数学分析(B2)习题课讲义本科15级理科试验1班吴天2018年3月16日
数学分析(B2)习题课讲义 本科15级 理科试验1班 吴天 2018年3月16日
前言所谓数学分析(B2)，内容以多变量微积分、Fourier分析、一致性问题为主.就与数学分析（B1)课程相比较而言，复杂的证明少了很多，更多的是实质性的计算，而这要求计算能力要过关，尤其是数学分析（B1)中单变量积分的计算要有扎实的功底，方能做到从小处来说，能够从容应对课程考试；从大处来讲，今后的科研工作中用到的时候能更加娴熟第八章是空间解析几何．它其实可以不放在数学分析这门课中，但它通常是高等数学教材的重要组成部分，这部分内容对于多变量微积分的理解比较重要本章内容可以算是一个引子，也可以说是教材中最简单的一部分，不过它需要比较强的计算能力，题目通常运算量很大，这就需要同学们耐心细致第九章是多变量函数的微分学，从有限维欧式空间的基本拓扑性质开始讲起，直到微分形式，它与单变量微积分有很多相似的地方，因此难度也相对不大.真正对于其他学科方同应用当中比较有用的是3的各种微分情况，这是因为我们生活的这个世界表观上就是R3的，我们有直觉来帮助我们理解R3上的微分学，这就是场论场论实际上起源于物理，后来逐渐演变为了一个数学研究方向在数学研究的深入过程中，对于R3上的研究方法加以推广，可以得到一般流形上的类似结果，这就是微分流形理论，而至于最开始讲的欧式空间拓扑性质是教材中最难的儿个地方之一，当然对于非数学类要求不高第十章是多变量函数的重积分．它与单变量积分是有很大区别的，尤其是积分区域，从单变量我们熟悉的区间（一维连通集）变成了一个一般的区域，不过它们的来源是一样的一—Riemann积分.在计算过程中，由于积分区域的复杂性，通常我们要通过画图像来缕清变量间的关系，但是有很多时候很难作图，这就需要一些单变量中不曾有的技巧来处理这章是很重要的一章，既需要单变量积分的基本功，也需要对于重积分有很深的理解．在以后的理工科应用中，重积分的使用次数不会少于单积分，因此一定要重视本章的学习第十一章是曲线积分和曲面积分，这章的内容来源于物理问题一一电荷分布、水的流i
前 言 所谓数学分析(B2)，内容以多变量微积分、Fourier分析、一致性问题为主. 就与数 学分析(B1)课程相比较而言，复杂的证明少了很多，更多的是实质性的计算，而这要求计 算能力要过关，尤其是数学分析(B1)中单变量积分的计算要有扎实的功底，方能做到从小 处来说，能够从容应对课程考试；从大处来讲，今后的科研工作中用到的时候能更加娴熟. 第八章是空间解析几何. 它其实可以不放在数学分析这门课中，但它通常是高等数学 教材的重要组成部分，这部分内容对于多变量微积分的理解比较重要. 本章内容可以算是一 个引子，也可以说是教材中最简单的一部分. 不过它需要比较强的计算能力，题目通常运算 量很大，这就需要同学们耐心细致. 第九章是多变量函数的微分学. 从有限维欧式空间的基本拓扑性质开始讲起，直到微 分形式，它与单变量微积分有很多相似的地方，因此难度也相对不大. 真正对于其他学科 方向应用当中比较有用的是R 3的各种微分情况，这是因为我们生活的这个世界表观上就 是R 3的，我们有直觉来帮助我们理解R 3上的微分学，这就是场论. 场论实际上起源于物 理，后来逐渐演变为了一个数学研究方向. 在数学研究的深入过程中，对于R 3上的研究方法 加以推广，可以得到一般流形上的类似结果，这就是微分流形理论. 而至于最开始讲的欧式 空间拓扑性质是教材中最难的几个地方之一，当然对于非数学类要求不高. 第十章是多变量函数的重积分. 它与单变量积分是有很大区别的，尤其是积分区域， 从单变量我们熟悉的区间(一维连通集)变成了一个一般的区域，不过它们的来源是一样 的——Riemann积分. 在计算过程中，由于积分区域的复杂性，通常我们要通过画图像来缕 清变量间的关系，但是有很多时候很难作图，这就需要一些单变量中不曾有的技巧来处理. 这章是很重要的一章，既需要单变量积分的基本功，也需要对于重积分有很深的理解. 在以 后的理工科应用中，重积分的使用次数不会少于单积分，因此一定要重视本章的学习. 第十一章是曲线积分和曲面积分. 这章的内容来源于物理问题——电荷分布、水的流 i
