微分方程I习题课讲义
微分方程I 习题课讲义
前言微分方程，在中国科大是一门数学系的基础必修课．它的主要内容包括：常微分方程和偏微分方程两部分。常微分方程主要包括一阶方程的初等积分法、解的存在唯一性与延拓、奇解与包络、高阶方程与线性微分方程组、幂级数解法与选代法等：偏微分方程主要包括一阶拟线性偏微分方程的特征线、运输方程、波动方程、扩散方程、Fourier方法、调和函数与Laplace方程的基本解、对数梯度估计等本讲义将习题课的主要内容罗列出来，可以说一个提纲。为避免大家查阅困难，我尽量将公式安排的紧凑因此看似页数虽少，但内容颇多。不仅如此，证明大多比较简略，一来启发大家思考，二来缩短篇幅水平有限，如有误，还望批评指正.本课程的另两位助教：徐恒博士和葛霖硕士，他们也在讲解习题课之后将所讲内容加入进来，特此感谢两位助教为习题课讲义提供的内容！2019秋-微分方程I助教吴天2019年10月13日于中国科学技术大学
前 言 微分方程I, 在中国科大是一门数学系的基础必修课. 它的主要内容包括: 常微分方程和偏微分方程两部 分. 常微分方程主要包括一阶方程的初等积分法、解的存在唯一性与延拓、奇解与包络、高阶方程与线性微 分方程组、幂级数解法与迭代法等; 偏微分方程主要包括一阶拟线性偏微分方程的特征线、运输方程、波动方 程、扩散方程、Fourier方法、调和函数与Laplace方程的基本解、对数梯度估计等. 本讲义将习题课的主要内容罗列出来, 可以说一个提纲. 为避免大家查阅困难, 我尽量将公式安排的紧凑, 因此看似页数虽少, 但内容颇多. 不仅如此, 证明大多比较简略, 一来启发大家思考, 二来缩短篇幅. 水平有限, 如有谬误, 还望批评指正. 本课程的另两位助教: 徐恒博士和葛霖硕士, 他们也在讲解习题课之后将所讲内容加入进来, 特此感谢两位 助教为习题课讲义提供的内容! 2019秋-微分方程I助教 吴天 2019年10月13日 于 中国科学技术大学
目录前言i11预备知识1.1一些需要了解的公式121.2有理函数的原函数31.3巧用Euler积分计算定积分1.4复矩阵的Jordan标准形理论452一阶常微分方程的初等解法分离变量法52.12.25齐次方程及其变形一阶线性方程72.32.47积分因子法92.5因变量可解出型参数变换法92.62.7三种著名的方程102.8综合例题1112微分方程组与高阶方程3123.1常系数线性微分方程3.213常系数线性微分方程组17一阶拟线性常微分方程定性理论初步4174.1常微分方程的几何含义174.2解的局部存在唯一性一阶拟线性偏微分方程195195.1一阶线性偏微分方程的求解205.2一阶拟线性偏微分方程的求解5.3运输方程与波动方程的d'Alembert公式20ii
目 录 前 言 i 1 预备知识 1 1.1 一些需要了解的公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 有理函数的原函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 巧用Euler积分计算定积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 复矩阵的Jordan标准形理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 一阶常微分方程的初等解法 5 2.1 分离变量法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 齐次方程及其变形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3 一阶线性方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.4 积分因子法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.5 因变量可解出型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.6 参数变换法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.7 三种著名的方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.8 综合例题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3 微分方程组与高阶方程 12 3.1 常系数线性微分方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2 常系数线性微分方程组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4 一阶拟线性常微分方程定性理论初步 17 4.1 常微分方程的几何含义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.2 解的局部存在唯一性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 一阶拟线性偏微分方程 19 5.1 一阶线性偏微分方程的求解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.2 一阶拟线性偏微分方程的求解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.3 运输方程与波动方程的d’Alembert公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ii
