8第一章序言与基本概念包含n个独立常数Ci,C2，··，Cn，则称它为通解。这里所说的n个任意常数C1,，Cn是独立的，其含义是Jacobi行列式coc...%.. .D[P,',.. ,(n-1)￥0：D[C1, C2,-,Cn]:::ao(n-1)ao(n-1)o(n-1).aCnoC18C2这里Ci，…·，Cn是参数，给出了解空间的维数。如果微分方程（1.1）的解y=(r)不包含任意常数，则称它为特解。【附注】通解一般未必是方程所有的解，还有可能有奇解。这涉及到初值问题的解的唯一性问题。将在第四章讨论奇解、解的包络。n阶微分方程（1.1）的初值条件的一般提法是y(ro)= yo, y(ro) = yo, ., y(n-1)(ro) = yon-1), (1.10)其中yo,yo，yon-1)是未知函数及其相应导数所取定的初值。不失一般性，考虑微分方程（标准形式）初值问题[ y(n) = F(r,y,y',..,y(n-1),( g(ro)=9o, y(ro)=yo, ***, g(n-1)(zo)=yon-1) (1.11)我们关心函数F满足什么条件时，它的解是否存在，是否唯一？这是常微分方程理论中的一个基本问题。在第三章中将对n=1的情形证明如下结果：只要F是连续的，则初值问题（1.11）的解是（局部）存在的，而且将在某些附加条件下证明解的存在性和唯一性。在第五章我们再把这些结果进一步推广到n≥2的情形。除了初值条件，另外一种常见的定解条件（参看第五章的悬链线之例）g"=aV1+(y')2, y(r1)=y1,y(r2)=y2在第九章中将介绍边值问题（Sturm-Liouville边值问题）。n阶微分方程通解定义中关于n个任意常数的独立性：n个独立常数C1，，Cn的取值使得n阶微分方程解的初值(a,C1,Cn)..，on-1)(a,Ci，，Cn)具有（局部）映满的性质：即邻近(y(k-1)(ro,C）=(k-1)(ro,CQ）=,k=1,.,n)的初值(ak）（以及相应的解）都可以选(Cα)使得(k-1)(co,Ca）=ak。（这是因为从参数C到初值A=(k-1)(ro,C)的切映射在Co处是满秩的。）我们可以从隐映射定理的角度来证明
8 第一章 序言与基本概念 包含n个独立常数C1, C2, · · · , Cn，则称它为通解。这里所说的n个任意常数C1, · · · , Cn是 独立的，其含义是Jacobi行列式 D[φ, φ′ , · · · , φ(n−1)] D[C1, C2, · · · , Cn] := ∂φ ∂C1 ∂φ ∂C2 · · · ∂φ ∂Cn ∂φ′ ∂C1 ∂φ′ ∂C2 · · · ∂φ′ ∂Cn . . . . . . . . . . . . ∂φ(n−1) ∂C1 ∂φ(n−1) ∂C2 · · · ∂φ(n−1) ∂Cn ̸= 0 这里C1, · · · , Cn是参数，给出了解空间的维数。如果微分方程（1.1）的解y = φ(x)不包含任意常数，则称它为特解。 【附注】通解一般未必是方程所有的解，还有可能有奇解。这涉及到初值问题 的解的唯一性问题。将在第四章讨论奇解、解的包络。 n阶微分方程（1.1）的初值条件的一般提法是 y(x0) = y0, y′ (x0) = y ′ 0 , · · · , y(n−1)(x0) = y (n−1) 0 , (1.10) 其中y0, y′ 0 , · · · , y (n−1) 0 是未知函数及其相应导数所取定的初值。 不失一般性，考虑微分方程（标准形式）初值问题 { y (n) = F(x, y, y′ , · · · , y(n−1)), y(x0) = y0, y′ (x0) = y ′ 0 , · · · , y(n−1)(x0) = y (n−1) 0 (1.11) 我们关心函数F满足什么条件时，它的解是否存在，是否唯一？这是常微分方程理 论中的一个基本问题。在第三章中将对n = 1的情形证明如下结果：只要F是连续 的，则初值问题（1.11）的解是（局部）存在的，而且将在某些附加条件下证明解 的存在性和唯一性。在第五章我们再把这些结果进一步推广到n ≥ 2的情形。 除了初值条件，另外一种常见的定解条件（参看第五章的悬链线之例） y ′′ = a √ 1 + (y ′) 2, y(x1) = y1, y(x2) = y2. 在第九章中将介绍边值问题（Sturm-Liouville边值问题）。 n阶微分方程通解定义中关于n个任意常数的独立性：n个独立常数C1, · · · , Cn的 取值使得n阶微分方程解的初值φ(x, C1, · · · , Cn), · · · , φ(n−1)(x, C1, · · · , Cn)具有（局 部）映满的性质：即邻近(y (k−1)(x0, C0 α) = φ (k−1)(x0, C0 α) = a 0 k , k = 1, · · · , n)的初 值(a k )（以及相应的解）都可以选(Cα)使得φ (k−1)(x0, Cα) = ak。（这是因为从参 数C到初值A = φ (k−1)(x0, C)的切映射在C0处是满秩的。）我们可以从隐映射定理 的角度来证明
