82.1恰当方程13在R内成立。而且当（2.4）成立时，（2.1）的通积分为（同一个）P(r,y)dr+Q(ro,y)dy = C,，(2.5)P(r, yo)da +Q(r, y)dy = C,，(2.6)其中(ro,yo)是R中任意取定的一点。证明：必要性：设（2.1）为恰当方程，则存在Φ(,y)使得4 = P(r,9),=(Q(r,y).(2.7)yOr再求偏导可得824824apaQ(2.8)Jydrdroydyor由Py，Q的连续性假设可知混合偏导数和是连续的，从而=。因此，（2.4）成立。【事实上，0=dd=（-Py+Q)dr^dy】充分性：设P,Q满足（2.4)，我们需要构造可微函数Φ(a，y)使得（2.7）式成立。为了使（2.7）的第一式成立，我们取（下面任意固定一点(r0,yo)R）(r,y) =P(r, y)da+w(y), (2.9)其中(y)待定，以使满足（2.7）的第二式。因此由（2.9）可得[% P(r,v)d + W(0).Qy -Jro Qy利用假设条件（2.4）得到=a-Q(r,y)dr +w(y) = Q(r,y) -Q(ro,y) +w'(y)JroorJy=由此，为使（2.7)的第二式成立，只要令(g)=Q(r0,39)，即b(y) =Q(ro, y)dy即可。这样，就找到了满足（2.7）的一个函数P(r,y)dr+/(r,y) =Q(ro, y)dy. (2.10)
§2.1 恰当方程 13 在R内成立。而且当（2.4）成立时，（2.1）的通积分为（同一个） ∫ x x0 P(x, y)dx + ∫ y y0 Q(x0, y)dy = C, (2.5) ∫ x x0 P(x, y0)dx + ∫ y y0 Q(x, y)dy = C, (2.6) 其中(x0, y0)是R中任意取定的一点。 证明：必要性：设（2.1）为恰当方程，则存在Φ(x, y)使得 ∂Φ ∂x = P(x, y), ∂Φ ∂y = Q(x, y). (2.7) 再求偏导可得 ∂P ∂y = ∂ 2Φ ∂y∂x, ∂Q ∂x = ∂ 2Φ ∂x∂y . (2.8) 由Py, Qx的连续性假设可知混合偏导数 ∂ 2Φ ∂y∂x和 ∂ 2Φ ∂x∂y 是连续的，从而 ∂ 2Φ ∂y∂x = ∂ 2Φ ∂x∂y。因 此，（2.4）成立。 【事实上，0 = ddΦ = (−Py + Qx)dx ∧ dy】 充分性：设P, Q满足（2.4），我们需要构造可微函数Φ(x, y)使得（2.7）式成立。 为了使（2.7）的第一式成立，我们取（下面任意固定一点(x0, y0) ∈ R） Φ(x, y) = ∫ x x0 P(x, y)dx + ψ(y), (2.9) 其中ψ(y)待定，以使Φ满足（2.7）的第二式。因此由（2.9）可得 ∂Φ ∂y = ∫ x x0 ∂ ∂yP(x, y)dx + ψ ′ (y). 利用假设条件（2.4）得到 ∂Φ ∂y = ∫ x x0 ∂ ∂xQ(x, y)dx + ψ ′ (y) = Q(x, y) − Q(x0, y) + ψ ′ (y). 由此，为使（2.7）的第二式成立，只要令ψ ′ (y) = Q(x0, y)，即 ψ(y) = ∫ y y0 Q(x0, y)dy 即可。这样，就找到了满足（2.7）的一个函数 Φ(x, y) = ∫ x x0 P(x, y)dx + ∫ y y0 Q(x0, y)dy. (2.10)
