中科大数学分析(B1)习题课讲义本科15级理科试验1班王吴天2018年1月23日
中科大数学分析(B1)习题课讲义 本科15级 理科试验1班 吴天 2018年1月23日
前言数学分析，一般都是作为大学当中数学系的最基础的一门专业课出现的。但是在中科大，少年班学院未选择数学专业的同学与大多数院系英才班的同学会学习数学分析(B1)、（B2)两门课程。这门课程知识的深度和广度介于普通的高等数学和数学专业的数学分析（A）之间。虽说如此，但此门课程的主要内容依旧是以极限理论、微积分和级数理论为主。因此，这本讲义肯定不会脱离这些内容今年秋季学期，我有幸担任本门课程李平教授班级的助教，看到了同学们问的题目，想到了这个棘手的问题。由于大多数同学以后不会进入数学专业，因此不可以在习题课中讲解过难的知识：但是与此同时，有些同学会对数学的精妙之处产生好奇心，从而很容易就问出了达到基至超越数学专业难度的问题。例如，在本学期第一次习题课之前，有些同学就询问有关实数六大基本定理的推导。事实上，这个结论虽说奠定了分析学的基础，但是它的证明对于数学专业A类课程来讲都算是比较难的，更不用提我们的B类课程于是我想到发动同学们的力量，让同学们日常做题的同时，将一些好的题目发给我，我整理成讲义的形式于习题课讲解。当然，我也会从个人的角度加入部分典型题或稍有难度但比较有意义的题目。尽管这样，我还是希望以同学们的题目为主，因为只有同学们想到才是他们所需要的，也是最适合大家的。因此，讲义中选择的题目有如下几种类型：(1)典型题目，具有常用技巧或容易造成学习误区的；(2)作业中错误较多的题目，尤其是反映出共性问题的；(3)比较难的题目，但都反映了更本质、更深入的一些理论，它们一般出现在问题中。华罗庚老前辈曾经说过：“数学教材不应该有答案。”诚如是，学习数学，思考的过程很重要。正所谓：“数学是思维的体操。”数学分析中的证明题目尤其如此。如果附带详细的解答过程，同学们可能会对它产生依赖，从而减少思考量，影响了思维的训练。不过既然这是一份讲义，它就需要引用一些例题来讲解方法。所以，对于每个类型的题目，例题i
前言 数学分析，一般都是作为大学当中数学系的最基础的一门专业课出现的。但是在 中科大，少年班学院未选择数学专业的同学与大多数院系英才班的同学会学习数学分 析(B1)、(B2)两门课程。这门课程知识的深度和广度介于普通的高等数学和数学专业的数 学分析(A)之间。虽说如此，但此门课程的主要内容依旧是以极限理论、微积分和级数理论 为主。因此，这本讲义肯定不会脱离这些内容. 今年秋季学期，我有幸担任本门课程李平教授班级的助教，看到了同学们问的题目， 想到了这个棘手的问题。由于大多数同学以后不会进入数学专业，因此不可以在习题课中 讲解过难的知识；但是与此同时，有些同学会对数学的精妙之处产生好奇心，从而很容易 就问出了达到甚至超越数学专业难度的问题。例如，在本学期第一次习题课之前，有些同 学就询问有关实数六大基本定理的推导。事实上，这个结论虽说奠定了分析学的基础，但 是它的证明对于数学专业A类课程来讲都算是比较难的，更不用提我们的B类课程。 于是我想到发动同学们的力量，让同学们日常做题的同时，将一些好的题目发给我， 我整理成讲义的形式于习题课讲解。当然，我也会从个人的角度加入部分典型题或稍有难 度但比较有意义的题目。尽管这样，我还是希望以同学们的题目为主，因为只有同学们想 到才是他们所需要的，也是最适合大家的。因此，讲义中选择的题目有如下几种类型： (1)典型题目，具有常用技巧或容易造成学习误区的； (2)作业中错误较多的题目，尤其是反映出共性问题的； (3)比较难的题目，但都反映了更本质、更深入的一些理论，它们一般出现在问题中。 华罗庚老前辈曾经说过：“数学教材不应该有答案。”诚如是，学习数学，思考的过程 很重要。正所谓：“数学是思维的体操。”数学分析中的证明题目尤其如此。如果附带详细 的解答过程，同学们可能会对它产生依赖，从而减少思考量，影响了思维的训练。不过既 然这是一份讲义，它就需要引用一些例题来讲解方法。所以，对于每个类型的题目，例题 i
ii前言会给出详细的过程。在每章最后两节的习题和问题中，如果是基本的计算题，则仅给出参考答案供同学们检验，证明题不会给出答案，部分题目会视情况在习题课讲解。这里的习题虽没有提示，但大多是比较简单的题目，稍微用一些基本性质即得。但是问题大都很难，或者有些章节的最后几题是需要深入思考的探究类题目。每一章的问题仅供感兴趣的同学选做，对于以后不想从事数学专业的同学完全可以大致浏览，即使对于数学专业的同学也没必要题题都做。在题目前括号中标有年号-决赛或初赛-数学或非数-题号的，表示全国大学生数学竞赛的真题。还有一点就是针对我们这门课程需要强调的，就是讲义从第二章开始，凡是标明【定义】、【定理】、【推论】、【性质】等字样的概念或结论，均可在数学分析(B)的考试中(当然是没有特殊指明要求用什么做法的情况下)直接使用。此外，对于一些可能会用到、但是证明比较困难（不要求掌握)的内容（例如附录（A)中的实数理论），以及一些备查的公式(例如附录(B)、附录(C)的微积分常用公式)放在了附录中，此外还有若干套中国科学技术大学往年的数学分析（B）课程的考试题自，供感兴趣的同学参考。此讲义为本人第一次的试验版本，限于一些原因，目前暂时写这些内容。讲义的参考教材主要为课堂教材以及课程主页上的参考书目（详见附录中的参考书目），其余均为本人当时学习以及现在再次学习的一些见解，现暂时在17年秋季学期李平教授的数学分析(B1)课程班级使用。恰巧正值中科大建校60周年校庆年来临之际，同时也是少年班成立40周年，仅以此讲义献给科大，祝愿科大的数学课程教育越来越好。在此，感谢广大同学提供的素材以及解法，也特别鸣谢吴迪硕士、本科15级理科试验1班计算数学专业的张恩培同学和应用数学专业吴道雨同学的校对工作，也特别感谢本科16级创新班周翔同学所做的提供习题和校对习题的工作，以及他提供的由13级基础数学专业曲昊男同学在担任数学分析（A)助教期间所做的材料：鉴于本人水平有限，谬误难免，还望广大同学指正。本科15级理科试验1班基础数学专业吴天2018年1月于齐齐哈尔
