 n>G。 2.(1)设1iman=+oo(或-o),按定义证明： m品+十也=切（或-m方 n (2)设an>0,lim a,=0,利用(1)证明： lim(a,a2…an)n=0。 月0 证(1)设1iman=+o,则∀G>0,3N1>0,n>N1:an>3G。对固定的N1, 700 3W>2W,n>N: 09,于是 a1+a2+…+an≥ay+1+ay+2+…+am a1+a2+…+aN 3G G =G。 n 22 同理可证当1ima,=-o时，成立1im4+a,++a-0。 n+四 n 20
习 题 2.3 无穷大量 1. 按定义证明下述数列为无穷大量： (1) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + 2 1 1 2 n n ； (2) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n a 1 log (a > 1)； (3) { n − arc tan n }； (4) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + + + n + n 2n 1 2 1 1 1 " 。 证（1）∀G > 0，取 N = [3G]，当n > N 时，成立 G n n n > > + + 2 1 3 1 2 。 （2）∀G > 0，取 N = [aG ]，当n > N 时，成立 n G n a ⎟ = a > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ log 1 log 。 （3）∀G > 0，取 ] 2 [ π N = G + ，当n > N 时，成立 n − arctan n > G。 （4）∀G > 0，取 N = [2G2 ]，当n > N 时，成立 G n n n n n + + > > + + + 2 2 1 2 1 1 1 " 。 2. (1) 设lim n→∞ an = +∞ (或− ∞ )，按定义证明： lim n→∞ a a a n 1 2 + +"+ n = +∞ (或− ∞ ); (2) 设a ＞0， = 0 ，利用（1）证明： n lim n→∞ an lim n→∞ (a a an n 1 2 1 " ) = 0。 证（1）设 = +∞，则 →∞ n n lim a ∀G > 0,∃N1 > 0,∀n > N1 : an > 3G 。对固定的 N1， 2 , : ∃N > N1 ∀n > N 2 1 1 2 G n a a aN < + +"+ ，于是 ≥ + + + n a1 a2 " an n aN +1 + aN +2 +"+ an 1 1 G G G n a a aN > − = + + + − 2 2 1 2 " 1 3 。 同理可证当lim 时，成立 n→∞ an = −∞ lim n→∞ a a a n 1 2 + +"+ n = −∞ 。 20