《线性代数》课程教学资源（知识点）线性代数考研辅导讲义

线性代数考研辅导讲义

线性代数考研辅导讲义

前言这份讲义，是为了辅导2020年数学学院考研同学的线性代数所编写，将来也可能会在我当线性代数助教的时候拿来用作习题课讲义，因此，暂且取名为线性代数习题课讲义好了.我们把它分成四个章节：1.矩阵与行列式：包括矩阵与行列式的概念、性质、运算，相抵标准型，线性方程组等内容：2.线性空间与线性变换：包括线性空间，子空间，商空间，直和，线性变换等内容；3.相似标准型：包括多项式理论，Jordan标准型，根子空间，多项式矩阵与Smith标准型，有理标准型等内容；4.相合与二次型：包括相合，Euclid空间，二次型，解析几何等内容，在内容编排方面，本讲义主要以整理、总结知识点，与提供一些例题示范为主，在此之上适当做出扩展当然，有些例题是非常困难的，可能不仅需要大家在课上听，还需要自己花功夫去演算.这份讲义只会在每章结尾有一些问题，它们的难度是比较大的，它们没有答案，但是我们在课上我讲一些，希望大家能够每当闲暇的时候就思考一下，久而久之，会对思路的养成大有神益，而一些简单难度的习题都只被当作例题给出：如果大家希望能够多一些题目来帮助自己得到很好的训练，那么可以参考丘维声《高等代数》（第2版）和李炯生《线性代数》(第2版).中国首批十八博士之一的李尚志教授曾做一首诗，其中蕴含了一些线性代数的学习道理，现分享给大家，希望能够对大家有所帮助：代数几何熔一炉，乾坤万物坐标书图形百态方程绘，变换有规矩阵筹。星移斗转落银河，月印三潭伴碧波保短保长皆变换，能伸能屈是几何感谢赵琦学姐撰写欧式空间与内积部分，魏歆同学撰写正定、二次型部分，张明月学妹撰写解析几何部分笔者水平所限，如有谬误，在所难免，还望广大师生批评指正吴天葛霖2020年于中国科学技术大学

前 言 这份讲义, 是为了辅导 2020 年数学学院考研同学的线性代数所编写, 将来也可能会在我当线性代数助 教的时候拿来用作习题课讲义, 因此, 暂且取名为线性代数习题课讲义好了. 我们把它分成四个章节: 1. 矩阵与 行列式: 包括矩阵与行列式的概念、性质、运算, 相抵标准型, 线性方程组等内容; 2. 线性空间与线性变换: 包 括线性空间, 子空间, 商空间, 直和, 线性变换等内容; 3. 相似标准型: 包括多项式理论, Jordan 标准型, 根子空 间, 多项式矩阵与 Smith 标准型, 有理标准型等内容; 4. 相合与二次型: 包括相合, Euclid 空间, 二次型, 解析几 何等内容. 在内容编排方面, 本讲义主要以整理、总结知识点, 与提供一些例题示范为主, 在此之上适当做出扩展. 当 然, 有些例题是非常困难的, 可能不仅需要大家在课上听, 还需要自己花功夫去演算. 这份讲义只会在每章结尾 有一些问题, 它们的难度是比较大的, 它们没有答案, 但是我们在课上我讲一些, 希望大家能够每当闲暇的时候 就思考一下, 久而久之, 会对思路的养成大有裨益. 而一些简单难度的习题都只被当作例题给出. 如果大家希望 能够多一些题目来帮助自己得到很好的训练, 那么可以参考丘维声《高等代数》(第 2 版) 和李炯生《线性代数》 (第 2 版). 中国首批十八博士之一的李尚志教授曾做一首诗, 其中蕴含了一些线性代数的学习道理, 现分享给大家, 希 望能够对大家有所帮助: 代数几何熔一炉, 乾坤万物坐标书. 图形百态方程绘, 变换有规矩阵筹. 星移斗转落银河, 月印三潭伴碧波. 保短保长皆变换, 能伸能屈是几何. 感谢赵琦学姐撰写欧式空间与内积部分, 魏歆同学撰写正定、二次型部分, 张明月学妹撰写解析几何部分. 笔者水平所限, 如有谬误, 在所难免, 还望广大师生批评指正. 吴天 葛霖 2020 年 于中国科学技术大学

