7.证明非空有下界的数集必有下确界。 证参考定理2.1.1的证明。 8.设S={dxeQ并且x2<3},证明： (1)S没有最大数与最小数： (2)S在Q内没有上确界与下确界。 证1)号es,号0，则8 <3,9<2。取有理数r>0充分小， 使得+-g于是+-g+2+< +r2+4r<3, 即+r∈S,所以S没有最大数。同理可证S没有最小数。 p (2)反证法。设S在Q内有上确界，记supS=”（m,n∈N+且m,n互 质)，则显然有0<”<2。由于有理数平方不能等于3，所以只有两种 m 可能： <3,由(1)可知存在充分小的有理数r>0,使得 这说明”+reS,与supS=”矛盾； 么 >3,取有理数r>0充分小，使得4-r2< 2 (ii) nm -3,于是 m 0--0+>(-+>3,这说明0r也是5的上 m 界，与supS=”矛盾。所以S没有上确界。 同理可证S没有下确界
7. 证明非空有下界的数集必有下确界。 证 参考定理2.1.1的证明。 8. 设S { | 3} 2 = x x ∈Q并且x < ，证明： (1) S 没有最大数与最小数； (2) S 在Q内没有上确界与下确界。 证 （1） S p q ∀ ∈ ， > 0 p q ，则 3 2 < ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ p q ， < 2 p q 。取有理数 充分小， 使得 r > 0 2 2 4 3 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + < − p q r r ，于是 + + < ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + r p q r p q r p q 2 2 2 2 4 3 2 2 + + < ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ r r p q ， 即 r S p q + ∈ ，所以S 没有最大数。同理可证S 没有最小数。 （2）反证法。设 S 在Q内有上确界，记 m n sup S = （ 且 互 质），则显然有 + m, n ∈ N m, n 0 < < 2 m n 。由于有理数平方不能等于3，所以只有两种 可能： （i） 3 2 ⎟ < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ m n ，由（1）可知存在充分小的有理数r > 0，使得 3 2 ⎟ < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + r m n ， 这说明 r S m n + ∈ ，与 m n sup S = 矛盾； （ii） 3 2 ⎟ > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ m n ，取有理数 r > 0 充分小，使得 4 3 2 2 ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − < m n r r ，于是 ⎟ − + > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 2 2 r r m n m n r m n 4 3 2 2 ⎟ − + > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ r r m n ，这说明 r m n − 也是 的上 界，与 S m n sup S = 矛盾。所以S 没有上确界。 同理可证S 没有下确界。 11
习题2.2数列极限 1.按定义证明下列数列是无穷小量： {: (2){(-1)”(0.99)”}: ⑧日+s: n m{ 1+1 (8) 2r 证（1)ve0<c<2,取w=[ 当n>N时，成立0<n+1<2<6。 n2+1n (2)ε(0<6<1)，取N= 当n>N时，成立 1g0.99 (-1(0.99)<(0.99)eo=6。 (3)ε(0<E<2),取N1= 当n>N时，成立取%-[引 当m>时，成立5”<登：则当n>N=max.N:时，成立+5Ks。 4e0<cc0,取w-[, 当n>N时，成立 0<1+2++n-n+11 <-<6。 (5)当n>11时，有=产 n2 6n一<1。于是E>0, 3=1+2y<2C8n-1n-2)n 取N=[卧 当n>N时，成立0<？<<E。 12
习 题 2.2 数列极限 1. 按定义证明下列数列是无穷小量： ⑴ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + 1 1 2 n n ； ⑵ {( ) −1 0 n n ( .99) }； ⑶ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + −n n 5 1 ； ⑷ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + + + 3 1 2 3 n " n ； ⑸ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n 3 2 ； ⑹ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ! 3 n n ； ⑺ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n n! ； ⑻ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − + − + + + − n n n n n 2 1 ( 1) 2 1 1 1 1 " 。 证 （1）∀ε (0 < ε < 2)，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 2 N ，当n > N 时，成立 < < ε + + < n n n 2 1 1 0 2 。 （2）∀ε (0 < ε < 1) ，取 lg lg 0.99 N ⎡ ε ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ，当n > N 时，成立 lg lg0.99 ( 1) (0.99) (0.99) n n ε − < = ε 。 （3）∀ε (0 < ε < 2)，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 2 N1 ，当n > N1时，成立 2 1 ε < n ；取 2 5 2 N log ε ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦， 当n > N2 时，成立5−n 2 ε < ；则当n > N = max{N1,N2 }时，成立 1 5 n n ε − + < 。 （4）∀ε (0 < ε < 1) ，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 1 N ，当n > N 时，成立 < < ε + = + + + < n n n n n 1 2 1 2 1 0 3 2 " 。 （5）当n > 11时，有 2 2 2 n 3 3 3 (1 2) 2 n n n n n C = < + n n n n 1 8( 1)( 2) 6 < − − = 。于是∀ε > 0， 取 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 1 N max 11, ，当n > N 时，成立 < < < ε n n n 1 3 0 2 。 12
(6)当5,有若)。于是ve0<,取 一3 N=5+ 当>w时，成立0君< (7) 的整数部分为m,则有 记 。e(0<￡<1)，取 N=2 Igs +4, 当n>N时，有m>-1>g≤，于是成立 2 g C8》首先有不等式02+r分台V0s<, 2n n 取w[卧 当>N时，成立0<2+a nn+l n+2 2. 按定义证明下述极限： (1)1im 2n2-12 03n2+2=3 (2)1im m2+n=1; n-→∞ (3)lim(m+n-m）=2 (4)lim/3n+2=1; 7→00 n+√n (⑤)1imx,=1,其中xn= n n是偶数，。 1-10-", n是奇数， 证(1)s>0,取N [ 当n>N时，成立 2n2-1_ 7 3n2+23 33n2+2)n京<6。 2)s>0, 取w-[, 当n>N时，成立 3
（6）当n > 5，有 5 5 5 2 1 3 2 1 5! 3 ! 3 − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ < ⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ ⋅ n n n n 。于是∀ε (0 < ε < 3)，取 lg 3 5 1 lg 2 N ⎡ ⎤ ε ⎢ ⎥ = + ⎢ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎥，当n > N 时，成立 ⎟ < ε ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < < ⋅ −5 2 1 3 ! 3 0 n n n 。 （ 7 ） 记 2 n 的整数部分为 m ，则有 m n n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < 2 ! 1 。 ∀ε (0 < ε < 1) ， 取 lg 2 4 1 lg 2 N ε ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ，当n > N 时，有 lg 1 2 1 lg 2 N m ε > − > ，于是成立 ⎟ < ε ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < < m n n n 2 ! 1 0 。 （8）首先有不等式 n n n n n n 1 2 1 ( 1) 2 1 1 1 1 0 − + − < + + + < − " 。∀ε (0 < ε < 1) ， 取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 1 N ，当n > N 时，成立 − + − < < ε + + + < − n n n n n n 1 2 1 ( 1) 2 1 1 1 1 0 " 。 2. 按定义证明下述极限： ⑴ limn→∞ 2 1 3 2 2 3 2 2 n n − + = ； ⑵ limn→∞ n n n 2 1 + = ； ⑶ limn→∞ ( ) n n n 2 1 2 + − = ； ⑷ limn→∞ 3 2 n n + = 1； ⑸ limn→∞ xn =1,其中 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + = − ， ， 是奇数 是偶数 n n n n n x n n 1 10 , , 。 证 （1）∀ε > 0，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 1 N ，当n > N 时，成立 < < ε + − = + − 2 2 2 2 1 3(3 2) 7 3 2 3 2 2 1 n n n n 。 （2）∀ε > 0，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2ε 1 N ，当n > N 时，成立 13
Vn2+n L—<<6 n n2+n+n 2n (3)s>0,取w-[] ,当n>N时，成立 2(Vn2+n+n)2 8n (4)令3n+2=1+an,则an>0,3n+2=(1+an)”>1+C7a斤。当n>3时， 有an< 房所以e0,取N-[] 当n>N时，成立 (5)e0<s<,取N=nma[2e} 当n>N时，若n是偶数， 则成立-小石<e:若n是奇数，则成立-记 <。 3.举例说明下列关于无穷小量的定义是不正确的： (1)对任意给定的ε>0，存在N,使当n>N时成立x。<e: (2)对任意给定的ε>0，存在无穷多个xn,使|x,|<ε。 解 (1)例如xn=-n,则：n}满足条件，但不是无穷小量。 n n是奇数 (2)1 例如x。 是偶数' 则{x}满足条件，但不是无穷小量。 4.设k是一正整数，证明：limx,=a的充分必要条件是Iimx+k=a。 证设1imx,=a,则s>0,V,n>N,成立x,-4<6,于是也成 立k+k-d<6,所以Iimx+k=a 设1imxt=a,则6>0，N，n>N,成立w-<E,取 14
