28第二章初等积分法其中p,9,r在区间I上连续，p(a)不恒为零，称为里卡蒂方程。若r(a）=0，则是一个Bernoulli方程。它在Bessel函数的研究中出现。这是形式上最简单的非线性方程。但是一般而言，它已不能用初等积分法求解。伯努利哥哥考虑如下的二阶线性微分方程u"(t) +p(t)u(t) = 0.令3(t) =_ 2(l)u则y'(t) = y? +p(t).对于p(t)=t2，伯努利哥哥发现它的解是两个无穷级数的商。对于一般二阶齐次线性方程u" +p(a)u +q(a)u= 0,令uy(z) =u(r) = e/rg (s)ds则y' +y? +p(r)y + q(a) = 0.作业：1，2，4，5，6
28 第二章 初等积分法 其中p, q, r在区间I上连续，p(x)不恒为零，称为里卡蒂方程。若r(x) = 0，则是一 个Bernoulli方程。 它在Bessel函数的研究中出现。这是形式上最简单的非线性方程。但是一般而 言，它已不能用初等积分法求解。伯努利哥哥考虑如下的二阶线性微分方程 u ′′(t) + p(t)u(t) = 0. 令 y(t) = − u ′ (t) u , 则 y ′ (t) = y 2 + p(t). 对于p(t) = t 2，伯努利哥哥发现它的解是两个无穷级数的商。 对于一般二阶齐次线性方程 u ′′ + p(x)u ′ + q(x)u = 0, 令 y(x) = u ′ u , u(x) = e ∫ x x0 y(s)ds , 则 y ′ + y 2 + p(x)y + q(x) = 0. 作业：1，2，4，5，6
2982.5积分因子法82.5积分因子法在本章2.1节中我们看到，若方程P(r,y)da +Q(r,y)dy = 0 (2.55)是恰当方程（即存在Φ使得dΦ=Pdc+Qdy，在单连通域上当且仅当Py=Qa），则它的通积分为P(r,y)dr +d(r,y) =Q(ro,y)dy =C通常更便捷的求通积分的方法是逐步求使得Φr=P,Φy=Q.在2.2-2.4中，我们还讨论了当（2.55）不是恰当方程时，如何把它转化为一个恰当方程并求解。例如当（2.55）具有变量分离的形式X(r)Yi(y)d + Xi(r)Y(y)dy = 0时，用μ(z,)=x()(乘方程两侧，就得到一个恰当方程 da+ ydy = 0:Xi(r)Yi(y)当（2.55）是一个一阶线性方程，即dy + (p(r)y - q(r))da = 0时，用u(a）=eJp(r)dr乘以上式两侧，就得到一个恰当方程。当（2.55）是一个齐次方程时，P(1, )dy-_P(a,y)drQ(1, )Q(r,y)引入新变量u（然后求解u(r))u=z(2.45)a化为等价形式dy-P(1, u)=Φ(u) =Φ(drQ(1,u)
§2.5 积分因子法 29 §2.5 积分因子法 在本章2.1节中我们看到，若方程 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (2.55) 是恰当方程（即存在Φ使得dΦ = P dx + Qdy，在单连通域上当且仅当Py = Qx），则 它的通积分为 Φ(x, y) = ∫ x x0 P(x, y)dx + ∫ y y0 Q(x0, y)dy = C. 通常更便捷的求通积分的方法是逐步求Φ使得 Φx = P, Φy = Q. 在2.2-2.4中，我们还讨论了当（2.55）不是恰当方程时，如何把它转化为一个恰当 方程并求解。 例如当（2.55）具有变量分离的形式 X(x)Y1(y)dx + X1(x)Y (y)dy = 0 时，用µ(x, y) = 1 X1(x)Y1(y)乘方程两侧，就得到一个恰当方程 X(x) X1(x) dx + Y (y) Y1(y) dy = 0; 当（2.55）是一个一阶线性方程，即 dy + (p(x)y − q(x))dx = 0 时，用µ(x) = e ∫ p(x)dx乘以上式两侧，就得到一个恰当方程。 当（2.55）是一个齐次方程时， dy dx = − P(x, y) Q(x, y) = − P(1, y x ) Q(1, y x ) , 引入新变量u（然后求解u(x)） u = y x . (2.45) 化为等价形式 dy dx = − P(1, u) Q(1, u) := Φ(u) = Φ( y x )
