18第二章初等积分法例【习题4】跟踪问题：设某A从Ory平面上的原点出发，沿轴正方向前进；同时某B从(0,b)开始跟踪A，即B的运动方向永远指向A并与A保持等距b>0。试求B的光滑运动轨迹。解：假设A的位置为(a,0)，B的位置为(r,y)，则此时(r-a)2+=62r-a=-V62-y2又满足dy=ydrr-a所以dy=-yda--V2-解得（见积分表71)b,b+Vb?-y2- V62 - y?1=2m-V-作业：2-2:1（4，5，6，7)，2（2,4)，3（3)，4
18 第二章 初等积分法 例【习题4】跟踪问题：设某A从Oxy平面上的原点出发，沿x轴正方向前进； 同时某B从(0, b)开始跟踪A，即B的运动方向永远指向A并与A保持等距b > 0。试 求B的光滑运动轨迹。 解：假设A的位置为(a, 0)，B的位置为(x, y)，则此时 (x − a) 2 + y 2 = b 2 , x − a = − √ b 2 − y 2, 又满足 dy dx = y x − a , 所以 dy dx = − y √ b 2 − y 2 . 解得(见积分表71) x = b 2 ln b + √ b 2 − y 2 b − √ b 2 − y 2 − √ b 2 − y 2. 作业：2-2：1（4，5，6，7），2（2，4），3（3），4
19$2.3一阶线性方程82.3一阶线性方程本节讨论一阶线性方程（一般形式）dy器+p(a)u=g(a) (2.28)其中函数p(),g(r)在区间I=(a,b)上连续。当g(a)=0时，方程（2.28）成为碧+p(r)u=0 (2.29)dr（2.28）称为非齐次线性方程，（2.29）称为齐次线性方程。先讨论齐次线性方程（2.29）的解法。这是一个变量分离的方程。9=0为特解。当y≠0时，（2.29）可改写为 + p(a)dx = 0y因此积分得p(r)dar = C,In [yl +y=Ce-Jp(a)dr, C0.特解对应上式中取C=0，因此（2.29）的通解为y=Ce-Jp(a)da =Celgp()dt (2.30)接下来求解非齐次线性方程（2.28）。可将它改写为dy +p(r)ydr = q(r)da. (2.31)即(p(r)y - q(r))da + dy = 0.这一般不是一个恰当方程，但我们可以尝试找一个乘法因子μ(r）使得μ(r)(p()y - q(r))dr +μ(r)dy = 0是恰当的，这当且仅当Py = μ(ar)p(a) = Qr= μr因此容易计算，可选取μ(r) = eJ p(r)da =eJr p(t)dt
§2.3 一阶线性方程 19 §2.3 一阶线性方程 本节讨论一阶线性方程（一般形式） dy dx + p(x)y = q(x) (2.28) 其中函数p(x), q(x)在区间I = (a, b)上连续。当q(x) ≡ 0时，方程（2.28）成为 dy dx + p(x)y = 0 (2.29) （2.28）称为非齐次线性方程，（2.29）称为齐次线性方程。 先讨论齐次线性方程（2.29）的解法。这是一个变量分离的方程。y = 0为特 解。当y ̸= 0时，（2.29）可改写为 dy y + p(x)dx = 0 因此积分得 ln |y| + ∫ p(x)dx = C, y = Ce− ∫ p(x)dx, C ̸= 0. 特解对应上式中取C = 0，因此（2.29）的通解为 y = Ce− ∫ p(x)dx = Ce ∫ x x0 p(t)dt . (2.30) 接下来求解非齐次线性方程（2.28）。可将它改写为 dy + p(x)ydx = q(x)dx. (2.31) 即 (p(x)y − q(x))dx + dy = 0. 这一般不是一个恰当方程，但我们可以尝试找一个乘法因子µ(x)使得 µ(x)(p(x)y − q(x))dx + µ(x)dy = 0 是恰当的，这当且仅当 Py = µ(x)p(x) = Qx = µx, 因此容易计算，可选取 µ(x) = e ∫ p(x)dx = e ∫ x x0 p(t)dt
