(2)函数∫和g不等同； (3)函数f和g等同。 7.(1)设f(x+3)=2x3-3x2+5x-1,求f(x); ②设（求… 解(1)令x+3=1,则x=t-3,代入等式，得到 f)=2(t-3)3-31-3)2+5t-3)-1=2t3-21r2+77t-97, 所以f(x)=2x3-21x2+77x-97: (2)令=，则x=代入等式，得到 x-1 31-1 0=-24+,所以)=2x+1 +141-11 31 4x-1 t-1 1 8.设f)=1+求∫of,ff,ffff的函数表达式。 解(1)ffx)=+L: x+2 fofo/(x)=x+2 2x+3 fofofofx)=2x+3 3x+59 9.证明：定义于(-0，+∞)上的任何函数都可以表示成一个偶函数与一 个奇函数之和。 证显然)+-)是偶函数，)-f-)是奇函数，而 2 2 f0)=f)+f-y+f)-f-y. 2 2 10.写出折线ABCD所表示的函数关系y=∫(x)的分段表示，其中 A=(0,3),B=(1,-1),C=(3,2),D=(4,0)
（2）函数 f 和 g 不等同； （3）函数 f 和 g 等同。 7. (1) 设 f x( ) + = 3 2x 3 2 − 3x + 5x − 1,求 f x( ) ； (2) 设 3 1 3 1 1 + − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − x x x x f ,求 f x( ) 。 解（1）令 x + 3 = t ，则 x = t − 3，代入等式，得到 ( ) 2( 3) 3( 3) 5( 3) 1 3 2 f t = t − − t − + t − − 2 21 77 97 3 2 = t − t + t − ， 所以 f (x) = 2x3 − 21x 2 + 77x − 97； （2）令 t x x = −1 ，则 −1 = t t x ，代入等式，得到 ( ) 1 1 3 1 1 3 + − − − = t t t t f t 4 1 2 1 − + = t t ，所以 4 1 2 1 ( ) − + = x x f x 。 8. 设 f x( ) = + 1 1 x ,求 f D f ， f f D D f , f f D D f D f 的函数表达式。 解（1） 2 1 ( ) + + = x x f D f x ； 2 3 2 ( ) + + = x x f D f D f x ； 3 5 2 3 ( ) + + = x x f D f D f D f x 。 9. 证明：定义于 上的任何函数都可以表示成一个偶函数与一 个奇函数之和。 ( , −∞ +∞) 证 显然 2 f (x) + f (−x) 是偶函数， 2 f (x) − f (−x) 是奇函数，而 2 ( ) ( ) ( ) f x f x f x + − = 2 f (x) − f (−x) + 。 10. 写出折线 ABCD 所表示的函数关系 y f = (x) 的分段表示，其中 A = ( , 0 3)， B = ( , 1 −1)，C = ( , 3 2) ， D = ( , 4 0)。 6
[-4x+3 x∈[o,] 解 3 y= 2x-2 x∈，3]。 -2x+8 x∈3,4 (1,1) 0 x 2 x 图1.2.8 图1.2.9 11. 设f(x)表示图1.2.8中阴影部分面积，写出函数y=f(x),x∈[0,2] 的表达式。 x∈[0,1] 解 y= 2+2x-1x∈(0,2] 12.一玻璃杯装有汞、水、煤油三种液体，比重分别为13.6,1,0.8 克/厘米3（图1.2.9），上层煤油液体高度为5厘米，中层水液体高度 为4厘米，下层汞液体高度为2厘米，试求压强P与液体深度x之间 的函数关系。 78.4x xe[0,5] 解P(x)=98x-98 x∈(5,9]。 1332.8x-11211.2x∈(9,11 13.试求定义在[0,1]上的函数，它是[0,1]与[0,1]之间的一一对应
解 [ ] ( ] ⎪ ( ] ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − + ∈ − ∈ − + ∈ = 2 8 3,4 1,3 2 5 2 3 4 3 0,1 x x x x x x y 。 y ( , 1 1 ) O x 2 x 图 1.2.8 图 1.2.9 11. 设 f x( ) 表示图1.2.8中阴影部分面积，写出函数 y f = (x) , x ∈[ , 0 2 ] 的表达式。 解 [ ] ( ] 2 2 1 0,1 2 1 2 1 1,2 2 x x y x x x ⎧ ∈ ⎪⎪ = ⎨ ⎪− + − ∈ ⎪⎩ 。 12. 一玻璃杯装有汞、水、煤油三种液体，比重分别为13.6，1，0.8 克／厘米３ (图1.2.9)，上层煤油液体高度为5厘米，中层水液体高度 为4厘米，下层汞液体高度为2厘米，试求压强 P与液体深度 x之间 的函数关系。 解 [ ] ( ] ( ] ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ∈ − ∈ ∈ = 1332.8 11211.2 9,11 98 98 5,9 78.4 0,5 ( ) x x x x x x P x 。 13. 试求定义在[ , 0 1 ]上的函数，它是[ , 0 1 ]与[ , 0 1 ]之间的一一对应， 7
但在[0,1]的任一子区间上都不是单调函数。 x x为有理数 解fx)=-xx为无理数
但在[ , 0 1 ]的任一子区间上都不是单调函数。 解 。 ⎩ ⎨ ⎧ − = 为无理数 为有理数 x x x x f x 1 ( ) 8
