2382.4初等变换法82.4初等变换法在前面几节中，我们已经介绍了对恰当方程、变量分离的方程和一阶线性方程的求解法。现在，凭借初等变换，我们来扩充可求解方程的范围。下面介绍几个标准类型的微分方程，它们可以通过适当的初等变换（通常考虑一个新的未知函数，或新的自变量）转化为变量分离的方程或一阶线性方程。例如：y'= cos(r-y)可令u=y一a，则可化为变量分离的方程u' = cos u - 1.82.4.1齐次方程如果微分方程P(r,y)d + Q(a,y)dy = 0(2.43)中的函数P,Q都是a，的同次（例如m次）齐次函数，即P(ta,ty) =tmP(r,y), Q(ta,ty) =tmQ(r,y), (2.44)则称方程（2.43）为齐次方程（这与上节的齐次线性方程不是一回事）。因此形式上，我们要求解P(1,)dy--P(r,y)drQ(1, )Q(r,y)引入新变量u（然后求解u（a））u=y(2.45)T因此（2.43）有一个等价形式=-P(1,u) := 重(u) = (da=Q(1,u)因此，u()所满足的方程为du= Φ(u) - u,"dr它是一个变量分离/恰当的方程，可以直接求通积分
§2.4 初等变换法 23 §2.4 初等变换法 在前面几节中，我们已经介绍了对恰当方程、变量分离的方程和一阶线性方 程的求解法。现在，凭借初等变换，我们来扩充可求解方程的范围。 下面介绍几个标准类型的微分方程，它们可以通过适当的初等变换（通常考 虑一个新的未知函数，或新的自变量）转化为变量分离的方程或一阶线性方程。 例如： y ′ = cos(x − y). 可令u = y − x，则可化为变量分离的方程 u ′ = cos u − 1. §2.4.1 齐次方程 如果微分方程 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (2.43) 中的函数P, Q都是x, y的同次（例如m次）齐次函数，即 P(tx, ty) = t mP(x, y), Q(tx, ty) = t mQ(x, y), (2.44) 则称方程（2.43）为齐次方程（这与上节的齐次线性方程不是一回事）。 因此形式上，我们要求解 dy dx = − P(x, y) Q(x, y) = − P(1, y x ) Q(1, y x ) , 引入新变量u（然后求解u(x)） u = y x . (2.45) 因此（2.43）有一个等价形式 dy dx = − P(1, u) Q(1, u) := Φ(u) = Φ( y x ). 因此，u(x)所满足的方程为 x du dx = Φ(u) − u, 它是一个变量分离/恰当的方程，可以直接求通积分
24第二章初等积分法齐次方程（2.43）的形式具有整体收缩不变性。反过来，如果一个方程具有收缩不变性，则dy= f(z,y)= g(a, =g(ca,1Vc+0dr即dyqldr【例，习题6】探照灯的反光镜（旋转曲面）应具有何种形状，才能使点光源发射的光束反射成平行线束？解：点光源放置于原点，设曲面由曲线y=y(r)绕轴旋转而成。则-arctan yarctan(-=π - arctan(-ury因此-禁2 g -1 = 0,(y)?+3y为简单起见，只需考虑轴上方的半支：y=+v+y?y于是yy=(1)r+V2+y这是两个齐次方程。令y=ru，则（1）化为1dr(l+uVi+)du=-4al积分得[rl(V1 + u2 1) = C > 0,2 = 2C(a| +号)这是朝两个方向开口的两个对称的抛物线【例，习题5】求一曲线，使得过这曲线上任意点的切线与该点向径的交角等于某固定角度。解：设切线与轴正向夹角为α，则tanα=y