20第二章初等积分法从而需要求(r,y)使得d = e/-g p(t)d (p(r)y - g(r)dar + elfg p(t)at dy由y=eop()可令(r,9) =elgp(t)aty +g(),因此g(a) = -elfo ()atg(),g(n)=- /elop(t)atg(s)ds所以有通积分eeg p(t)daty -" Jro p(t)dtg(s)ds = C,方程（2.31）的通解为y = e- Jro p(t)dt(s)eJo p(0)atds + C). (2.32)其中C是一个任意常数。或y=Ce-Jop(t)dtq(s)e-J,p(t)atds. (2.33)利用这种形式，容易得到初值问题+(m)=(),(o)= (2.34)da的解为y = yoe- Jo p(t)dtq(s)e-J' p(t)dtds (2.35)其中p(a),q(a)在区间I上连续。上述方法叫作积分因子法。这是因为我们有因子μ(a)=eJp(z)da乘以方程（2.31）之后，它就转化为一个全微分方程，从而获得它的积分。解的表达式们并不好记，通常我们先求出积分因子μ(a)=eJ p(t)d，化原方程为恰当方程再求解该恰当方程的通积分。即重复以上证明过程。求解线性微分方程（2.28）还有另一个重要方法一一常数变易法，见本节习题4。我们将在章节6.3就高阶线性微分方程的情形详细介绍这个方法。常数变易法：齐次线性方程的解为y=Ce-p(t)dt
20 第二章 初等积分法 从而需要求Φ(x, y)使得 dΦ = e ∫ x x0 p(t)dt(p(x)y − q(x))dx + e ∫ x x0 p(t)dtdy. 由Φy = e ∫ x x0 p(t)dt可令 Φ(x, y) = e ∫ x x0 p(t)dt y + g(x), 因此 g ′ (x) = −e ∫ x x0 p(t)dt q(x), g(x) = − ∫ x x0 e ∫ s x0 p(t)dt q(s)ds. 所以有通积分 e ∫ x x0 p(t)dt y − ∫ x x0 e ∫ s x0 p(t)dt q(s)ds = C, 方程（2.31）的通解为 y = e − ∫ x x0 p(t)dt( ∫ x x0 q(s)e ∫ s x0 p(t)dtds + C). (2.32) 其中C是一个任意常数。或 y = Ce− ∫ x x0 p(t)dt + ∫ x x0 q(s)e − ∫ x s p(t)dtds. (2.33) 利用这种形式，容易得到初值问题 dy dx + p(x)y = q(x), y(x0) = y0 (2.34) 的解为 y = y0e − ∫ x x0 p(t)dt + ∫ x x0 q(s)e − ∫ x s p(t)dtds (2.35) 其中p(x), q(x)在区间I上连续。 上述方法叫作积分因子法。这是因为我们有因子µ(x) = e ∫ p(x)dx乘以方程（2.31） 之后，它就转化为一个全微分方程，从而获得它的积分。解的表达式们并不好记， 通常我们先求出积分因子µ(x) = e ∫ x x0 p(t)dt，化原方程为恰当方程再求解该恰当方 程的通积分。即重复以上证明过程。 {求解线性微分方程（2.28）还有另一个重要方法――常数变易法，见本节习 题4。我们将在章节6.3就高阶线性微分方程的情形详细介绍这个方法。常数变易 法：齐次线性方程的解为 y = Ce− ∫ x x0 p(t)dt
$2.3一阶线性方程21假设（2.28）有如下形式的解y= C(r)e-J p(t)dt代入（2.28）得C(a) = g(r)eJg p()at因此( q(s)elfro p(t)at ds.)C(a) =C +F例1 (2)+ ytan = sin(2r)解：『tanrda=-lncos+C，可取积分因子1μ(α)=cosT因此dyy sin da = 2 sin adr,cOs2cOSryd--2dcos,-cOsTy+2cos=C,cosTy= Ccosr- 2cos2 r.【例】牛顿冷却法则：dT= -k(T- E(t),dt其中T(t)为物体t时刻的温度，E(t)为外部环境的温度，k>0为常数（与外部环境的散热性能有关)。解：T'(t) +kT(t) = kE(t)选取积分因子μ(t) = e p(t)dt = ekt,则得到恰当方程ektdT + kekt(T- E)dt = 0,即d(ektT)=kektE(t)dt