$1.1微分方程及其解的定义9Theorem1.1.3.隐映射定理【数学分析教程上册定理9.7.1]：设开集DCRm+n(A,C),F：D→Rn,这里A=(ai,...,am)ERm,C=(ci,..,cn)F=(Fa(A,C1,，Cp，··,Cn)）满足如下条件：(a) FECI(D);(b)有一点(A°,CO)ED，使得F(A,CO)=0;DIF..F(A,CO)+0.(c) 行列式det JcF(A0,C0) = DRm)那么存在(A°,CO)的一个邻域G×H，使得对每个AEG，方程F(A,C)=0有唯一的解，记为C=f(A)：并且CO=f(A°)，fECI(G)。现在设y=(r,C1，*·，Cn)是方程（1.1）的通解，则利用初值条件（1.10）可以在局部上选取其中的任意常数C1，..，Cn的具体取值得到初值问题（1.1）+（1.10）的解。注意到Jacobi行列式非零，考虑Fi(a1,...,an,C1,...,Cn) :=p(k-1)(ao,C) -ak= 0, k = 1,..,n其中co固定。给定CO=（CQ)以及A°=(a%)满足上述初始条件之后，由隐映射定理，(α)邻近的A都有唯一解C=f(A)。由此从初值A唯一确定了参数C。作业：2（求解），3（求方程），4（求方程的一般证明）
§1.1 微分方程及其解的定义 9 Theorem 1.1.3. 隐映射定理【数学分析教程上册定理9.7.1】：设开集D ⊂ R m+n (A, C), F : D → R n，这里A = (a1, · · · , am) ∈ R m, C = (c1, · · · , cn) F = (Fα(A, c1, · · · , cβ, · · · , cn)) 满足如下条件： （a）F ∈ C 1 (D); （b）有一点(A0 , C0 ) ∈ D，使得F(A0 , C0 ) = 0; （c）行列式det JCF(A0 , C0 ) = D[F1,··· ,Fn] D[c1,··· ,cn] (A0 , C0 ) ̸= 0。 那么存在(A0 , C0 )的一个邻域G × H，使得对每个A ∈ G，方程F(A, C) = 0有唯 一的解，记为C = f(A)；并且C 0 = f(A0 )，f ∈ C 1 (G)。 现在设y = φ(x, C1, · · · , Cn)是方程（1.1）的通解，则利用初值条件（1.10）可以 在局部上选取其中的任意常数C1, · · · , Cn的具体取值得到初值问题（1.1）+（1.10） 的解。注意到Jacobi行列式非零，考虑 Fk(a1, · · · , an, C1, · · · , Cn) := φ (k−1)(x0, C) − ak = 0, k = 1, · · · , n 其中x0固定。给定C 0 = (C 0 α)以及A0 = (a 0 k )满足上述初始条件之后，由隐映射定 理，(a 0 k )邻近的A都有唯一解C = f(A)。由此从初值A唯一确定了参数C。 作业：2（求解），3（求方程），4（求方程的一般证明）
10第一章序言与基本概念回顾：通解中n个任意常数的独立性：设y=(r,Ci,.,Cn)是方程（1.1）F(r,y,y',.,y(n)=0(1.1)的通解，取定oEJ以及参数CO=（C.·，C)，则得到一个特解，它满足的初值条件为(ro) =al :=p(ro,C0), y(ro)=a :=p(ro,Co),...,g(n-1)(ro) =an :=(n-1)(ro,Co)(1.10)独立性使得我们可以利用隐映射定理，从而根据A°=（ai，，a%)某邻域内的A=(ai,,an)来选取任意常数C=(Ci,,Cn)的取值使得初值A被取到，即ak=(k-1)(ro,C)。因此，有特解满足初值为A。事实上，考虑Fi(a1,..,an, Ci,.,Cn) := p(k1)(ro,C) - ak = 0, k= ,.,n其中o固定。给定Co以及A°满足上述初始条件之后，由隐映射定理，Ao邻近的A都有唯一解C=f(A)。由此从初值A唯一确定了参数C
