常微分方程
常微分方程
目录7第一章序言与基本概念1.1微分方程及其解的定义7第二章11初等积分法恰当方程2.111变量分离方程2.216一阶线性方程2.3192.4初等变换法23齐次方程2.4.1232.4.2伯努利方程，272.4.3里卡蒂方程(Riccati)27292.5积分因子法应用举例2.634第三章存在性和唯一性定理37Picard存在性和唯一性定理373.13.2Peano存在性定理433.2.1欧拉折线433.2.2Ascoli引理453.2.3Peano存在性定理46解的延伸513.33.4比较定理55第四章奇解57一阶隐式微分方程574.1微分法4.1.1573
目 录 第一章 序言与基本概念 7 1.1 微分方程及其解的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 第二章 初等积分法 11 2.1 恰当方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 变量分离方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 一阶线性方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 初等变换法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4.1 齐次方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4.2 伯努利方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4.3 里卡蒂方程(Riccati) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5 积分因子法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.6 应用举例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 第三章 存在性和唯一性定理 37 3.1 Picard存在性和唯一性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Peano存在性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.1 欧拉折线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.2 Ascoli引理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.3 Peano存在性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3 解的延伸 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.4 比较定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 第四章 奇解 57 4.1 一阶隐式微分方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.1.1 微分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3
4目录4.1.2参数法59奇解4.266包络4.368第五章高阶微分方程73二阶方程的几个例子（都可降阶求解）：单摆、悬链线、二体问题（都5.1与引力有关）73n维线性空间中的微分方程5.2825.3解对初值和参数的连续依赖性925.4解对初值和参数的连续可微性98第六章线性微分方程组99一般理论6.1996.1.1齐次线性微分方程组.1006.1.2非齐次线性微分方程组。.1036.2常系数线性微分方程组..1066.2.1矩阵指数函数的定义和性质.1076.2.2常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵.1086.2.3利用若尔当标准型求基解矩阵..1106.2.4待定指数函数法（欧拉）.1106.3高阶线性微分方程式1166.3.1高阶线性微分方程的一般理论.1176.3.2常系数高阶线性微分方程.121第七章定性理论与分支理论初步12571动力系统，相空间与轨线：1257.2解的稳定性.1337.2.1Lyapunov稳定性的概念133
4 目 录 4.1.2 参数法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.2 奇解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.3 包络 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 第五章 高阶微分方程 73 5.1 二阶方程的几个例子（都可降阶求解）：单摆、悬链线、二体问题（都 与引力有关） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.2 n维线性空间中的微分方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.3 解对初值和参数的连续依赖性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.4 解对初值和参数的连续可微性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 第六章 线性微分方程组 99 6.1 一般理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.1.1 齐次线性微分方程组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.1.2 非齐次线性微分方程组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.2 常系数线性微分方程组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6.2.1 矩阵指数函数的定义和性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.2.2 常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵 . . . . . . . . . . . . . . 108 6.2.3 利用若尔当标准型求基解矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.2.4 待定指数函数法（欧拉） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.3 高阶线性微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.3.1 高阶线性微分方程的一般理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.3.2 常系数高阶线性微分方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 第七章 定性理论与分支理论初步 125 7.1 动力系统，相空间与轨线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 7.2 解的稳定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.2.1 Lyapunov稳定性的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