14第二章初等积分法即P(a,y)da+Q(r,y)dy沿着折线路径：(ro,yo)→(ro,y)→(r,y)的积分。如果在构造Φ(a,y)时，先考虑使（2.7）的第二式成立，则得到满足（2.7）的另一函数(r,3) = / P(r, yo)dr + / Q(r,y)dy. (2.11)即P(a,y)da+Q(a,y)dy沿着折线路径：（ro,yo）→（r,yo）→a,y)的积分。其实也可以直接对（2.11）求偏导数得到（2.7）。因此，我们得到通积分（2.5）或者（2.6)。注意，Φ(,y)和(,y)的全微分相同，所以它们之间只差一个常数。再由(ro,yo)=(co,yo)=0可知(,y)=(,y)。【事实上R单连通，α恰当当且仅当它是闭合的，即d(Pdr+Qdy）=（-Py+Q)d^dy=0。而且当da=o时，给定(ro,yo),(ry)ER，设为从(zo,yo)到(a,y)的可微曲线，则积分J。Q不依赖于的选取。】口总结：给定微分方程Q(r,y)y + P(r,y) =0判断它是否为恰当方程即验证Py=Qa（即d(Pda+Qdy）=0）是否成立，若成立，然后可通过积分α来确定通积分Φ(c,y)。从而Φ(a,y）=C就是微分方程（2.1）的解。求解恰当方程的关键是构造相应全微分的原函数(,y)。这实际上就是场论中的位势问题。条件（2.4）等价于P(,y)da+Q(r,y)dy是一个闭合的1-形式，从而在单连通区域R上恰当，即P(r,y)da+Q(a,y)dy=d(a,y)。由Stokes定理，闭合1-形式P(r,y)da+Q(a,y)dy的曲线积分(r.9)d(r,y) =[P(r,y)dr +Q(r,y)dy] (2.14)J(ro.yo)与积分的路径无关。因此，（2.14)唯一确定了一个（单值）函数Φ(a,y)。如果区域不是单连通的，那么积分与路径有关。此时，一般的(，9y)是多值的。例如对于方程rdy - yda=0，?+022+y?条件（2.4）在非单连通环域Ro：a2+y>0上成立。由d(arctan ) = rdy - ydr22+y2T我们得到方程的解arctan " = C
14 第二章 初等积分法 即P(x, y)dx + Q(x, y)dy沿着折线路径γ : (x0, y0) → (x0, y) → (x, y)的积分。 如果在构造Φ(x, y)时，先考虑使（2.7）的第二式成立，则得到满足（2.7）的另 一函数 Φ( e x, y) = ∫ x x0 P(x, y0)dx + ∫ y y0 Q(x, y)dy. (2.11) 即P(x, y)dx + Q(x, y)dy沿着折线路径γ : (x0, y0) → (x, y0) → (x, y)的积分。其实也 可以直接对（2.11）求偏导数得到（2.7）。 因此，我们得到通积分（2.5）或者（2.6）。注意，Φ(x, y)和Φ( e x, y)的全微分相同， 所以它们之间只差一个常数。再由Φ(x0, y0) = Φ( e x0, y0) = 0可知Φ(x, y) ≡ Φ( e x, y)。 【事实上R单连通，α恰当当且仅当它是闭合的，即d(P dx + Qdy) = (−Py + Qx)dx ∧ dy = 0。而且当dα = 0时，给定(x0, y0),(x, y) ∈ R，设σ为从(x0, y0)到(x, y)的 可微曲线，则积分∫ σ α不依赖于σ的选取。】 ✷ 总结：给定微分方程 Q(x, y)y ′ + P(x, y) = 0 判断它是否为恰当方程即验证Py = Qx（即d(P dx + Qdy) = 0）是否成立，若成立， 然后可通过积分∫ α来确定通积分Φ(x, y)。从而Φ(x, y) = C就是微分方程（2.1）的 解。 求解恰当方程的关键是构造相应全微分的原函数Φ(x, y)。这实际上就是场论 中的位势问题。条件（2.4）等价于P(x, y)dx + Q(x, y)dy是一个闭合的1-形式，从而 在单连通区域R上恰当，即P(x, y)dx+Q(x, y)dy = dΦ(x, y)。由Stokes定理，闭合1-形 式P(x, y)dx + Q(x, y)dy的曲线积分 Φ(x, y) = ∫ (x,y) (x0,y0) [P(x, y)dx + Q(x, y)dy] (2.14) 与积分的路径无关。因此，（2.14）唯一确定了一个（单值）函数Φ(x, y)。 如果区域不是单连通的，那么积分与路径有关。此时，一般的Φ(x, y)是多值 的。例如对于方程 xdy − ydx x 2 + y 2 = 0, x2 + y 2 ̸= 0 条件（2.4）在非单连通环域R0 : x 2 + y 2 > 0上成立。由 d(arctan y x ) = xdy − ydx x 2 + y 2 , 我们得到方程的解 arctan y x = C