10 第一章 序言与基本概念 回顾：通解中n个任意常数的独立性：设y = φ(x, C1, · · · , Cn)是方程（1.1） F(x, y, y′ , · · · , y(n) ) = 0 (1.1) 的通解，取定x0 ∈ J以及参数C 0 = (C 0 1 , · · · , C0 n )，则得到一个特解，它满足的初值 条件为 y(x0) = a 0 1 := φ(x0, C0 ), y′ (x0) = a 0 2 := φ ′ (x0, C0 ), · · · , y(n−1)(x0) = a 0 n := φ (n−1)(x0, C0). (1.10) 独立性使得我们可以利用隐映射定理，从而根据A0 = (a 0 1 , · · · , a0 n )某邻域内的A = (a1, · · · , an)来选取任意常数C = (C1, · · · , Cn)的取值使得初值A被取到，即ak = φ (k−1)(x0, C)。 因此，有特解满足初值为A。 事实上，考虑 Fk(a1, · · · , an, C1, · · · , Cn) := φ (k−1)(x0, C) − ak = 0, k = 1, · · · , n 其中x0固定。给定C 0以及A0满足上述初始条件之后，由隐映射定理，A0邻近的A都 有唯一解C = f(A)。由此从初值A唯一确定了参数C
第二章初等积分法82.1恰当方程考虑对称形式的一阶微分方程αa:=P(r,y)da+Q(,y)dy=0.(2.1)即一阶拟线性微分方程P(r,y) +Q(r,y)y =0. (2.1')（2.1）其实是一阶方程的一个标准形式，很一般了，例如包含一阶线性方程。通常我们是不会具体求解的。我们写成形式（2.1）来考虑它的原因是因为它是一阶方程很几何的一个形式。我们把自变量和因变量所在的空间联合在一起：（c,y)ER2，求解（2.1）也可看作是求ry平面上（一族）曲线cCR2，记（其中任一条）曲线c的切空间为[RT)，使得0(T)=0。此时称为的积分曲线（族）。通常积分曲线由(a,y)=C给出(从y=g(r,C)解出C=(a,y))。如下，我们形式地说明曲线=y=p(r))为一条积分曲线当且仅当y三(a)是（2.1'）的解。注意到有切向量T=2+(r)y，因此为积分曲线当且仅当P+Q(r)=0即y=p(r)满足（2.1')。【高阶常微分方程的标准形式y(n)=f(a,y,y,,y(n-1)也可以表示成求n个1-形式的积分曲线：令yk=y(k-1),k=1,2,.，n，则对应的n个1-形式为dyi = y2,,dyn-1 =Ynde,dyn = f(r,y1,**, Yn)da.1阶常微分方程组的标准形式yk=fi(t,1,·,9n),k=1,2,,n的求解也可以表达成求n个1-形式的积分曲线：dyk = fk(r,y1,...,yn)dr,k =1,2,...,n.S.Lie与E.Cartan有一般理论通过微分形式来研究微分方程。所以求解（2.1）可转化为求α的积分曲线。虽然容易看到积分曲线经过一个点时有切向(-Q,P)，但是一般不能够解出。能求解的一个情形：如果存在一个可11
第二章 初等积分法 §2.1 恰当方程 考虑对称形式的一阶微分方程 α := P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0. (2.1) 即一阶拟线性微分方程 P(x, y) + Q(x, y)y ′ = 0. (2.1 ′ ) （2.1’）其实是一阶方程的一个标准形式，很一般了，例如包含一阶线性方程。通 常我们是不会具体求解的。我们写成形式（2.1）来考虑它的原因是因为它是一阶 方程很几何的一个形式。 我们把自变量和因变量所在的空间联合在一起：(x, y) ∈ R 2，求解（2.1）也可看 作是求xy平面上（一族）曲线γC ⊂ R 2，记（其中任一条）曲线γC的切空间为{RT}， 使得θ(T) = 0。此时称γC为θ的积分曲线（族）。通常积分曲线γC由Φ(x, y) = C给出 （从y = g(x, C)解出C = Φ(x, y)）。 如下，我们形式地说明曲线γ := {y = φ(x)}为一条积分曲线当且仅当y = φ(x)是（2.1’）的解。