四、收敛的必要条件 级数收敛的必要条件: 当n无限增大时,它的一般项u趋于零,即 级数收敛→ limu=0 n→0 证明∵s=∑ u -S n-19 H=1 liman=lims,-lims=s-s=0 n1→0 n→0
四、收敛的必要条件 级数收敛 lim = 0. → n n u 证明 = = n 1 un s , n = n − n−1 则 u s s 1 lim lim lim − → → → = − n n n n n n u s s = s − s = 0. 当n无限增大时,它的一般项un趋于零,即 级数收敛的必要条件:
注意 1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散; 例如 123 +(-1) +1 +…发散 2.必要条件不充分 例如调和级数1+++…+ 有imun=0,但级数是否收敛? n→0
注意 1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散; + + − + − + − − 1 ( 1) 4 3 3 2 2 1 1 n n n 例如 发散 2.必要条件不充分. 有lim = 0, 但级数是否收敛? → n n u + + ++ + n 1 3 1 2 1 例如调和级数 1
讨论 2n ∴十 n n+1n+2 2n2n2 假设调和级数收敛,其和为s 于是lim(S2n-Sn)=S-S=0, n→ 便有0≥1(m→∞)这是不可能的 2 级数发散
讨论 n n n s s n n 2 1 2 1 1 1 2 + + + + + − = , 2 1 2 = n n 假设调和级数收敛, 其和为s. lim( ) 2n n n s − s → 于是 = s − s = 0, 级数发散 . ( ) 2 1 便有 0 n → 这是不可能的
2项 2项 4项 8项 (1+)+(+)+(+十+)+(++…+) 23 5678 910 十 2m+12m+2 2 27 每项均大于 2 即前m+1项大于(m+1) 2 级数发散 由性质4推论,调和级数发散
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ) 2 1 2 2 1 2 1 1 ( ) 16 1 10 1 9 1 ) ( 8 1 7 1 6 1 5 1 ) ( 4 1 3 1 ) ( 2 1 (1 m m m 1 2项 2项 4项 8项 2 m 项 2 1 每项均大于 2 1 即前m + 1项大于(m + 1) 级数发散 . 由性质4推论,调和级数发散
五、小结 常数项级数的基本概念 基本审敛法 1.由定义,若sn>S,则级数收敛 2.当 lim u≠0,则级数发散; 3.按基本性质
五、小结 1.由定义,若s s n → ,则级数收敛; 2.当lim 0 → n n u ,则级数发散; 3.按基本性质. 常数项级数的基本概念 基本审敛法