ii前言量等等.经过数学家的探索，把它在闭合曲线（面）的计算化为高一维的重积分，并抽象出了著名的Gauss散度定理、Stokes公式、Green公式.这些定理揭示的正是高一维的重积分与低一维的曲线（面）积分之间的关系，它们可以称为高维的Newton-Leibniz公式.而上述提到的场论就是本章最后的内容，场论的内容主要是梯度、散度、旋度，它们表面上看是微分的过程，但是它们与积分有密不可分的联系，甚至可以用积分来定义.事实上，在分析学中，大多数的微分都是靠积分定义的，因为积分是更本质的东西，它只需要测度就够了，第十二章是Fourier分析.它是在物理等学科中应用很多的一块微积分知识.它起源于人们想要使用三角函数组成的级数来逼近一个周期函数的问题.而这里的Fourier变换可以使微积分运算变得更为简便（例如Fourier变换可以变微分为乘法运算），这也使解微分方程更加方便.通过查表，可以很方便地处理许多复杂的实际问题.实际上，Fourier分析只是使用三角函数来逼近，如果使用别的函数是否可以？很多是可以的，但是可能没有比较好的性质（比如Paserval等式)，而在逼近序列满足特定条件(例如正交规范基)的时候才具有好的性质，这就是现代调和分析的研究方向第十三章是广义积分和含参变量的积分，这是这门课程最难的部分，尤其是涉及到一致收敛性那里，比较容易混淆几种变量之间的关系.这章介绍的一些方法可以处理一些普通的单变量积分无法解决的问题：最后一节Euler积分介绍的是在实际应用、简化运算中很常用的两种函数一一T函数和B函数本学期的课程与单变量最大的区别在于，很多问题的处理要在高维度上，这就需要涉及很多对于矩阵的处理，需要同学们具有比较好的线性代数素养.代数、分析、几何，它们之间本就水乳交融，互相影响李尚志老先生有诗为证：代数几何熔一炉，乾坤万物坐标书图形百态方程绘，变换有规矩阵筹星移斗转落银河，月印三潭伴碧波保短保长皆变换，能伸能屈是几何本讲义与上册不同，只是将习题课所涉及内容列出来.涉及到参考书籍的时候，使用本书后记的参考书目绿色代号指代(例如3指代常庚哲、史济怀《数学分析教程》（第三版))这本讲义中的讨论以及记号一切以教材为准，教材出现的不再赞述，仅对于教材未出现的知识或题目进行一些补充.然而能力所限，必有不少漏之处，望同学们指出，本科15级理科试验1班基础数学专业吴天2018年3月于合肥中国科技大学
ii 前 言 量等等. 经过数学家的探索，把它在闭合曲线(面)的计算化为高一维的重积分，并抽象出了 著名的Gauss散度定理、Stokes公式、Green公式. 这些定理揭示的正是高一维的重积分与低 一维的曲线(面)积分之间的关系，它们可以称为高维的Newton-Leibniz公式. 而上述提到的 场论就是本章最后的内容，场论的内容主要是梯度、散度、旋度，它们表面上看是微分的 过程，但是它们与积分有密不可分的联系，甚至可以用积分来定义. 事实上，在分析学中， 大多数的微分都是靠积分定义的，因为积分是更本质的东西，它只需要测度就够了. 第十二章是Fourier分析. 它是在物理等学科中应用很多的一块微积分知识. 它起源于人 们想要使用三角函数组成的级数来逼近一个周期函数的问题. 而这里的Fourier变换可以使微 积分运算变得更为简便(例如Fourier变换可以变微分为乘法运算)，这也使解微分方程更加方 便. 通过查表，可以很方便地处理许多复杂的实际问题. 实际上，Fourier分析只是使用三角 函数来逼近，如果使用别的函数是否可以？很多是可以的，但是可能没有比较好的性质(比 如Paserval等式)，而在逼近序列满足特定条件(例如正交规范基)的时候才具有好的性质，这 就是现代调和分析的研究方向. 第十三章是广义积分和含参变量的积分. 这是这门课程最难的部分，尤其是涉及到一 致收敛性那里，比较容易混淆几种变量之间的关系. 这章介绍的一些方法可以处理一些普通 的单变量积分无法解决的问题. 最后一节Euler积分介绍的是在实际应用、简化运算中很常 用的两种函数——Γ函数和B函数. 本学期的课程与单变量最大的区别在于，很多问题的处理要在高维度上，这就需要涉 及很多对于矩阵的处理，需要同学们具有比较好的线性代数素养. 代数、分析、几何，它们 之间本就水乳交融，互相影响. 