目录i前言11矩阵与行列式1.1矩阵的定义与基本性质131.2行列式的定义与基本性质61.3可逆矩阵与初等变换81.4矩阵与方程组92线性空间与线性变换92.1线性空间112.2子空间与直和与商空间142.3线性变换193相似标准型193.1多项式理论3.2Jordan标准型233.3多项式矩阵的相抵25274欧式空间与二次型274.1欧式空间与内积4.229二次型与正定4.331规范变换与正交变换4.4奇异值分解与酉空间34355空间解析几何355.1平面与直线5.2二次曲面分类375.3二次曲线与二次曲面39

目 录 前 言 i 1 矩阵与行列式 1 1.1 矩阵的定义与基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 行列式的定义与基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 可逆矩阵与初等变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 矩阵与方程组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 线性空间与线性变换 9 2.1 线性空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 子空间与直和与商空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 线性变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 相似标准型 19 3.1 多项式理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Jordan 标准型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3 多项式矩阵的相抵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 欧式空间与二次型 27 4.1 欧式空间与内积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.2 二次型与正定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.3 规范变换与正交变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.4 奇异值分解与酉空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5 空间解析几何 35 5.1 平面与直线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.2 二次曲面分类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.3 二次曲线与二次曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

第1章矩阵与行列式S1.1矩阵的定义与基本性质设F是数域，aijeF,1≤i≤m,1≤j≤n,称下面的m行n列的长方形表为数域F上的m×n矩阵：a11a12..aina22...a2na21A=：(amlam2...amn)有时也简记为A=（aij）mxn·其中，ai被称作A的（i,i）元，ai称为A的主对角元素.通常，我们习惯于用Ei表示（i,j）元为1，其余元素为0的矩阵。如果ai=0，Vi，j，则称A为零矩阵，记作A=0；如果ai=0，Vi≠j，称A为对角矩阵；如果ai=0,Vi>j.称A为上三角矩阵；如果aij=0,Vi≥j，称A为严格上三角矩阵类似可以定义下三角矩阵和严格下三角矩阵.如果F=R，称A为实矩阵：F=C，称A为复矩阵.在后面的叙述中，没有特殊指明的情况下，总是默认F为一个代数闭域.我们把F上的m×n矩阵全体组成的集合记作Fmxn，特别地，在m=n时，称A为n阶方阵考虑A=(aij)，B=(b)EFmxn,入EF,定义A+B:=(ai+bij),A:=(Aai).因此,在定义负矩阵-A=-1FA以后，我们就有了加减法、数乘的概念，并且它们显然继承了F上的加法交换律、结合律；数乘交换律、结合律；加法和数乘共同具有分配律aikbki）EFmxp.显然，乘法与数考虑A=（ai）EFmxn，B=(bi）EFnxp,定义矩阵乘法AB:=(-1乘之间具有交换律乘法与加法之间具有分配律：A(B+C）=AB+AC（A+B)C=AC+BC.特别地，在m=n=p的时候，ABEFnxn，这样，我们有机会研究方阵的交换律和结合律.结论留作练习：例题1.1.1方阵乘法具有结合律：（AB)C=A(BC)，A,B,CEFnxn，但是并没有交换律定义In=（8ii）nxn为n阶单位阵，容易验证它是矩阵乘法的么元.通过上述讨论，我们得到：（Fnxn，+，)是含幺非交换环，其中·表示矩阵乘法.设AEFnxn.定义A的k次幂A*为n个A相乘，这样就可以继续定义A的多项式。如果存在kEN，使得A=0,称A为幂零矩阵，更进一步，若k≥2且Ak-1≠0,称A为k次幂零矩阵.我们把零矩阵看作一次幂零矩阵．定义方阵的Lie括号运算：[A,B]：=AB-BA，如果[A,B]=0,称A和B可交换.请尝试证明如下结论例题1.1.2Fnxn中与任何方阵都可交换的方阵全体是所有纯量阵（能够写成单位阵的若千倍)，即Fnxn的中心化子Z(Fnxn)=[入In：入EF]-下面通过若干具体例子的计算，巩固刚刚介绍的概念1