§2.3 一阶线性方程 21 假设（2.28）有如下形式的解 y = C(x)e − ∫ x x0 p(t)dt , 代入（2.28）得 C ′ (x) = q(x)e ∫ x x0 p(t)dt , 因此 C(x) = C + ∫ x x0 q(s)e ∫ s x0 p(t)dtds.} 例1（2）dy dx + y tan x = sin(2x) 解：∫ tan xdx = − ln | cos x| + C，可取积分因子 µ(x) = 1 cos x . 因此 dy cos x + y sin x cos2 x dx = 2 sin xdx, d( y cos x ) = −2d cos x, y cos x + 2 cos x = C, y = C cos x − 2 cos2 x. 【例】牛顿冷却法则： dT dt = −k(T − E(t)), 其中T(t)为物体t时刻的温度，E(t)为外部环境的温度，k > 0为常数（与外部环境 的散热性能有关）。 解： T ′ (t) + kT(t) = kE(t). 选取积分因子 µ(t) = e ∫ p(t)dt = e kt , 则得到恰当方程 e ktdT + kekt(T − E)dt = 0, 即 d(e ktT) = kektE(t)dt
22第二章初等积分法因此ektT=C+kE(s)eksdsT(t) =e-kt(C +E(s)eksds).性质1.齐次线性方程（2.29）的解或者恒等于零，或者恒不等于零。性质2.线性方程的解是整体存在的，即方程（2.28）或（2.29）的任一解都在p(r)和q(a）有定义且连续的整个区间I上存在。性质3.齐次线性方程（2.29）的任何解的线性组合仍是它的解；齐次线性方程（2.29）的任一解与非齐次线性方程（2.28）的任一解之和是非齐次线性方程（2.28）的解；非齐次线性方程（2.28）的任意两解之差必是相应齐次线性方程（2.29）的解。性质4.非齐次线性方程（2.28）的任一解与相应齐次线性方程（2.29）的通解之和构成非齐次线性方程（2.28）的通解。性质5.线性方程的初值问题（2.34）的解存在且唯一。【例3】RL串联电路：如图2-5所示，电感L,电阻R以及电源电压降E均为正的常数。求电键闭合后电路中的电流强度i=（t)。事实上，利用电学中的基尔霍夫定律，rdi+Ri=E.(2.41)dt有特解i=E/R。相应齐次线性方程的通解为Ce-垒t，其中C为任意常数。因此，利用性质4，（2.41）的通解为E+Ce-Rti=R由初始条件i（0)=0确定常数可得E(1 -i(t)=R作业：1（3，4），2（2，4），3，4，5，6（选做）
22 第二章 初等积分法 因此 e ktT = C + k ∫ t 0 E(s)e ksds, T(t) = e −kt(C + ∫ t 0 E(s)e ksds). 性质1. 齐次线性方程（2.29）的解或者恒等于零，或者恒不等于零。 性质2. 线性方程的解是整体存在的，即方程（2.28）或（2.29）的任一解都 在p(x)和q(x) 有定义且连续的整个区间I上存在。 性质3. 齐次线性方程（2.29）的任何解的线性组合仍是它的解；齐次线性方程 （2.29）的任一解与非齐次线性方程（2.28）的任一解之和是非齐次线性方程（2.28） 的解；非齐次线性方程（2.28）的任意两解之差必是相应齐次线性方程（2.29）的 解。 性质4. 非齐次线性方程（2.28）的任一解与相应齐次线性方程（2.29）的通解 之和构成非齐次线性方程（2.28）的通解。 性质5. 线性方程的初值问题（2.34）的解存在且唯一。 【例3】RL串联电路：如图2-5所示，电感L,电阻R以及电源电压降E均为正的常 数。求电键闭合后电路中的电流强度i = i(t)。 事实上，利用电学中的基尔霍夫定律， L di dt + Ri = E. (2.41) 有特解i = E/R。相应齐次线性方程的通解为Ce− R L t，其中C为任意常数。因此，利 用性质4，（2.41）的通解为 i = E R + Ce− R L t . 由初始条件i(0) = 0确定常数可得 i(t) = E R (1 − e − R L t ). 作业：1（3，4），2（2，4），3，4，5，6（选做）