李尚志老先生有诗为证： 代数几何熔一炉，乾坤万物坐标书. 图形百态方程绘，变换有规矩阵筹. 星移斗转落银河，月印三潭伴碧波. 保短保长皆变换，能伸能屈是几何. 本讲义与上册不同，只是将习题课所涉及内容列出来. 涉及到参考书籍的时候，使用本 书后记的参考书目绿色代号指代(例如[3]指代常庚哲、史济怀《数学分析教程》(第三版)). 这本讲义中的讨论以及记号一切以教材为准，教材出现的不再赘述，仅对于教材未出现的 知识或题目进行一些补充. 然而能力所限，必有不少纰漏之处，望同学们指出. 本科15级 理科试验1班 基础数学专业 吴天 2018年3月 于合肥 中国科技大学
常用记号pT矩阵P的转置p-1矩阵P的逆[P], det P矩阵P的行列式矩阵P的秩rank PPis)矩阵P的(i,j)元Inn阶单位方阵大型运算符Z, II, U, nRdd维Euclid空间AC集合A的补集A°集合A的内部A集合A的闭包A'集合A的导集OA集合A的边界a.b向量的内积axb向量的外积梯度V, grad散度V-, div旋度Vx, rotii
常用记号 P T 矩阵P的转置 P −1 矩阵P的逆 |P|, det P 矩阵P的行列式 rank P 矩阵P的秩 P(i,j) 矩阵P的(i, j)元 In n阶单位方阵 P, Q , S , T 大型运算符 R d d维Euclid空间 AC 集合A的补集 A◦ 集合A的内部 A 集合A的闭包 A0 集合A的导集 ∂A 集合A的边界 a · b 向量的内积 a × b 向量的外积 ∇, grad 梯度 ∇·, div 散度 ∇×, rot 旋度 iii
目录前言i常用记号ili11解析几何简介坐标变换公式11.121.2平面二次曲线方程的化简31.3二次曲线的不变量51.4二次曲线分类理论61.5空间上的平面、直线71.6二次曲面9Euclid空间与度量拓扑292.1有限维Euclid空间112.2度量拓扑的基本性质122.3连通与道路连通132.4点列收敛与实数公理153多变量函数的连续性与微分学153.1极坐标与极限计算多变量函数的可微性163.217换元与隐函数求导3.319参考文献
目 录 前 言 i 常用记号 iii 1 解析几何简介 1 1.1 坐标变换公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 平面二次曲线方程的化简 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 二次曲线的不变量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 二次曲线分类理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 空间上的平面、直线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6 二次曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Euclid空间与度量拓扑 9 2.1 有限维Euclid空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 度量拓扑的基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 连通与道路连通 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4 点列收敛与实数公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3 多变量函数的连续性与微分学 15 3.1 极坐标与极限计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 多变量函数的可微性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3 换元与隐函数求导 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 参考文献 19