目录57.2.2按线性近似判断稳定性1357.2.3Lyapunov第二方法137第八章边值问题1418.1Sturm比较定理1418.2泛定方程与定解问题1478.2.1三类典型二阶线性方程的导出：1478.2.2定解条件与定解问题1518.3分离变量法。1558.3.1几个典型例子.1558.4Sturm-Liouville固有值问题.1638.5分离变量法求解偏微分方程：进一步例子：1708.6非齐次问题分离变量法求解：.1758.7Legendre方程与幂级数解法.1798.8球坐标下求拉普拉斯方程轴对称解186第九章线性偏微分方程1939.1拉普拉斯方程.1939.1.1平均值公式及应用.1939.1.2调和函数的正则性195基本解9.1.32009.1.4Green函数2049.1.5能量方法. 2119.2热方程215基本解9.2.1.2159.2.2能量方法.2219.2.3热方程平均值公式及应用：最大值原理、解的唯一性224
目 录 5 7.2.2 按线性近似判断稳定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 7.2.3 Lyapunov第二方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 第八章 边值问题 141 8.1 Sturm比较定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 8.2 泛定方程与定解问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 8.2.1 三类典型二阶线性方程的导出： . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 8.2.2 定解条件与定解问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 8.3 分离变量法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 8.3.1 几个典型例子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 8.4 Sturm-Liouville固有值问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 8.5 分离变量法求解偏微分方程：进一步例子 . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 8.6 非齐次问题分离变量法求解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 8.7 Legendre方程与幂级数解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 8.8 球坐标下求拉普拉斯方程轴对称解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 第九章 线性偏微分方程 193 9.1 拉普拉斯方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 9.1.1 平均值公式及应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 9.1.2 调和函数的正则性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 9.1.3 基本解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 9.1.4 Green函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 9.1.5 能量方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 9.2 热方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 9.2.1 基本解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 9.2.2 能量方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 9.2.3 热方程平均值公式及应用：最大值原理、解的唯一性 . . . . . . 224
第一章序言与基本概念序言：81.1微分方程及其解的定义Definition1.1.1.设函数y=(a)在区间J上连续，且有直到n阶的导数。如果把y=p(a)及其相应的各阶导数代入方程（1.1)，得到关于r的恒等式，即F(t,P(a),0(r), *,p(n)(r)) = 0对一切rEJ都成立，则称y=p(r)为微分方程（1.1）在区间J上的一个解。例：自由落体。由牛顿第二运动定律F=ma，mj= -mg9=-9,(1.4)这个方程很简单，右边与无关。转化为求积分 =-gt +Ci,(1.5)1gt?+Cit+C2，（(1.6)y=-29t确定一个具体的自由落体运动，需要确定它的初值条件y(0) = yo, y(o) = vo.((1.7)此时要求C2=o,C1=Uo。因此得到唯一确定的解Igt + vot + yo (1.8)y=-229t由于n阶ode求解过程积分n次，另一方面它有n个初值条件，一个n阶微分方程的通解包含n个独立的任意常数（严格的证明见第十章）。所以有如下定义。Definition1.1.2.设n阶微分方程（1.1）的解y =(ar, C1, C2,., Cn)(1.3)7
第一章 序言与基本概念 序言: §1.1 微分方程及其解的定义 Definition 1.1.1. 设函数y = φ(x)在区间J上连续，且有直到n阶的导数。如果把y = φ(x)及其相应的各阶导数代入方程（1.1），得到关于x的恒等式，即 F(x, φ(x), φ′ (x), · · · , φ(n) (x)) = 0 对一切x ∈ J都成立，则称y = φ(x)为微分方程（1.1）在区间J上的一个解。 例：自由落体。由牛顿第二运动定律F = ma， my¨ = −mg, y¨ = −g, (1.4) 这个方程很简单，右边与y无关。转化为求积分 y˙ = −gt + C1, (1.5) y = − 1 2 gt2 + C1t + C2, (1.6) 确定一个具体的自由落体运动，需要确定它的初值条件 y(0) = y0, y′ (0) = v0. (1.7) 此时要求C2 = y0, C1 = v0。因此得到唯一确定的解 y = − 1 2 gt2 + v0t + y0. (1.8) 由于n阶ode求解过程积分n次，另一方面它有n个初值条件，一个n阶微分方程 的通解包含n个独立的任意常数（严格的证明见第十章）。所以有如下定义。 Definition 1.1.2. 设n阶微分方程（1.1）的解 y = φ(x, C1, C2, · · · , Cn) (1.3) 7