82.1恰当方程15这里d(a,y）=arctan在Ro上是一个多值函数【逆时针围绕原点每转一圈回来多了2元】。当然，原方程的解为y=ar及=0。【例5.】 (t?+1)cosudu+2t sinudt=0.解：Pt=2tcosu=Qu，求(u,t)使得Φu=(t2+1)cosu,Φt=2tsinu,由前者，d(u,t) = (t +1)sin u+ f(t),由后者，取f(t)=0，因此d(u,t) = (t2 + 1) sin u = C.【例6.】(ye+2e"+y)dr+(e+2ry)dy=0解：Py=er+2y=Qr。找(r,y)使得f=ye"+2er+y,y=e+2ry,由后者Φ = ye" +ry? + f(r),由前者f(a)=2e"，因此d(r, y) = yer + ry? + 2e = C.作业：7，9，10
§2.1 恰当方程 15 这里Φ(x, y) = arctan y x在R0上是一个多值函数【逆时针围绕原点每转一圈回来多 了2π】。当然，原方程的解为y = ax及x = 0。 【例5.】(t 2 + 1) cos udu + 2tsin udt = 0. 解：Pt = 2t cos u = Qu，求Φ(u, t)使得 Φu = (t 2 + 1) cos u, Φt = 2tsin u, 由前者， Φ(u, t) = (t 2 + 1) sin u + f(t), 由后者，取f(t) = 0，因此 Φ(u, t) = (t 2 + 1) sin u = C. 【例6.】(yex + 2e x + y 2 )dx + (e x + 2xy)dy = 0. 解：Py = e x + 2y = Qx。找Φ(x, y)使得 Φx = yex + 2e x + y 2 , Φy = e x + 2xy, 由后者 Φ = yex + xy2 + f(x), 由前者f(x) = 2e x，因此 Φ(x, y) = yex + xy2 + 2e x = C. 作业：7，9，10
16第二章初等积分法回顾：设(c,y)ER，RCR2为单连通区域。P(r,y)dr + Q(r,y)dy = 0为恰当方程（或全微分方程)，即存在d(a,y)使得dΦ=Pdr+Qdy时，d(r,)=C为通解。判断是否为恰当方程的等价条件：Py = Qr.通积分(z,y)(Pdr + Qdy) = C.t(r,y) =ro.yo)变量分离方程82.2如果微分方程P(r,y)dr + Q(r,y)dy = 0 (2.15)中P,Q均可表示成r的函数与y的函数的乘积，则称（2.15）为变量分离的方程。此时，记P(r,y) = X(r)Yi(y), Q(r,y) = Xi(r)Y(y),因此变量分离的方程可以写成如下的形式X(r)Yi(y)da + Xi(r)Y(y)dy = 0. (2.16)(2.16）未必为恰当方程。如果两边除以因子Xi(r)Yi()，则得到X(r)LY(y)dr +dy = 0.(2.19)Xi(a)"Yi(y)它是恰当方程（Py=Q=0），其通积分为X(r)[Ye) dy =C. (2.20)dr+Xi(r)Yi(y)注意，我们化为形式（2.19）求解，是先在直线集合(X1(r)Yi(g)=0)以外求解（2.16），需要补上如下形式的特解（如果它们不包含在通积分之内）：r=ai，a是Xi(a)=o的根；y=bi，b,是Yi(y)=0的根
