微分方程II习题课讲义
微分方程II习题课讲义
前言微分方程II，在中国科大是一门基础数学方向的专业必修课，也是推免至中国科大数学科学学院要求修读并通过的课程之一，它的主要内容包括：Sobolev空间，线性椭圆方程，抛物方程等理论．这些理论中，尤其是Sobolev空间的理论，都是比较近现代的数学理论，也是推动现代分析学发展的重要工具：这门课程要求相对熟练地掌握实分析以及部分泛函分析(Riesz表示定理、紧算子的谱理论)的知识，因此，本门课程也会大量地应用各种硬分析、不等式估计的技巧，希望同学们能够在学习的过程中，不仅学会PDE研究的方法，还能更加深入地领会实分析的方法与技巧，以及泛函分析的理论在现代PDE中的应用本讲义将习题课的主要内容罗列出来，可以说一个提纲，也会将以前学过的有用的知识列出来，便于同学们查阅，为避免大家查阅困难，我尽量将公式安排的紧凑，因此看似页数虽少，但内容颇多.不仅如此，证明大多比较简略，一来启发大家思考，二来缩短篇幅.水平有限，如有谬误，还望批评指正2019春-微分方程II助教吴天2019年2月28日于中国科学技术大学
前 言 微分方程II，在中国科大是一门基础数学方向的专业必修课，也是推免至中国科大数学科 学学院要求修读并通过的课程之一. 它的主要内容包括：Sobolev空间，线性椭圆方程，抛物方程等 理论. 这些理论中，尤其是Sobolev空间的理论，都是比较近现代的数学理论，也是推动现代分析学 发展的重要工具. 这门课程要求相对熟练地掌握实分析以及部分泛函分析(Riesz表示定理、紧算子的 谱理论)的知识，因此，本门课程也会大量地应用各种硬分析、不等式估计的技巧，希望同学们能够 在学习的过程中，不仅学会PDE研究的方法，还能更加深入地领会实分析的方法与技巧，以及泛函 分析的理论在现代PDE中的应用. 本讲义将习题课的主要内容罗列出来，可以说一个提纲，也会将以前学过的有用的知识列出 来，便于同学们查阅. 为避免大家查阅困难，我尽量将公式安排的紧凑，因此看似页数虽少，但内 容颇多. 不仅如此，证明大多比较简略，一来启发大家思考，二来缩短篇幅. 水平有限，如有谬误， 还望批评指正. 2019春-微分方程II助教 吴天 2019年2月28日 于中国科学技术大学
目录前言i11预备知识微分形式与外微分11.11.22常用记号声明1.3常用不等式352测度理论与Lebesgue积分测度理论52.12.2Lebesgue积分理论682.3Lebesgue微分定理103多变量微积分103.1场论初步与多重指标3.2边界的光滑性与Gauss-Green定理113.312极坐标换元法与余面积公式3.4卷积与磨光算子123.5单位分解定理1618调和函数的性质414.1调和函数与平均值性质18194.2调和函数的梯度估计214.3Laplace方程的基本解4.4Harnack不等式27325泛函分析与LP空间5.1Banach空间和Hilbert空间32ii
目 录 前 言 i 1 预备知识 1 1.1 微分形式与外微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 常用记号声明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 常用不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 测度理论与Lebesgue积分 5 2.1 测度理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Lebesgue积分理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3 Lebesgue微分定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3 多变量微积分 10 3.1 场论初步与多重指标 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.2 边界的光滑性与Gauss-Green定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.3 极坐标换元法与余面积公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.4 卷积与磨光算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.5 单位分解定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 调和函数的性质 18 4.1 调和函数与平均值性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.2 调和函数的梯度估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.3 Laplace方程的基本解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.4 Harnack不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5 泛函分析与L p空间 32 5.1 Banach空间和Hilbert空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ii
参考文献34
参考文献 34
第1讲预备知识秋名山上行人稀，常有车手较高低。旧时车道今犹在，不见当年老司机，一一某位车技高超的助教在本门课程开始的前几次习题课，我们需要复习一些以前学习过的知识微分形式与外微分81.1事实上，外微分的定义是通过光滑流形上的张量场给出的，具体内容超出了本门课程，感兴趣的同学可以查阅微分流形有关的书籍.因此，这里我们以一种通俗易懂的方式，换句话说，是一种约定俗成的规则来给出，虽然这样不大符合数学体系的严谨性，但是便于大家理解。考虑在Rn上，对于微分dai（i=1,".",n)之间定义外积运算""，并规定dai^daj=-daj^dai，以及结合律.由反交换律容易推出，对任意i，daiΛdri=0.定义1.1.1对于任意ECR"，定义Uk(E)=(Z fi...drin A..Adri.i<..ik fi..EC(E))ii,..,ik其中的元素称为E上的k-微分形式，简称k-形式．易知，U(E)是一个(")维的线性空间.任意一个Kk-形式与一个1-形式可以通过函数部分相乘、微分形式部分平凡相接的方式定义外积定义1.1.2设1≤≤n-1,w=fi..di^^daiE(E)，定义i,",ikfadaj A dain A.. dri uk+(E)dw=dfi.iAdri...Adrin=arii1,",ikj=1i",ik为w的外微分.容易验证：d(dw)=0，U(E)=C(E)，Uk(E)=[0)(Vk>n)例1.1 (dr+dy+dz)^(rdr^dy-zdy^dz)=(r-z)dr^dy^dz.1
第1讲 预备知识 秋名山上行人稀，常有车手较高低. 旧时车道今犹在，不见当年老司机. ——某位车技高超的助教 在本门课程开始的前几次习题课，我们需要复习一些以前学习过的知识. §1.1 微分形式与外微分 事实上，外微分的定义是通过光滑流形上的张量场给出的，具体内容超出了本门课程，感兴趣 的同学可以查阅微分流形有关的书籍. 因此，这里我们以一种通俗易懂的方式，换句话说，是一种约 定俗成的规则来给出，虽然这样不大符合数学体系的严谨性，但是便于大家理解. 考虑在R n上，对于微分dxi (i = 1, · · · , n)之间定义外积运算“∧”，并规定dxi ∧ dxj = −dxj ∧ dxi，以及结合律. 由反交换律容易推出，对任意i，dxi ∧ dxi = 0. 定义1.1.1 对于任意E ⊂ R n，定义 U k (E) = { X i1,··· ,ik fi1,··· ,ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik : i1 < · · · < ik, fi1,··· ,ik ∈ C ∞(E)} 其中的元素称为E上的k-微分形式，简称k-形式. 易知，U k (E)是一个 n k 维的线性空间. 任意一 个k-形式与一个l-形式可以通过函数部分相乘、微分形式部分平凡相接的方式定义外积. 定义1.1.2 设1 6 k 6 n − 1，ω = X i1,··· ,ik fi1,··· ,ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∈ U k (E)，定义 dω = X i1,··· ,ik dfi1,··· ,ik ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik = X i1,··· ,ik Xn j=1 ∂fi1,··· ,ik ∂xj dxj ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∈ U k+1(E) 为ω的外微分. 容易验证：d(dω) = 0，U 0 (E) = C∞(E)，U k (E) = {0} (∀k > n). 例1.1 (dx + dy + dz) ∧ (xdx ∧ dy − zdy ∧ dz) = (x − z)dx ∧ dy ∧ dz. 1