例5求级数∑ 5 +的和 n(n+1)2 nsI(n(ntx 解∑ 5 ∑ 5 1)2")6n(n+ 1) +∑ H-=1 n(n+ naI(nn+1 8n 5 5(1 kllk k+1 n十
例 5 求级数 = + 1 + 2 1 ( 1) 5 n n n n 的和. 解 = + 1 + 2 1 ( 1) 5 n n n n = + = 1 ( 1) 5 n n n = + 1 2 1 n n = = + = − 1 + 1 1 1 1 5 ( 1) 5 n n n n n n = + = − n k n k k g 1 1 1 1 令 5 ), 1 1 5(1 + = − n
n=slim(1 )=5, n→0 n→ n+1 ∑,是等比级数,公比q=,<首项是 ∑ =limb 2 = 2 n→00 2 故∑ 5 5+1=6 n(m(n+1)2
) 5, 1 1 lim 5lim(1 = + = − → → n g n n n , 2 1 1 是等比级数 n= n 公比 首项是 ， 2 1 1, 2 1 q = n n n n h → = = lim 2 1 1 5 1 6. 2 1 ( 1) 5 1 = + = + + n= n n n 故 1, 2 1 1 2 1 = − =
性质3若级数∑收敛则∑n也收敛 k+1 (k≥1).且其逆亦真 证明 L1+ k+1 L,+ k+2 k+n 十 = k+1 L n k+2 ∴十 k+n n+k k 9 则 limo=lims n+k lim SK=s n→c n→ n→ k 类似地可以证明在级数前面加上有限项不 影响级数的敛散性
性质 3 若级数 n=1 un 收敛,则 n=k+1 un 也收敛 (k 1).且其逆亦真. 证明 uk+1 + uk+2 ++ uk+n + n = uk+1 + uk+2 ++ uk+n , n k k = s − s + k n n k n n n s s → + → → 则lim = lim − lim . k = s − s 类似地可以证明在级数前面加上有限项不 影响级数的敛散性
性质4收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和 证明(u1+u2)+(l3+u4+l5)+ 29 59 99 n n-y007S ns S
性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和. 证明 (u1 + u2 ) + (u3 + u4 + u5 ) + , 1 2 = s lim lim s s. n n m m = = → → 则 , 2 5 = s , 3 9 = s , , m n = s
注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛 例如(1-1)+(1-1)+…收敛 1-1+1-1+∴ 发散 推论如果加括弧后所成的级数发散,则原来级 数也发散
注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 例如 (1−1) + (1−1) + 1− 1+ 1− 1+ 推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来级 数也发散. 收敛 发散