16 第二章 初等积分法 回顾：设(x, y) ∈ R，R ⊂ R 2为单连通区域。 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 为恰当方程（或全微分方程），即存在Φ(x, y)使得dΦ = P dx +Qdy时，Φ(x, y) = C为 通解。 判断是否为恰当方程的等价条件： Py = Qx. 通积分 Φ(x, y) = ∫ (x,y) (x0,y0) (P dx + Qdy) = C. §2.2 变量分离方程 如果微分方程 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (2.15) 中P, Q均可表示成x的函数与y的函数的乘积，则称（2.15）为变量分离的方程。此 时，记 P(x, y) = X(x)Y1(y), Q(x, y) = X1(x)Y (y), 因此变量分离的方程可以写成如下的形式 X(x)Y1(y)dx + X1(x)Y (y)dy = 0. (2.16) （2.16）未必为恰当方程。如果两边除以因子X1(x)Y1(y)，则得到 X(x) X1(x) dx + Y (y) Y1(y) dy = 0. (2.19) 它是恰当方程（Py = Qx = 0），其通积分为 ∫ X(x) X1(x) dx + ∫ Y (y) Y1(y) dy = C. (2.20) 注意，我们化为形式（2.19）求解，是先在直线集合{X1(x)Y1(y) = 0}以外求解 （2.16），需要补上如下形式的特解（如果它们不包含在通积分之内）： x = ai，ai是X1(x) = 0的根；y = bj，bj是Y1(y) = 0的根
1782.2变量分离方程求解方法：先观察一阶微分方程是否可变形为变量分离的形式，然后积分：例(3)+ysinr=0解：当y≠0时，dy= sin rda即d(=) = d(- cos r)y因此通积分为=-cOs-C，即y(cos r + C) + 1 = 0.另有特解y=0。【例3】物体在空气中降落的速度问题（考虑空气阻力）。假设质量为m的物体在空气中下落，空气阻力与物体速度的平方成正比，阻尼系数为k>0。沿垂直水平地面向下的方向取定坐标轴，由牛顿第二运动定律推出微分方程mi=mg-ki?.这是一个二阶方程，但其中不显含未知函数，而且我们关心的速度。记=，则方程变为duk.w>0.(2.25)a=g-元0这是一个变量分离的方程。上式右端不为零时，du=dt,9-hu2积分可得通解mgCe2at+1(2.26)u=VkCe2at-1t≥0,其中a=Vkg/m，C为任意常数。当（2.25）右端为零时，有特解u=Vmg/k：=b。常数C可由初值条件(O）=Uo确定，-+- mg)k所以当vo<b时，C<-1，一直加速到b。当o>b时，C>1，一直减速到b
§2.2 变量分离方程 17 求解方法：先观察一阶微分方程是否可变形为变量分离的形式，然后积分： 例(3) dy dx + y 2 sin x = 0 解：当y ̸= 0时， − dy y 2 = sin xdx, 即 d( 1 y ) = d(− cos x) 因此通积分为1 y = − cos x − C，即 y(cos x + C) + 1 = 0. 另有特解y = 0。 【例3】物体在空气中降落的速度问题（考虑空气阻力）。 假设质量为m的物体在空气中下落，空气阻力与物体速度的平方成正比，阻 尼系数为k > 0。沿垂直水平地面向下的方向取定坐标轴x，由牛顿第二运动定律 推出微分方程 mx¨ = mg − kx˙ 2 . 这是一个二阶方程，但其中不显含未知函数x，而且我们关心的速度。记v = ˙x，则 方程变为 dv dt = g − k m v 2 , v > 0. (2.25) 这是一个变量分离的方程。上式右端不为零时， dv g − k m v 2 = dt, 积分可得通解 v = √ mg k Ce2at + 1 Ce2at − 1 , t ≥ 0, (2.26) 其中a = √ kg/m，C为任意常数。当（2.25）右端为零时，有特解v = √ mg/k := b。 常数C可由初值条件v(0) = v0确定， C = (v0 + √ mg k )(v0 − √ mg k ) −1 . 所以当v0 < b时，C < −1，一直加速到b。当v0 > b时，C > 1，一直减速到b