ii 前言 会给出详细的过程。在每章最后两节的习题和问题中，如果是基本的计算题，则仅给出参 考答案供同学们检验，证明题不会给出答案，部分题目会视情况在习题课讲解。这里的习 题虽没有提示，但大多是比较简单的题目，稍微用一些基本性质即得。但是问题大都很 难，或者有些章节的最后几题是需要深入思考的探究类题目。每一章的问题仅供感兴趣的 同学选做，对于以后不想从事数学专业的同学完全可以大致浏览，即使对于数学专业的同 学也没必要题题都做。在题目前括号中标有年号-决赛或初赛-数学或非数-题号的，表示全 国大学生数学竞赛的真题。 还有一点就是针对我们这门课程需要强调的，就是讲义从第二章开始，凡是标明【定 义】、【定理】、【推论】、【性质】等字样的概念或结论，均可在数学分析(B)的考试 中(当然是没有特殊指明要求用什么做法的情况下)直接使用。此外，对于一些可能会用到、 但是证明比较困难(不要求掌握)的内容(例如附录(A)中的实数理论)，以及一些备查的公 式(例如附录(B)、附录(C)的微积分常用公式)放在了附录中，此外还有若干套中国科学技 术大学往年的数学分析(B)课程的考试题目，供感兴趣的同学参考。 此讲义为本人第一次的试验版本，限于一些原因，目前暂时写这些内容。讲义的参考 教材主要为课堂教材以及课程主页上的参考书目(详见附录中的参考书目)，其余均为本人当 时学习以及现在再次学习的一些见解，现暂时在17 年秋季学期李平教授的数学分析(B1)课 程班级使用。恰巧正值中科大建校60周年校庆年来临之际，同时也是少年班成立40周年， 仅以此讲义献给科大，祝愿科大的数学课程教育越来越好。在此，感谢广大同学提供的素 材以及解法，也特别鸣谢吴迪硕士、本科15级理科试验1班计算数学专业的张恩培同学和应 用数学专业吴逍雨同学的校对工作，也特别感谢本科16级创新班周潇翔同学所做的提供习 题和校对习题的工作，以及他提供的由13级基础数学专业曲昊男同学在担任数学分析(A)助 教期间所做的材料. 鉴于本人水平有限，谬误难免，还望广大同学指正。 本科15级 理科试验1班 基础数学专业 吴天 2018年1月 于齐齐哈尔
目录前言i11基础知识11.1常见数学符号映射21.231.3等价关系、等价与分拆31.4一些函数的常见性质31.4.1和差化积与积化和差公式1.4.24双曲函数与反双曲函数51.4.3反三角函数与其他三角函数61.5极坐标系61.6多项式的因式分解61.6.1多项式除法代数方程有理根的判别法71.6.271.6.3其他可能需要的定理92数列的极限理论92.1常用不等式2.2基本概念122.3常用性质132.4上、下极限162.5O.Stolz公式172.6第2章习题172.720第2章问题ii
目 录 前言 i 1 基础知识 1 1.1 常见数学符号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 映射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 等价关系、等价与分拆 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 一些函数的常见性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4.1 和差化积与积化和差公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4.2 双曲函数与反双曲函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4.3 反三角函数与其他三角函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 极坐标系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6 多项式的因式分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6.1 多项式除法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6.2 代数方程有理根的判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.6.3 其他可能需要的定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 数列的极限理论 9 2.1 常用不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 常用性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 上、下极限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.5 O.Stolz公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.6 第2章习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.7 第2章问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 iii