30第二章初等积分法因此，u（）所满足的方程为duΦ(u) -u,"dr它是一个变量分离/恰当的方程，可以直接求通积分。其实也可以从积分因子的角度来求解。仍然引入u=，则P(r,y)dr +Q(r,y)dy = "[P(1,u) +uQ(1,u)]dr + am+1Q(1, u)du这是变量分离形式的方程，有积分因子11μ=m+1[P(1, ) + Q(1, u)=P(z,) + yQ(,)现在我们尝试将这种方法一般化：对一般的方程（2.55），设法找一个可微的非零函数μ=μ(,3)，使得用它乘以方程（2.55）后，所得方程μ(r,y)P(r,y)dr +μ(r,y)Q(r,y)dy = 0 (2.56)成为恰当方程，即(μP) _ (μQ)(2.57)y=r这时，函数μ=μ(a,y)叫做方程（2.55）的一个积分因子。问题是：对于给定的方程（2.55），它的积分因子是否一定存在？如果存在，它是否容易求得？事实上，寻求积分因子μ(c,y)，就是求解偏微分方程（2.57)，即Q%-P%=(Py-Qa)。 (2.58)arroy以后我们将会知道，虽然理论上偏微分方程（2.58）的解是存在的，但它的求解又要归结到我们原来的方程（2.55）的求解（见第十一章）。因此，从（2.58）求出积分因子的表达式μ=μ(a,y)再去求解（2.55）一般是不可行的。然而，对某些特殊情形，利用（2.58）去寻求（2.55）的积分因子却是可行的。例如，假设方程（2.55）有一个只与有关的积分因子μ=μ(α)，则由充要条件（2.58）推出Q =(P, - Qa),dr即1dμ(r)1()d=(P,-Qa)。 (2.59)由于上式左端只与有关，所以微分方程（2.55）有一个只依赖于r的积分因子的必要条件是：表达式(Py-Qr)(2.60)Q
30 第二章 初等积分法 因此，u(x)所满足的方程为 x du dx = Φ(u) − u, 它是一个变量分离/恰当的方程，可以直接求通积分。其实也可以从积分因子的角 度来求解。仍然引入u = y x，则 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = x m[P(1, u) + uQ(1, u)]dx + x m+1Q(1, u)du. 这是变量分离形式的方程，有积分因子 µ = 1 xm+1[P(1, u) + uQ(1, u)] = 1 xP(x, y) + yQ(x, y) . 现在我们尝试将这种方法一般化：对一般的方程（2.55），设法找一个可微的 非零函数µ = µ(x, y)，使得用它乘以方程（2.55）后，所得方程 µ(x, y)P(x, y)dx + µ(x, y)Q(x, y)dy = 0 (2.56) 成为恰当方程，即 ∂(µP) ∂y = ∂(µQ) ∂x . (2.57) 这时，函数µ = µ(x, y)叫做方程（2.55）的一个积分因子。 问题是：对于给定的方程（2.55），它的积分因子是否一定存在？如果存在，它 是否容易求得？事实上，寻求积分因子µ(x, y)，就是求解偏微分方程（2.57），即 Q ∂µ ∂x − P ∂µ ∂y = (Py − Qx)µ. (2.58) 以后我们将会知道，虽然理论上偏微分方程（2.58）的解是存在的，但它的求解又 要归结到我们原来的方程（2.55）的求解（见第十一章）。因此，从（2.58）求出积 分因子的表达式µ = µ(x, y)再去求解（2.55）一般是不可行的。然而，对某些特殊情 形，利用（2.58）去寻求（2.55）的积分因子却是可行的。 例如，假设方程（2.55）有一个只与x有关的积分因子µ = µ(x)，则由充要条件 （2.58）推出 Q dµ dx = (Py − Qx)µ, 即 1 µ(x) dµ(x) dx = 1 Q (Py − Qx). (2.59) 由于上式左端只与x有关，所以微分方程（2.55）有一个只依赖于x的积分因子的必 要条件是：表达式 1 Q (Py − Qx) (2.60)
31$2.5积分因子法只依赖于，而与y无关。反之，设表达式（2.60）只依赖于，记为G(a)。考虑到（2.59）式，我们令1 d() = G(),μ(r)dr由此得到μ(z)=eJ G(n)dr, (2.61)容易看到μ(r)满足（2.58），因此它是（2.55）的一个积分因子。即Theorem2.5.1.定理2.4.微分方程（2.55）有一个只依赖于的积分因子的充要条件是：表达式（2.60）只依赖于，而与y无关；而且若把表达式（2.60）记为G(c)，则由（2.61）所示的函数μ()是方程（2.55）的一个积分因子。类似的，可以得出下面平行的结果：Theorem2.5.2.定理2.5.微分方程（2.55）有一个只依赖于y的积分因子的充要条件是：表达式p(P-Qr) = -H(u)只依赖于y：而且此时函数μ(y)=eJH()dy是方程（2.55）的一个积分因子。所以，主要看Py-QrPy-QrPQ是否为只含（只含u）的函数？【例】一阶线性微分方程(p(r)y - q(a)d + dy = 0.则Py-Q=p(a)，(Py-Qa)/Q=p()，只与有关，有积分因子μ(a)=e p(a)dr。【例，习题1（2）】求解ydr + (2ry - e-2y)dy = 0解：(μP)g = (μQ)r,即(Py-Qr)μ=Qμr-Pμy
