3382.5积分因子法假设方程（2.55）的左端可以分成两组，即(Pidr + Qidy) + (P2dr +Q2dy) = 0,其中第一组和第二组各有积分因子μ和μ2，使得μi(Pid+Qidy)=dΦ1,μ2(P2d+Q2dy)=d2由定理2.6可见，对任意可微函数g91,92，函数μ191(@1)是第一组的积分因子，而函数μ292(Φ2)是第二组的积分因子。因此，如果能适当选取91,92使得μ191(Φ1)=292(Φ2)，则μ=μ191(Φ1)就是方程（2.55）的一个积分因子。【例，习题1（7）】求解y3da + 2(r2 - ry2)dy = 0Py- Q= 3y?-(4r -2y2)= 5y2- 4r考虑分组(y' da - 2ry dy) + 2r dy = 0,后者有积分因子μ2=-2。前者Py- Qz - 5-- QyhiPyi = y-5.从而μi(y3 dr - 2ryady) = d(ry-2), μ22r2dy = d(2y)找g1,92使得μ1g1(ry-2) = μ292(2y)即y-5 g1(ry-2) = -2 g2(2y)因此有积分因子μ = α-2y-1.有特解r=0和y0。另外，乘以积分因子μ，积分得-r-1y? +lny?= C作业：1（3，4，6，7)，4
§2.5 积分因子法 33 假设方程（2.55）的左端可以分成两组，即 (P1dx + Q1dy) + (P2dx + Q2dy) = 0, 其中第一组和第二组各有积分因子µ1和µ2，使得 µ1(P1dx + Q1dy) = dΦ1, µ2(P2dx + Q2dy) = dΦ2. 由定理2.6可见，对任意可微函数g1, g2，函数µ1g1(Φ1)是第一组的积分因子，而函 数µ2g2(Φ2)是第二组的积分因子。因此，如果能适当选取g1, g2使得µ1g1(Φ1) = µ2g2(Φ2)， 则µ = µ1g1(Φ1)就是方程（2.55）的一个积分因子。 【例，习题1（7）】求解 y 3 dx + 2(x 2 − xy2 )dy = 0. Py − Qx = 3y 2 − (4x − 2y 2 ) = 5y 2 − 4x. 考虑分组 (y 3 dx − 2xy2 dy) + 2x 2 dy = 0, 后者有积分因子µ2 = x −2。前者 Py − Qx P = 5 y = − ∂yµ1 µ1 , µ1 = y −5 . 从而 µ1(y 3 dx − 2xy2 dy) = d(xy−2 ), µ22x 2 dy = d(2y), 找g1, g2使得 µ1g1(xy−2 ) = µ2g2(2y), 即 y −5 g1(xy−2 ) = x −2 g2(2y). 因此有积分因子 µ = x −2 y −1 . 有特解x = 0和y = 0。另外，乘以积分因子µ，积分得 −x −1 y 2 + ln y 2 = C. 作业：1（3，4，6，7），4
34第二章初等积分法82.6应用举例【例，习题4】追线：设在Ory平面上，有某物P(t)=（at,0),a>0。Q(0）=(0,1)，Q的速度为b>a。并且Q的运动方向始终指向P，即i_da/dtr-atdy/dt9y求Q的轨迹，以及追上P的时间。解：由方程求得daat=rydy'因此，drdydrd,dra=ydtdydtdt dy注意到idrS因此令dah(t) =<0,dy则dha<0.dtV因此abdtaaV2+92dt=V1+h219ldtdh(t)==bybyby~V1+h2dyby即dhadyV1+h2by积分得ln(h + V1 +h2)= dlny+Ci,由h(0)=0,y(0)=1,得h+V1+h2=y号求得=h=6(at - -t),dy
34 第二章 初等积分法 §2.6 应用举例 【例，习题4】追线：设在Oxy平面上，有某物P(t) = (at, 0), a > 0。Q(0) = (0, 1)，Q的速度为b > a。并且Q的运动方向始终指向P，即 x˙ y˙ = dx/dt dy/dt = x − at y . 求Q的轨迹，以及追上P的时间。 解：由方程求得 at = x − y dx dy , 因此， a = dx dt − dy dt dx dy − y d dt( dx dy ). 注意到 dx dy = x˙ y˙ , 因此令 h(t) = dx dy < 0, 则 dh dt = − a y < 0. 因此 dh(t) = − a by bdt = − a by √ x˙ 2 + ˙y 2dt = − a by √ 1 + h 2|y˙|dt = a by √ 1 + h 2dy 即 dh √ 1 + h 2 = a b dy y , 积分得 ln(h + √ 1 + h 2) = d ln y a b + C1, 由h(0) = 0, y(0) = 1，得 h + √ 1 + h 2 = y a b , 求得 dx dy = h = 1 2 (y a b − y − a b )
82.6应用举例35这是一个变量分离的方程。接下来积分并利用r(0)=1得bba+6(0++-1)- (gl-%- 1),2(g)=b-a设相遇时刻为t=T，此时r=aT,y=0。因此T=-。作业：3，4，5