注意到γ有切向量T = ∂x + φ ′ (x)∂y，因此γ为积分曲线当且 仅当 P + Qφ′ (x) = 0, 即y = φ(x)满足（2.1’）。 【高阶常微分方程的标准形式y (n) = f(x, y, y′ , · · · , y(n−1))也可以表示成求n个1- 形式的积分曲线：令yk = y (k−1), k = 1, 2, · · · , n，则对应的n个1-形式为 dy1 = y2, · · · , dyn−1 = yndx, dyn = f(x, y1, · · · , yn)dx. 1阶常微分方程组的标准形式y ′ k = fk(x, y1, · · · , yn), k = 1, 2, · · · , n的求解也可以表 达成求n个1-形式的积分曲线： dyk = fk(x, y1, · · · , yn)dx, k = 1, 2, · · · , n. S. Lie与E. Cartan有一般理论通过微分形式来研究微分方程。】 所以求解（2.1’）可转化为求α的积分曲线。虽然容易看到积分曲线经过一个 点时有切向(−Q, P)，但是一般不能够解出。能求解的一个情形：如果存在一个可 11
12第二章初等积分法微函数d(a,y)使得它的全微分d(r,y) = P(r,y)da +Q(a,y)dy即=P(r,y),Q(r,y),(2.2)dr-dy时，由Φ(a,y)=C定义的曲线为α=o的积分曲线。事实上，曲线(r,y)=C有切向量T=-Φ0r+Φ0y，从而α(T)=0。定义：如果存在一个可微函数Φ(r,y)使得它的全微分dΦ=α=Pd+Qdy，则称（2.1）为恰当方程或全微分方程，称(z,9）=C为（2.1）的一个通积分（通解）。Proposition2.1.1.设(r,y)满足（2.2)，则由d(r,y) =C(2.3)确定的隐函数y=y(r)（或=ar(y)）为方程（2.1)的解。证明：仅考虑y作为自变量r的函数的情形。由d(r,y(c))=C对r求导可得P(r,y)+Q(r,y)y =0口一般情况下，我们需要解决的问题是：（1）如何判断一个给定的微分方程是或者不是恰当方程？（2）当它是恰当方程时，如何求出通积分？（3）当它不是恰当方程时，能否将它的求解问题转化为一个与之相关的恰当方程的求解问题？下面的定理对问题1和2给出了完满的解答。至于问题3，则是贯穿本章随后各节的一个中心问题（2.2-2.4节就若干特殊类型的方程给出针对性的解答，2.5节给出一个较为一般但不完整的解答）。Theorem2.1.2.设函数P(r,y)和Q(r,y)在区域R:Q<<β,<y<s上连续，且有连续的一阶偏导数Py，Qr。则微分方程（2.1）是恰当方程当且仅当Py= Q(2.4)
12 第二章 初等积分法 微函数Φ(x, y)使得它的全微分 dΦ(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy, 即 ∂Φ ∂x = P(x, y), ∂Φ ∂y = Q(x, y), (2.2) 时，由Φ(x, y) = C定义的曲线为α = 0的积分曲线。事实上，曲线Φ(x, y) = C有切向 量T = −Φy∂x + Φx∂y，从而α(T) = 0。 定义：如果存在一个可微函数Φ(x, y)使得它的全微分dΦ = α = P dx + Qdy，则 称（2.1）为恰当方程或全微分方程，称Φ(x, y) = C为（2.1）的一个通积分（通解）。 Proposition 2.1.1. 设Φ(x, y)满足（2.2），则由 Φ(x, y) = C (2.3) 确定的隐函数y = y(x)（或x = x(y)）为方程（2.1）的解。 证明：仅考虑y作为自变量x的函数的情形。由Φ(x, y(x)) = C对x求导可得 P(x, y) + Q(x, y)y ′ = 0. ✷ 一般情况下，我们需要解决的问题是： （1）如何判断一个给定的微分方程是或者不是恰当方程？ （2）当它是恰当方程时，如何求出通积分？ （3）当它不是恰当方程时，能否将它的求解问题转化为一个与之相关的恰当 方程的求解问题？ 下面的定理对问题1和2给出了完满的解答。至于问题3，则是贯穿本章随后各 节的一个中心问题（2.2-2.4节就若干特殊类型的方程给出针对性的解答，2.5节给 出一个较为一般但不完整的解答）。 Theorem 2.1.2. 设函数P(x, y)和Q(x, y)在区域 R : α < x < β, γ < y < δ 上连续，且有连续的一阶偏导数Py, Qx。则微分方程（2.1）是恰当方程当且仅当 Py = Qx (2.4)