§2.5 积分因子法 31 只依赖于x，而与y无关。反之，设表达式（2.60）只依赖于x，记为G(x)。考虑到 （2.59）式，我们令 1 µ(x) dµ(x) dx = G(x), 由此得到 µ(x) = e ∫ G(x)dx , (2.61) 容易看到µ(x)满足（2.58），因此它是（2.55）的一个积分因子。即 Theorem 2.5.1. 定理2.4. 微分方程（2.55）有一个只依赖于x的积分因子的充要条 件是：表达式（2.60）只依赖于x，而与y无关；而且若把表达式（2.60）记为G(x)， 则由（2.61）所示的函数µ(x)是方程（2.55）的一个积分因子。 类似的，可以得出下面平行的结果： Theorem 2.5.2. 定理2.5. 微分方程（2.55）有一个只依赖于y的积分因子的充要条 件是：表达式 1 P (Py − Qx) = −H(y) 只依赖于y；而且此时函数µ(y) = e ∫ H(y)dy是方程（2.55）的一个积分因子。 所以，主要看 Py − Qx Q , Py − Qx P 是否为只含x（只含y）的函数？ 【例】一阶线性微分方程 (p(x)y − q(x))dx + dy = 0. 则Py − Qx = p(x)，(Py − Qx)/Q = p(x)，只与x有关，有积分因子µ(x) = e ∫ p(x)dx。 【例，习题1（2）】求解 ydx + (2xy − e −2y )dy = 0. 解： (µP)y = (µQ)x, 即 (Py − Qx)µ = Qµx − P µy
32第二章初等积分法计算得Py-Qr1- 2yPy-Qr=1-2yPy因此有只依赖于y的积分因子μ(y)：y=_Py- Qr+2,PHy因此可取积分因子Le2y.μ(y) =2另外，注意到有特解y=0。从而Ie29da+(e292x-)dy = 0,ydr=e2yd(r, y) = re2 + f(y),(r,y) = re2y - ln [3l, d = e29d +(e22 -)dyy通解为re2y - In 3l = C.分组求积分因子：Theorem2.5.3.定理2.6.若μ=μ(r，y)是方程（2.55）的一个积分因子，使得μPda + μQdy =d(a,y),则μ(r,y)g(Φ(r,y))也是（2.55)的一个积分因子，其中g是任一非零可微函数。其逆命题也成立。证明：g()μPdr + g(Φ)μQdy = d[( /g)(4)逆命题也成立：再设μ1(Pda+Qdy）=d，则利用上述假设的两个通积分可知Jacobi行列式D[, d]=0,D[c,y]口从而亚与Φ函数相关（即亚=亚(0)）。因此，=端可表示为的函数
32 第二章 初等积分法 计算得 Py − Qx = 1 − 2y, Py − Qx P = 1 − 2y y , 因此有只依赖于y的积分因子µ(y)： µy µ = − Py − Qx P = − 1 y + 2, 因此可取积分因子 µ(y) = 1 y e 2y , 另外，注意到有特解y = 0。从而 e 2y dx + (e 2y 2x − 1 y )dy = 0, Φx = e 2y , Φ(x, y) = xe2y + f(y), Φ(x, y) = xe2y − ln |y|, dΦ = e 2y dx + (e 2y 2x − 1 y )dy 通解为 xe2y − ln |y| = C. 分组求积分因子： Theorem 2.5.3. 定理2.6. 若µ = µ(x, y)是方程（2.55）的一个积分因子，使得 µP dx + µQdy = dΦ(x, y), 则µ(x, y)g(Φ(x, y))也是（2.55）的一个积分因子，其中g是任一非零可微函数。其逆 命题也成立。 证明： g(Φ)µP dx + g(Φ)µQdy = d[(∫ g)(Φ)]. 逆命题也成立：再设µ1(P dx+Qdy) = dΨ，则利用上述假设的两个通积分可知Jacobi行 列式 D[Φ, Ψ] D[x, y] ≡ 0, 从而Ψ与Φ函数相关（即Ψ = Ψ(Φ)）。因此，µ1 µ = dΨ dΦ可表示为Φ的函数。 ✷