24 第二章 初等积分法 齐次方程（2.43）的形式具有整体收缩不变性。反过来，如果一个方程具有收 缩不变性，则 dy dx = f(x, y) = g(x, y x ) = g(cx, y x ), ∀c ̸= 0, 即 dy dx = g( y x ). 【例，习题6】探照灯的反光镜（旋转曲面）应具有何种形状，才能使点光源发 射的光束反射成平行线束？ 解：点光源放置于原点，设曲面由曲线y = y(x)绕x轴旋转而成。则 arctan(− 1 y ′ ) − arctan y x = π − arctan(− 1 y ′ ), 因此 − 1 y ′ − y x 1 − y xy′ = 1 y ′ , (y ′ ) 2 + 2x y y ′ − 1 = 0, 为简单起见，只需考虑x轴上方的半支： y ′ = −x + √ x 2 + y 2 y 于是 y ′ = y x + √ x 2 + y 2 , (1) 这是两个齐次方程。令y = xu，则（1）化为 ( 1 u + 1 u √ 1 + u 2 )du = − dx x , 积分得 |x|( √ 1 + u 2 − 1) = C > 0, y 2 = 2C(|x| + C 2 ). 这是朝两个方向开口的两个对称的抛物线。 【例，习题5】求一曲线，使得过这曲线上任意点的切线与该点向径的交角等 于某固定角度γ。 解：设切线与x轴正向夹角为α，则 tan α = y ′
82.4初等变换法25定义β为向量(,y)与轴正向的夹角，则tanβ=y设β逆时针旋转=α-βE（-，)与α重合，则tanα-tanβtan(α- β) == tan =),1+tanatanβ即y-入1+y%从而y=y+ar-ay令u=y/r，则(1 - u)du _ dr入(u2 +1)=arctan u - ln V1 + u? = ln [e| + In C,,C>0,Jel V1 + u? = Cet arctan u,以u=y代回上式，得到通积分Vr2 + y? = Cet arctan(g/a),如果采用极坐标，则得简单形式r=Ce, C>0.它是以原点为焦点的螺旋线。注意入二α时，为圆周。可增可减，可正可负，入可正可负。等角螺线是由笛卡儿在1638年发现的。等角螺线（切向与极半径的夹角为常数）、对数螺线或生长螺线是在自然界常见的螺线，在极坐标系(r,の)中，这个曲线可以写为r=aebe或9:lm(r/a).因此等角螺线又称为对数螺线
§2.4 初等变换法 25 定义β为向量(x, y)与x轴正向的夹角，则 tan β = y x . 设β逆时针旋转γ = α − β ∈ (− π 2 , π 2 ]与α重合，则 tan(α − β) = tan α − tan β 1 + tan α tan β = tan γ = λ, 即 y ′ − y x 1 + y ′ y x = λ, 从而 y ′ = y + λx x − λy . 令u = y/x，则 (1 − λu)du λ(u 2 + 1) = dx x , 1 λ arctan u − ln √ 1 + u 2 = ln |x| + ln C, C > 0, |x| √ 1 + u 2 = Ce 1 λ arctan u , 以u = y/x代回上式，得到通积分 √ x 2 + y 2 = Ce 1 λ arctan(y/x) , 如果采用极坐标，则得简单形式 r = Ce θ λ , C > 0. 它是以原点为焦点的螺旋线。注意λ = ∞时，为圆周。θ可增可减，可正可负，λ可 正可负。 等角螺线是由笛卡儿在1638年发现的。等角螺线（切向与极半径的夹角为常 数）、对数螺线或生长螺线是在自然界常见的螺线，在极坐标系(r, θ)中，这个曲线 可以写为 r = aebθ , 或 θ = 1 b ln(r/a). 因此等角螺线又称为对数螺线
26第二章初等积分法【例4】讨论形如dyar+by+fodrma+ny+i的方程的求解。解：当c=l=0时，它是齐次方程。因此可用变换u=y/r化为变量分离的方程来求解。假设c,1不全为零，分两种情形来讨论：(1）△=an-bm≠0：此时可作平移=a+a, n=y+β,使得at+ bm= aa + by +c, me+ nn=mr + ny +l.因此原方程可化为罡=(然如)dEms+nn这是齐次方程。令u=n/s，即变为变量分离的方程。（2）△=an-bm=0：此时有㎡=㎡=入，因此原方程化为s=(x+)Pdr(X(ar+by)+7)令u=ar+by，则得到一个变量分离的方程duU+C=a+bf(drAu+l【例，习题2（3）】求解4(c2+2+3) = 2r(2y -da解：方程可变形为(c2 +9 +3)y =4y2 - 22.rdr令u=r?, v=y?则du_4u-2uduu++3令n=u+1，$=u+2
