其中：A为振幅：o为角频率 对P点：=cos1- ,因P点是任意一点， ·.·0=2mv,=入v 5y=Acos2axu-克》 上式称为平面简谐波的波动方程 若波沿x轴负向传播，则表达式为： y=Acoso(t+) 或r=4cos2xu+克 结论： 4)波的传播不是介质质元的传播，而是振动状态的传播，某时刻某质元的振动状态将在较晚 时刻于“下游”某处出现： 5)“上游”的质元依次带动下游”质元振动： 6)沿波的传播方向，各质元的相位依次落后： 7)同相位点质元的振动状态相同，相邻同相位点，相位差为2π。 二波函数的物理含义 1x一定时为该处质点的振动方程，对应曲线为该处质点做简谐振动的振动曲线，方程为： 1V=Ac0sM-0】 2一定时为该时刻各质点位移分布，对应曲线为该时刻各质点的位移分布波形图，方程为： y=Acs0-2) 3、x都变化时，表示波线上所有质点在各个时刻的位移情况，方程为： J=4cos2a1-克 波的传播是相位的传播，也是振动这种运动形式的传播，或说是整个波形的传播，波速 就是相位或波形向前传播的速度。总之，当和x都变化时，波函数就描述了波的传播过程，所 以这种波也称为行波，或前进波。 注意： =-4o血ou- “：要注意区别质点的振动速度和波的传播速度 “；为质点振动的加速度 三波动微分方程 前面我们从运动学角度讨论了简谐波的传播规律，并着重分析了平面简谐波的波函数。现 在从动力学角度讨论一般平面波所满足的微分方程
其中：Ａ为振幅；为角频率 对Ｐ点： cos ( ) u x y = A t − ，因P点是任意一点， = 2，u = 故 cos2 ( ) x y = A t − 上式称为平面简谐波的波动方程。 若波沿x轴负向传播，则表达式为： cos ( ) u x y = A t + 或 cos2 ( ) x y = A t + 结论： 4) 波的传播不是介质质元的传播，而是振动状态的传播，某时刻某质元的振动状态将在较晚 时刻于“下游”某处出现； 5) “上游”的质元依次带动“下游”质元振动； 6) 沿波的传播方向，各质元的相位依次落后； 7) 同相位点质元的振动状态相同，相邻同相位点，相位差为2。 二 波函数的物理含义 1 x一定时为该处质点的振动方程，对应曲线为该处质点做简谐振动的振动曲线，方程为： y = Acos(t −) 2 t一定时为该时刻各质点位移分布，对应曲线为该时刻各质点的位移分布波形图，方程为： ) 2 cos( x y = A − 3 t、x都变化时，表示波线上所有质点在各个时刻的位移情况，方程为： cos2 ( ) x y = A t − 波的传播是相位的传播，也是振动这种运动形式的传播，或说是整个波形的传播，波速u 就是相位或波形向前传播的速度。总之，当t和x都变化时，波函数就描述了波的传播过程，所 以这种波也称为行波，或前进波。 注意： sin ( ) u x A t t y v = − − = ；要注意区别质点的振动速度和波的传播速度 cos ( ) 2 2 2 u x A t t y a = − − = ；为质点振动的加速度 三 波动微分方程 前面我们从运动学角度讨论了简谐波的传播规律，并着重分析了平面简谐波的波函数。现 在从动力学角度讨论一般平面波所满足的微分方程
对平面孩的表达式=-宁分别求1和：的粉保导表 2-=om-与 是-4-当 比较两式得 o'y 1 a'y 上式称为波的波动方程。任何物理量不论是力学量，电学量或其他量，只要它与时间和坐 标关系满足波动方程，则这一物理量就按波的形式传播。 S3波的能量Wave Energy 一波动能量的传播 在波动传播过程中，波源的振动通过弹性介质由近及远地一层接一层地传播出去，使介质 中各质点依次在各自在平衡位置附近作振动。可见介质中各质点具有动能，同时介质因发生形 变还具有势能。所以，波动过程也是能量传播的过程。 设波在体密度为p的弹性介质中传播，在波线上坐标r处取一个体积元d,在时刻t,该体 积元的 ·振动位移：=Ac0s(-马 ·振动速度： sin e-) 导出，此处略) ·体积元总能量： d=d,+d，=pfo2smo- 表明： ·总能量随时间作周期性变化，是能量传播的具体体现。 。 波动能量与振动能量有显著不同。振动中动能与势能相位差2两者相互转化，使系统 的总机械能保持守恒：波动中动、势能同相，它们同时达到最大值，又同时达到最小 值。因此对任意体积元来说，它的机械能是不守恒的，即沿着波动的传播方向，该体 积元不断地从后面的介质获得能量，又不断地把能量传递给前面的介质。这样，能量 就随着波动的行进，从介质的这一部分传向另一部分。所以，波动是能量传递的一种 方式。 1.能量密度：单位体积介质中的波动能量
对平面波的表达式 cos ( ) u x y = A t − 分别求 t 和 x 的二阶偏导数 cos ( ) 2 2 2 u x A t t y = − − cos ( ) 2 2 2 2 u x t u A x y = − − 比较两式得 2 2 2 2 2 1 t y x u y = 上式称为波的波动方程。任何物理量y不论是力学量，电学量或其他量，只要它与时间和坐 标关系满足波动方程，则这一物理量就按波的形式传播。 §3 波的能量Wave Energy 一 波动能量的传播 在波动传播过程中，波源的振动通过弹性介质由近及远地一层接一层地传播出去，使介质 中各质点依次在各自在平衡位置附近作振动。可见介质中各质点具有动能，同时介质因发生形 变还具有势能。所以，波动过程也是能量传播的过程。 设波在体密度为的弹性介质中传播，在波线上坐标x 处取一个体积元dV，在时刻ｔ，该体 积元的 • 振动位移： cos ( ) u x y = A t − • 振动速度： sin ( ) u x A t t y v = − − = • 振动动能： d sin ( ) 2 1 d 2 1 d 2 2 2 2 u x E mv VA t k = = − • 形变势能： d sin ( ) 2 1 d 2 2 2 u x E VA t p = − ；（注：由 2 (d ) 2 1 dE k y P = 导出，此处略） • 体积元总能量： d d d d sin ( ) 2 2 2 u x E E E VA t = k + p = − 表明： • 总能量随时间作周期性变化，是能量传播的具体体现。 • 波动能量与振动能量有显著不同。振动中动能与势能相位差/2两者相互转化，使系统 的总机械能保持守恒；波动中动、势能同相，它们同时达到最大值，又同时达到最小 值。因此对任意体积元来说，它的机械能是不守恒的，即沿着波动的传播方向，该体 积元不断地从后面的介质获得能量，又不断地把能量传递给前面的介质。这样，能量 就随着波动的行进，从介质的这一部分传向另一部分。所以，波动是能量传递的一种 方式。 1. 能量密度：单位体积介质中的波动能量