第 1 章 矩阵与行列式 §1.1 矩阵的定义与基本性质 设 F 是数域, aij ∈ F, 1 ⩽ i ⩽ m, 1 ⩽ j ⩽ n, 称下面的 m 行 n 列的长方形表为数域 F 上的 m × n 矩阵: A =   a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . am1 am2 · · · amn   , 有时也简记为 A = (aij )m×n. 其中, aij 被称作 A 的 (i, j) 元, aii 称为 A 的主对角元素. 通常, 我们习惯于用 Eij 表示 (i, j) 元为 1, 其余元素为 0 的矩阵. 如果 aij = 0, ∀i, j, 则称 A 为零矩阵, 记作 A = 0; 如果 aij = 0, ∀i 6= j, 称 A 为对角矩阵; 如果 aij = 0, ∀i > j, 称 A 为上三角矩阵; 如果 aij = 0, ∀i ⩾ j, 称 A 为严格上三角 矩阵. 类似可以定义下三角矩阵和严格下三角矩阵. 如果 F = R, 称 A 为实矩阵; F = C, 称 A 为复矩阵. 在后 面的叙述中, 没有特殊指明的情况下, 总是默认 F 为一个代数闭域. 我们把 F 上的 m × n 矩阵全体组成的集 合记作 F m×n. 特别地, 在 m = n 时, 称 A 为 n 阶方阵. 考虑 A = (aij ), B = (bij ) ∈ F m×n, λ ∈ F, 定义 A + B := (aij + bij ), λA := (λaij ). 因此, 在定义负矩阵 −A = −1F A 以后, 我们就有了加减法、数乘的概念, 并且它们显然继承了 F 上的加法交换律、结合律; 数乘交 换律、结合律; 加法和数乘共同具有分配律. 考虑 A = (aij ) ∈ F m×n, B = (bij ) ∈ F n×p , 定义矩阵乘法 AB := Xn k=1 aikbkj! ∈ F m×p . 显然, 乘法与数 乘之间具有交换律, 乘法与加法之间具有分配律: A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC. 特别地, 在 m = n = p 的时候, AB ∈ F n×n, 这样, 我们有机会研究方阵的交换律和结合律. 结论留作练习: 例题 1.1.1 方阵乘法具有结合律: (AB)C = A(BC), A, B, C ∈ F n×n, 但是并没有交换律. 定义 In = (δij )n×n 为 n 阶单位阵, 容易验证它是矩阵乘法的幺元. 通过上述讨论, 我们得到: (F n×n, +, ·) 是含幺非交换环, 其中 · 表示矩阵乘法. 设 A ∈ F n×n. 定义 A 的 k 次幂 Ak 为 n 个 A 相乘, 这样就可以继 续定义 A 的多项式. 如果存在 k ∈ N ∗ , 使得 Ak = 0, 称 A 为幂零矩阵, 更进一步, 若 k ⩾ 2 且 Ak−1 6= 0, 称 A 为 k 次幂零矩阵. 我们把零矩阵看作一次幂零矩阵. 定义方阵的 Lie 括号运算: [A, B] := AB − BA, 如果 [A, B] = 0, 称 A 和 B 可交换. 请尝试证明如下结论: 例题 1.1.2 F n×n 中与任何方阵都可交换的方阵全体是所有纯量阵 (能够写成单位阵的若干倍), 即 F n×n 的中 心化子 Z(F n×n) = {λIn : λ ∈ F}. 下面通过若干具体例子的计算, 巩固刚刚介绍的概念. 1

例题1.1.3计算），并使用乘法结合律。提示注意到-1在你对于一些幂次计算一筹莫展的时候，尝试计算几项，观察规律，配合上归纳法是一种好选择，20200例题1.1.4计算-11入例题1.1.5计算..入1TnXT/n>ABn-k例题1.1.6证明：方阵A与B可交换时，Newton二项式成立：（A+B)"=(k)k=0对于方阵A=（ai）EFnxn，还可以定义A的迹trA=au.它显然是保持加法和数乘的，换句话说，1它是Fnxn上面的一个线性函数下面的性质十分重要，证明留作练习例题1.1.7设AEFmxn,BEFnxm.证明:tr(AB)=tr(BA)回到AEFmxn的情况，定义A的转置AT=（aji）EFnxm.容易验证，转置运算是保持加法、数乘的而对于乘法具有"穿脱原理"：（AB)T=BTAT.此外，两次转置显然相当于不动.若AT=A，称A是对称矩阵若AT=－A，称A是反对称矩阵，显然，只有方阵有机会成为上述两类矩阵。不仅如此，不管A是否为方阵，AAT总是对称方阵.如果F=C，还可以定义A的共轭A=（ai）.显然，共轭运算保持加法、数乘、乘法.不难验证的是，转置与共轭运算可交换：AT=AT，我们通常称它为A的Hermite元：AH：=AT.称复方阵A是Hermite方阵，如果AH=A称复方阵A是反Hermite方阵，如果AH=一A.显然，AAH总是Hermite的例题1.1.8证明：任何方阵都可以唯一分解为对称矩阵与反对称矩阵之和。提示当A是方阵时，A+AT总是对称的.例题1.1.9证明：实对称的二次暴零矩阵一定是零矩阵。把二次零的条件去掉，结论是否依旧成立？提示后者的确是成立的，不过只使用这节的知识很难证明，在学完实对称矩阵的相似对角化之后再做比较好矩阵的分块，是处理问题的一个重要技巧：所谓分块，相当于把一个矩阵划分为若于个小矩形，每个矩形内都是小矩阵，进而把它们当作元素来进行处理.容易看出，恰当地分块在处理实际问题中会有极大的帮助。称A为准上三角矩阵，如果它在某种分块下能够写上三角的形式，同理可以定义准严格上三角矩阵、严格下三角矩阵、准严格下三角矩阵、准对角阵．通常我们把准对角阵的对角分块简记为A=diag(A1，.，As).例题1.1.10设A,XEFnxn，考虑X的列向量分块X=（Xi,.,Xn)，满足AX=入X，入EF,V1≤i≤n.求矩阵B.满足AX=XB