26 第二章 初等积分法 【例4】讨论形如 dy dx = f( ax + by + c mx + ny + l ) 的方程的求解。 解：当c = l = 0时，它是齐次方程。因此可用变换u = y/x化为变量分离的方 程来求解。假设c, l不全为零，分两种情形来讨论： （1）△ = an − bm ̸= 0：此时可作平移 ξ = x + α, η = y + β, 使得 aξ + bη = ax + by + c, mξ + nη = mx + ny + l. 因此原方程可化为 dη dξ = f( aξ + bη mξ + nη ), 这是齐次方程。令u = η/ξ，即变为变量分离的方程。 （2）△ = an − bm = 0：此时有m a = n b = λ，因此原方程化为 dy dx = f( ax + by + c λ(ax + by) + l ), 令v = ax + by，则得到一个变量分离的方程 dv dx = a + bf( v + c λv + l ). 【例，习题2（3）】求解 (x 2 + y 2 + 3) dy dx = 2x(2y − x 2 y ). 解：方程可变形为 (x 2 + y 2 + 3) ydy xdx = 4y 2 − 2x 2 . 令 u = x 2 , v = y 2 则 dv du = 4v − 2u u + v + 3 . 令 η = v + 1, ξ = u + 2
$2.4初等变换法27则dn_ 4n-25den+$令n= ts,则dt_4t-2-t=t+12dtdst+13dtdt=t-2-t-i'(t-1)(t-2)S=c(-1)?(1)(t- 2)32? =c(t- 1)2g2 =ct(t-1)2- 2,-1(t - 2)3(t - 2)3或者由9+1t=?-3=2+2代入（1)得(2-y?+1)2=C(-2+y2-3)382.4.2伯努利方程形如dy+p(r)y =q(r)y", n+0,1(2.48)da的方程称为伯努利方程。以(1-n)y-n乘以两边得(1 - n)g-n dy + (1 - n)gl-"p(r) = (1 - n)g(a).dr然后令z=yl-n，则dz+(1 -n)p(r)z= (1 - n)q(r),dr这是关于未知函数的一阶线性方程。里卡蒂方程(Riccati)$2.4.3如下形式的方程dy= p(r)g2 + q(a)y + r(a), (2.49)dr
§2.4 初等变换法 27 则 dη dξ = 4η − 2ξ η + ξ . 令 η = tξ, 则 ξ dt dξ = 4t − 2 t + 1 − t, − dξ ξ = t + 1 (t − 1)(t − 2)dt = 3dt t − 2 − 2dt t − 1 , ξ = C (t − 1)2 (t − 2)3 , (1) x 2 = C (t − 1)2 (t − 2)3 − 2, y2 = C t(t − 1)2 (t − 2)3 − 1. 或者由 t = η ξ = y 2 + 1 x 2 + 2 , 代入（1）得 (x 2 − y 2 + 1)2 = C(−2x 2 + y 2 − 3)3 . §2.4.2 伯努利方程 形如 dy dx + p(x)y = q(x)y n , n ̸= 0, 1 (2.48) 的方程称为伯努利方程。以(1 − n)y −n乘以两边得 (1 − n)y −n dy dx + (1 − n)y 1−n p(x) = (1 − n)q(x). 然后令z = y 1−n，则 dz dx + (1 − n)p(x)z = (1 − n)q(x), 这是关于未知函数z的一阶线性方程。 §2.4.3 里卡蒂方程(Riccati) 如下形式的方程 dy dx = p(x)y 2 + q(x)y + r(x), (2.49)