6二阶偏微分方程的基本方法21二阶半线性方程的分类与标准型216.1调和函数的性质237调和函数与平均值性质237.1247.2调和函数的梯度估计257.3Laplace方程的基本解7.430Harnack不等式参考文献34
6 二阶偏微分方程的基本方法 21 6.1 二阶半线性方程的分类与标准型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 7 调和函数的性质 23 7.1 调和函数与平均值性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 7.2 调和函数的梯度估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 7.3 Laplace方程的基本解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 7.4 Harnack不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 参考文献 34
第1讲预备知识秋名山上行人稀，常有车手较高低。旧时车道今犹在，不见当年老司机某位车技高超的助教91.1一些需要了解的公式在数学分析中，我们主要学习了微积分的有关知识，其中一些基本结论是需要我们熟练掌握的.现将一些容易忽略的公式介绍如下。一些基本函数的导数公式：(tan )= sec?r(cot)=-csc?(secr)=sectanr(csc)=-csccot1115(arcsin):(arccos r)=(arctanr)1 +r2V1- r2V1-21(a) =alna (a>0,a 1)(arccotr)=(loga r)"=1+2rlna【例1.1.1】计算幂指函数(u(r))()的导数.解记()=(n)n(m),则() =() (u()+()(,u()(()) - (e)=(()( ((m)(()+)u(r)= n(n +1)2n-2 (n E N*).【例1.1.2】求证：k=k-1之后通过求导和积分等操作可得.口证明构造f(r)=2常见的Taylor展开如下：n(-1)n(-1)n.2n+1ef=Zsinr=>COS T =1n!=0(2n+1)(2n)!7-2=0 (-1)n=1(-1)n2n+1ln(1 +) = " (-1<≤1)arctan=(-1<≤1)2n+1nn=nQ)"(I|<1),其中(>II(α-k) (VαER)(1 +r)° =(n)k=0-些基本函数的积分公式：dr dr=In+Carcsinh+C=ln(r+Vr2+1)+CV1+ r271
第1讲 预备知识 秋名山上行人稀, 常有车手较高低. 旧时车道今犹在, 不见当年老司机. ——某位车技高超的助教 §1.1 一些需要了解的公式 在数学分析中, 我们主要学习了微积分的有关知识, 其中一些基本结论是需要我们熟练掌握的. 现将一些容 易忽略的公式介绍如下. 一些基本函数的导数公式: (tan x) 0 = sec2 x (cot x) 0 = − csc2 x (sec x) 0 = sec x tan x (csc x) 0 = − csc x cot x 5 (arcsin x) 0 = 1 √ 1 − x 2 (arccos x) 0 = − 1 √ 1 − x 2 (arctan x) 0 = 1 1 + x 2 (arccot x) 0 = − 1 1 + x 2 (loga x) 0 = 1 x ln a (a x ) 0 = a x ln a (a > 0, a 6= 1) 【例1.1.1】计算幂指函数(u(x))v(x)的导数. 解 记f(x) = v(x) ln (u(x)), 则f 0 (x) = v 0 (x) ln (u(x)) + v(x)u 0 (x) u(x) . ∴ u(x) v(x) 0 = e f(x) 0 = (u(x))v(x) v 0 (x) ln (u(x)) + v(x)u 0 (x) u(x) . 【例1.1.2】求证: Xn k=1 k 2 n k = n(n + 1)2n−2 (n ∈ N ∗ ). 证明 构造f(x) = Xn k=1 k 2 n k x k−1之后通过求导和积分等操作可得. 常见的Taylor展开如下: e x = X∞ n=0 x n n! sin x = X∞ n=0 (−1)n (2n + 1)!x 2n+1 cos x = X∞ n=0 (−1)n (2n)! x 2n ln(1 + x) = X∞ n=1 (−1)n−1 n x n (−1 < x 6 1) arctan x = X∞ n=0 (−1)n 2n + 1 x 2n+1 (−1 < x 6 1) (1 + x) α = X∞ n=0 α n x n (|x| < 1), 其中 α n = 1 n! nY−1 k=0 (α − k) (∀α ∈ R) 一些基本函数的积分公式: ˆ dx x = ln |x| + C ˆ dx √ 1 + x 2 = arcsinh x + C = ln(x + p x 2 + 1) + C 1