依据条件(2),可以依次确定系数c,c1,cn.例如, 取x=xm,得co=Nn(x0)=f(x0) 取xx1,得N(x)=CG+c1(x1-x)=f(x1) N(x-c f(x-f(xo) 取x=x2,得 N(x2)=C+c(x2-x)+c2(x2-xx2-x)=f(x2)
依据条件(2),可以依次确定系数c0 ,c1 ,…,cn..例如, 取x=x0 ,,得 取x=x1 ,得 1 0 1 0 1 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) N x c f x f x n c x x x x − − = = − − 0 0 0 ( ) ( ) n c N x f x = = 1 0 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) N x c c x x f x n = + − = 取x=x2 ,得 0 1 2 0 2 2 0 2 1 2 c c x x c x x x x f x + − + − − = ( ) ( )( ) ( ) 2 ( ) N x n =
csN(x)2-c-c(x2)fx)-(x)-f(x)-(x) (x2-x)x2-x) (x2-x0)x2-x) f(x2)-f(x1)+ f (x,)-f(x f(x)-f() x X-X X1-Yo (x2-x0(x2-x) f (,)-f(x,f() -f( x 为了得到计算系数c的一般方法,下面引进差商的概念
. 1 0 2 0 2 0 2 0 1 2 0 1 0 2 2 0 2 1 2 0 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) n f x f x f x f x x x N x c c x x x x c x x x x x x x x − − − − − − − − = = − − − − 1 0 1 0 2 1 1 0 2 0 1 0 1 0 2 0 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) f x f x f x f x f x f x x x x x x x x x x x x x − − − + − − − − − = − − 2 1 1 0 2 0 2 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x f x x x x x x x − − = − − − − 为了得到计算系数ci的一般方法,下面引进差商的概念.
二差商的定义 给定|ab中互不相同的点x0x1x2,,以及fx)在这些点处相 应的函数值f(xof(x1),f(x2)用记号 f(x0)-f(x1) 表示fx)在x0及x两点的一阶差商.用记号 f[x。,x12x2] f[x,x]-f[x12x2] 表示fx)在x0x1x2三点的二阶差商.一般地有了k-阶差商之后 可以定义fx)在x0x1yyx1的阶差商
二 差商的定义 给定[a,b]中互不相同的点x0 ,x1 ,x2 ,…,以及f(x)在这些点处相 应的函数值f(x0 ),f(x1 ),f(x2 ),…,用记号 表示f(x)在x0及x1两点的一阶差商. 用记号 表示f(x)在x0 ,x1 ,x2三点的二阶差商. 一般地,有了k-1阶差商之后, 可以定义f(x)在x0 ,x1 ,..,xk的k阶差商 0 1 0 1 0 1 ( ) ( ) [ , ] f x f x f x x x x − = − 0 1 1 2 0 1 2 0 2 [ , ] [ , ] [ , , ] f x x f x x f x x x x x − = −
八x,x…,x-=21x…x-/12”到 三 Newton插值公式 由差商定义,有 f(r)=fxo+(c-xoflxscol fx ol= foxx+(x-x1flx, roxl fx, xo x=fxo x21+(c-x2flxxroxkid2I 八xx0,…xnl}=fx0,…yxnl+(xxn)/xx0,……,xnl 将以上各式,由下而上逐步代入,得到 fr)=fxo+(x-xofxo+(x-xo(x-xufxosixx2 +…+(x-x0)…(x-xn1)f(x0,…,yxn (5) +(x-x0)…(x-xn1)(x-xnD/Lx,x0,…xnl
0 1 1 1 2 0 1 0 [ , , , ] [ , , , ] [ , , , ] k k k k f x x x f x x x f x x x x x − − = − 三 Newton插值公式 由差商定义,有 f(x)= f[x0 ]+(x-x0 )f[x,x0 ] f[x,x0 ]= f[x0 ,x1 ]+(x-x1 )f[x,x0 ,x1 ] f[x,x0 ,x1 ]= f[x0 ,x1 ,x2 ]+(x-x2 )f[x,x0 ,x1 ,x2 ] ……….. f[x,x0 ,…xn-1 ]= f[x0 ,…,xn ]+(x-xn )f[x,x0 ,….,xn ] 将以上各式，由下而上逐步代入，得到 f(x)= f(x0 )+(x-x0 ) f[x0 ,x1 ]+(x-x0 )(x-x1 ) f[x0 ,x1 ,x2 ] +…+(x-x0 )…(x-xn-1 ) f[x0 ,…,xn ] +(x-x0 )…(x-xn-1 )(x-xn )f[x,x0 ,…xn ] (5)