第二章 数列极限 习题2.1实数系的连续性 1.(1)证明√6不是有理数： (2)V3+V2是不是有理数？ 证(1)反证法。若√6是有理数，则可写成既约分数V6=m。由m2=6n2, 可知m是偶数，设m=2k,于是有3n2=2k2,从而得到n是偶数，这与 ”是既约分数矛盾。 n (2)√3+√2不是有理数。若√3+√2是有理数，则可写成既约分数 3+2=m,于是3+26+2=m, ，V6-m-，即6是有理数，与 2n22 (1)的结论矛盾。 2.求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在： A={x|x≥0}； B={sin0<x<2 3 c-m m,neN*并且n<m。 解 minA=0;因为x∈A,有x+1∈A,x+1>x,所以maxA不存在。 mxB=sm受=l:因为vxe,3ae0引 使得x=sina,于是有 sm号eB,sn号<x,所以mmB不存在。 2
第二章 数列极限 习 题 2.1 实数系的连续性 1. (1) 证明 6不是有理数； (2) 3 + 2 是不是有理数? 证（1）反证法。若 6 是有理数，则可写成既约分数 n m 6 = 。由 ， 可知 是偶数，设 ，于是有 ，从而得到 是偶数，这与 2 2 m = 6n m m = 2k 2 2 3n = 2k n n m 是既约分数矛盾。 （2） 3 + 2 不是有理数。若 3 + 2 是有理数，则可写成既约分数 3 2 + n m = ，于是 2 2 3 2 6 2 n m + + = ， 2 5 2 6 2 2 = − n m ，即 6 是有理数，与 （1）的结论矛盾。 2. 求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在： A x = { | x ≥ 0}； ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = < < 3 2 sin | 0 π B x x ； ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ∈ < + m n n m m n C , N 并且 。 解 min A = 0；因为∀x ∈ A，有 x +1∈ A， x +1 > x，所以max A不存在。 1 2 max = sin = π B ；因为∀x ∈ B ， ⎥ ⎦ ⎤ ⎜ ⎝ ⎛ ∃ ∈ 2 0, π α ，使得 x = sinα ，于是有 ∈ B 2 sin α ， < x 2 sin α ，所以min B不存在。 9
maxC与minC都不存在，因为v”∈C,有neC,n+!∈C, m+1 m+1 n<”<n+, 所以maxC与minC都不存在。 m+l mm+l 3.A,B是两个有界集，证明： (I)AUB是有界集； (2)S={x+yx∈A,y∈B}也是有界集。 证(1)设x∈A,有冈≤M1,x∈B,有≤M2,则x∈AUB,有 ≤max{M1,M2}。 (2)设x∈A,有x≤M,x∈B,有冈≤M2,则xeS,有冈≤M+M2。 4.设数集S有上界，则数集T={x-x∈S有下界，且supS=-infT。 证设数集S的上确界为supS,则对任意x∈T={x-xeS;,有 -x≤supS,即x≥-supS;同时对任意E>0,存在yeS,使得y>supS-6, 于是-yeT,且-y<-supS+e。所以-supS为集合T的下确界，即 infT=-supS。 5.证明有界数集的上、下确界唯一。 证设spS既等于A,又等于B,且A<B。取G=B-A0,因为B为 2 集合S的上确界，所以存在x∈S,使得x>B-e>A,这与A为集合S的 上确界矛盾，所以A=B,即有界数集的上确界唯一。同理可证有界 数集的下确界唯一。 6.对任何非空数集S,必有supS≥infS。当supS=infS时，数集S有什 么特点？ 解对于任意的xeS,有infS≤x≤supS,所以supS≥infS。当 supS=infS时，数集S是由一个实数构成的集合。 o
maxC 与minC 都不存在，因为 C m n ∀ ∈ ，有 C m n ∈ +1 ， C m n ∈ + + 1 1 ， 1 1 1 + + < < + m n m n m n ，所以maxC 与minC 都不存在。 3. A, B是两个有界集，证明： (1) A∪ B 是有界集； (2) S x = + { | y x ∈ A, y ∈ B}也是有界集。 证 （1）设∀x ∈ A，有 M1 x ≤ ，∀x ∈ B ，有 M2 x ≤ ，则∀x ∈ A∪ B，有 { } 1 2 x ≤ max M , M 。 （2）设∀x ∈ A，有 M1 x ≤ ，∀x ∈ B ，有 M2 x ≤ ，则∀x ∈ S ，有 M1 M2 x ≤ + 。 4. 设数集S 有上界，则数集T x = { | − x ∈S}有下界，且supS =− inf T 。 证 设数集 S 的上确界为 sup S ，则对任意 x ∈ T x = { | − ∈x S} ，有 − x ≤ sup S ，即 x ≥ −sup S ；同时对任意ε > 0，存在 y ∈ S ，使得 y > sup S − ε ， 于是 − y ∈T ，且 − y < −sup S + ε 。所以 − sup S 为集合T 的下确界，即 inf T = −sup S 。 5. 证明有界数集的上、下确界唯一。 证 设sup S 既等于 A，又等于B ，且 A < B。取 0 2 > − = B A ε ，因为B 为 集合S 的上确界，所以存在 x ∈ S ，使得 x > B − ε > A，这与 A为集合 的 上确界矛盾，所以 S A = B ，即有界数集的上确界唯一。同理可证有界 数集的下确界唯一。 6. 对任何非空数集S ，必有sup S ≥inf S 。当sup S =inf S 时，数集S 有什 么特点? 解 对于任意的 x ∈ S ， 有 inf S ≤ x ≤ sup S ，所以 sup S ≥ inf S 。 当 sup S =inf S 时，数集S 是由一个实数构成的集合。 10