243函数的连续性243.1函数极限理论273.2函数的连续性3.3闭区间上的连续函数29函数的一致连续性303.43.5第3章习题303.6第3章问题34374单变量微分学374.1微分和导数的基本概念384.2导数运算法则4.3高阶导数及其运算法则3941微分学的中值定理4.4414.4.1Rolle中值定理及其推论424.4.2微分中值定理及其应用434.4.3Cauchy中值定理与L'Hospital法则444.5函数的单调性理论函数的凹凸性理论454.64.746Tavlor展开4.848第4章习题4.9第4章问题53555单变量积分学555.1不定积分的基本理论565.2有理函数的不定积分可有理化函数的原函数585.3R(cosr,sinr)dr形式5.3.158595.3.2R(coshr,sinhr)d形式595.3.3Chebychev型积分定积分的基本理论与计算605.45.4.1定积分的基本性质60615.4.2定积分的计算
3 函数的连续性 24 3.1 函数极限理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2 函数的连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3 闭区间上的连续函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4 函数的一致连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.5 第3章习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.6 第3章问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4 单变量微分学 37 4.1 微分和导数的基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2 导数运算法则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.3 高阶导数及其运算法则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.4 微分学的中值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.4.1 Rolle中值定理及其推论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.4.2 微分中值定理及其应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.4.3 Cauchy中值定理与L’Hospital法则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.5 函数的单调性理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.6 函数的凹凸性理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.7 Taylor展开 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.8 第4章习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.9 第4章问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5 单变量积分学 55 5.1 不定积分的基本理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.2 有理函数的不定积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.3 可有理化函数的原函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.3.1 Z R(cosx,sinx )dx形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.3.2 Z R(coshx,sinhx )dx形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.3.3 Chebych¨ev型积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.4 定积分的基本理论与计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.4.1 定积分的基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.4.2 定积分的计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61