< < ε + + − = + n n n n n n n 2 1 1 1 2 2 。 （3）∀ε > 0，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 8ε 1 N ，当n > N 时，成立 < < ε + + + − − = n n n n n n n n 8 1 2( ) 2 1 ( ) 2 2 2 。 （4）令 n n 3n + 2 = 1+ a ，则 ， 。当 时， 有 an > 0 2 2 3 2 (1 ) 1 n n n n + = + an > + C a n > 3 n n n n an 3 ( 1) 2(3 1) < − + < ，所以∀ε > 0，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 9 ε N ，当n > N 时，成立 + − = < < ε n n an n 3 3 2 1 。 （5）∀ε (0 < ε < 1) ，取 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε ε 1 , lg 1 max 2 N ，当 时，若 是偶数， 则成立 n > N n − = < ε n xn 1 1 ；若n是奇数，则成立 − = < ε n n x 10 1 1 。 3. 举例说明下列关于无穷小量的定义是不正确的： (1) 对任意给定的ε > 0，存在 N ，使当n > N 时成立 xn ； n n < ε (2) 对任意给定的ε > 0，存在无穷多个 x ,使｜ x ｜＜ε。 解 （1）例如 xn = −n ，则{xn }满足条件，但不是无穷小量。 （2）例如 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = 是偶数 是奇数 n n n n xn 1 ，则{xn }满足条件，但不是无穷小量。 4. 设k 是一正整数，证明：limn→∞ xn = a 的充分必要条件是lim 。 n→∞ xn k + = a 证 设lim ，则 n→∞ xn = a ∀ε > 0，∃N ，∀n > N ，成立 x − a < ε n ，于是也成 立 − < ε xn+k a ，所以limn→∞ xn k + = a ； 设 limn→∞ xn k + = a ，则 ∀ε > 0 ， ∃N' ， ∀n > N' ，成立 − < ε xn+k a ，取 14
N=N'+k,则n>N,成立xn-a<e,所以limx=ao 5.设1imx2n=limx41=a,证明：lim x=ao 证由1imxn=-lim1=a,可知E>0,3N1,n>N,成立k2n-d<E: N2,n>N2,成立x2m+1-d<e。于是取N=max2N1,2N2+1},n>N, 成立xn-d<ε。 6.设xn之0，且1imxn=a之0，证明：1 lim。=Va。 证首先有不等式W-Va≤-a。由imx,=a,可知s>0,W, n>N,成立lkn-d<e2,于是xn-van sx-an<6。 7.{xn}是无穷小量，{yn}是有界数列，证明{xnyn}也是无穷小量。 证设对一切n,y≤M。因为{xn}是无穷小量，所以e>0,N, n>N,成立k<号。于是n>N,成立k,<8,所以{x也是 无穷小量。 8.利用夹逼法计算极限： (1) lim (2)1im 彡中 n+√ ++n: (+21 (3)1im∑ → 派 13.5…(2n-1) (4)im2-4-62m 解D由1<+好+<版与▣预-1，可知 小
N = N'+k ，则∀n > N ，成立 x − a < ε n ，所以limn→∞ xn = a 。 5. 设lim = ，证明： n→∞ x2n limn→∞ x2 1 n+ = a limn→∞ xn = a 。 证 由lim = ，可知 n→∞ x2n limn→∞ x2 1 n+ = a ∀ε > 0，∃N1， N1 ∀n > ，成立 x − a < ε 2n ； ∃N2，∀n > N2 ，成立 − < ε x2n+1 a 。于是取 N = max{2N1,2N2 +1}， ， 成立 ∀n > N x − a < ε n 。 6. 设 xn ≥ 0，且lim ,证明： n→∞ xn = a ≥ 0 limn→∞ xn = a 。 证 首先有不等式 x − a ≤ x − a 。由limn→∞ xn = a ，可知∀ε > 0， ， ，成立 ∃N ∀n > N 2 x − a < ε n ，于是 − ≤ − < ε n n n an x a x 。 7. { xn }是无穷小量，{ yn }是有界数列，证明{ xn yn }也是无穷小量。 证 设对一切n， yn ≤ M 。因为{ xn }是无穷小量，所以∀ε > 0， ， ，成立 ∃N ∀n > N M xn ε < 。于是∀n > N ，成立 < ε n n x y ，所以{ }也是 无穷小量。 xn yn 8. 利用夹逼法计算极限： (1) limn→∞ n n 1 1 3 1 2 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + +"+ ； (2) limn→∞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 n + 1 n + 2 + … + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ n + n 1 ； (3) limn→∞ ∑ + = 2 2 ( 1) 1 n k n k ； (4) limn→∞ 135 2 1 246 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ " " ( ) ( ) n n 。 解（1）由 n n n n ⎟ < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < + + + + 1 1 3 1 2 1 1 1 " 与 lim = 1 →∞ n n n ，可知 15