例题 1.1.3 计算   1 1 −1 −1   2020 . 提示 注意到   1 1 −1 −1   =   1 −1    1 1 , 并使用乘法结合律. 在你对于一些幂次计算一筹莫展的时候, 尝试计算几项, 观察规律, 配合上归纳法是一种好选择. 例题 1.1.4 计算   0 1 −1 −1   2020 . 例题 1.1.5 计算   λ 1 λ 1 . . . . . . λ 1 λ   n n×n . 例题 1.1.6 证明: 方阵 A 与 B 可交换时, Newton 二项式成立: (A + B) n = Xn k=0  n k  A kB n−k . 对于方阵 A = (aij ) ∈ F n×n, 还可以定义 A 的迹 tr A = Xn i=1 aii. 它显然是保持加法和数乘的, 换句话说, 它是 F n×n 上面的一个线性函数. 下面的性质十分重要, 证明留作练习: 例题 1.1.7 设 A ∈ F m×n, B ∈ F n×m. 证明: tr(AB) = tr(BA). 回到 A ∈ F m×n 的情况, 定义 A 的转置 AT = (aji) ∈ F n×m. 容易验证, 转置运算是保持加法、数乘的, 而对于乘法具有“穿脱原理”: (AB) T = BT AT . 此外, 两次转置显然相当于不动. 若 AT = A, 称 A 是对称矩阵; 若 AT = −A, 称 A 是反对称矩阵. 显然, 只有方阵有机会成为上述两类矩阵. 不仅如此, 不管 A 是否为方阵, AAT 总是对称方阵. 如果 F = C, 还可以定义 A 的共轭 A = (aij ). 显然, 共轭运算保持加法、数乘、乘法. 不 难验证的是, 转置与共轭运算可交换: AT = A T , 我们通常称它为 A 的 Hermite 元: AH := A T . 称复方阵 A 是 Hermite 方阵, 如果 AH = A; 称复方阵 A 是反 Hermite 方阵, 如果 AH = −A. 显然, AAH 总是 Hermite 的. 例题 1.1.8 证明: 任何方阵都可以唯一分解为对称矩阵与反对称矩阵之和. 提示 当 A 是方阵时, A + AT 总是对称的. 例题 1.1.9 证明: 实对称的二次幂零矩阵一定是零矩阵. 把二次幂零的条件去掉, 结论是否依旧成立? 提示 后者的确是成立的, 不过只使用这节的知识很难证明, 在学完实对称矩阵的相似对角化之后再做比较好. 矩阵的分块, 是处理问题的一个重要技巧. 所谓分块, 相当于把一个矩阵划分为若干个小矩形, 每个矩形内 都是小矩阵, 进而把它们当作元素来进行处理. 容易看出, 恰当地分块在处理实际问题中会有极大的帮助. 称 A 为准上三角矩阵, 如果它在某种分块下能够写上三角的形式, 同理可以定义准严格上三角矩阵、严格下三角矩 阵、准严格下三角矩阵、准对角阵. 通常我们把准对角阵的对角分块简记为 A = diag(A1, · · · , Ak). 例题 1.1.10 设 A, X ∈ F n×n, 考虑 X 的列向量分块 X = (X1, · · · , Xn), 满足 AXi = λiXi, λi ∈ F, ∀1 ⩽ i ⩽ n. 求矩阵 B, 满足 AX = XB