§2.6 应用举例 35 这是一个变量分离的方程。接下来积分并利用x(0) = 1得 2x(y) = b a + b (y 1+ a b − 1) − b b − a (y 1− a b − 1). 设相遇时刻为t = T，此时x = aT, y = 0。因此T = b b 2−a 2。 作业：3，4，5
36第二章初等积分法
36 第二章 初等积分法
第三章存在性和唯一性定理我们在第二章讨论了一阶微分方程的初等积分法，解决了几类特殊的方程。但是，我们也知道，对许多微分方程，例如形式上很简单的里卡蒂方程y=?+y?，不能通过初等积分法求解。这就产生一个问题：一个不能用初等积分法求解的微分方程是否意味着没有解呢？或者说，一个微分方程的初值问题在何种条件下一定有解呢？当有解时，它的解是否唯一呢？毫无疑问，这是一个很基本的问题。不解决这个问题，对微分方程的进一步研究（无论定性还是定量）就无从谈起。柯西（1789-1857）在19世纪20年代第一个成功地建立了微分方程初值问题解的存在和唯一性定理（因此，后人把初值问题称为柯西问题）。在1876年Lipschitz减弱了柯西定理的条件。而在1893年Picard用逐次逼近法在Lipschitz条件下对定理给出了一个新证明。此外Peano在更一般的条件下建立了柯西问题解的存在性定理（不顾及唯一性）。本章主要介绍Picard定理和Peano定理，并介绍解的延伸和解的最大存在区间等有关问题。83.1Picard存在性和唯一性定理例：考虑初值问题=l3l%(0)=0（ly|避免y<0时无定义），常数α>0。解：y=0为一个解。QE(0,1)时又有解y=[(1-α)r]-a,≥0; y=-[-(1-Q)]-,≤0因此此时解不唯一。Q≥1解唯一。本节将利用Picard的逐次送代法证明微分方程初值问题解的存在性和唯一性定理。为此，我们首先介绍一个条件。设函数f(r,y)在区域D内满足不等式If(,y1) -f(r, y2)/≤Lly1 - y2l,其中常数L>0。则称函数f(r,y)在区域D内对y满足Lipschitz条件。对于f(r,y)=lul%，αE(0,1)时在y=0附近对y不满足Lipschitz条件，α≥1时在局部对y满足Lipschitz条件。若函数f(r,y)在凸形区域D内对y有连续的偏微商（这是柯西当年建立微分方程初值问题解的存在性和唯一性定理时所假设的一个条件），并且D是有界闭区域，则f(r,y)在D内对y满足Lipschitz条件；反之，结论不一定正确。例如，f(a，y）=ly|对y满足Lipschitz条件，但当y=0时它对y没有微商。37
第三章 存在性和唯一性定理 我们在第二章讨论了一阶微分方程的初等积分法，解决了几类特殊的方程。 但是，我们也知道，对许多微分方程，例如形式上很简单的里卡蒂方程y ′ = x 2 +y 2， 不能通过初等积分法求解。这就产生一个问题：一个不能用初等积分法求解的微 分方程是否意味着没有解呢？或者说，一个微分方程的初值问题在何种条件下一 定有解呢？当有解时，它的解是否唯一呢？毫无疑问，这是一个很基本的问题。不 解决这个问题，对微分方程的进一步研究（无论定性还是定量）就无从谈起。 柯西（1789-1857）在19世纪20年代第一个成功地建立了微分方程初值问题解的 存在和唯一性定理（因此，后人把初值问题称为柯西问题）。在1876年Lipschitz减弱 了柯西定理的条件。而在1893年Picard用逐次逼近法在Lipschitz条件下对定理给出 了一个新证明。此外Peano在更一般的条件下建立了柯西问题解的存在性定理（不 顾及唯一性）。 本章主要介绍Picard定理和Peano定理，并介绍解的延伸和解的最大存在区间 等有关问题。 §3.1 Picard存在性和唯一性定理 例：考虑初值问题dy dx = |y| α, y(0) = 0（|y|避免y < 0时无定义），常数α > 0。 解：y ≡ 0为一个解。α ∈ (0, 1)时又有解 y = [(1 − α)x] 1 1−α , x ≥ 0; y = −[−(1 − α)x] 1 1−α , x ≤ 0. 因此此时解不唯一。α ≥ 1解唯一。 本节将利用Picard的逐次迭代法证明微分方程初值问题解的存在性和唯一性 定理。为此，我们首先介绍一个条件。设函数f(x, y)在区域D内满足不等式 |f(x, y1) − f(x, y2)| ≤ L|y1 − y2|, 其中常数L > 0。则称函数f(x, y)在区域D内对y满足Lipschitz条件。 对于f(x, y) = |y| α，α ∈ (0, 1)时在y = 0附近对y不满足Lipschitz条件，α ≥ 1时在 局部对y满足Lipschitz条件。若函数f(x, y)在凸形区域D内对y有连续的偏微商（这是 柯西当年建立微分方程初值问题解的存在性和唯一性定理时所假设的一个条件）， 并且D是有界闭区域，则f(x, y)在D内对y满足Lipschitz条件；反之，结论不一定正 确。例如，f(x, y) = |y|对y满足Lipschitz条件，但当y = 0时它对y没有微商。 37