4例1证明以A(4,1,9,B(10,1,6),C(2,4,3)为顶点的三角 形为等腰三角形。 证 d,=lAB +22+32=7 AC|=√2+32+6=7 即:d1=d2,所以该三角形为等腰三角形
例1 证明以A (4,1,9), B (10,-1,6), C (2,4,3)为顶点的三角 形为等腰三角形。 证 2 2 2 1 ∵ d A = B = + 6 2 +3 = 7 2 2 2 2 ∵ d A = C = + 2 3 +6 = 7 即：d1=d2, 所以该三角形为等腰三角形
例2求到点A(1,2,1),B(2,-1,3)等距离的轨迹。 解设动点坐标为Mx,y,z),则由条件得: d-=MA4=(x-02+(2+( (-2)+(y+1)+(=-3), d=a2=(x-2+(y-=2)+(-)2=(x-2)+(y+2+(-3y 即:-2x+1-4y+4-2z+1=4x+4+2y+1-62+9, x-3y+2z= 以后可以看到,该轨迹为一平面
例2 求到点A (1,2,1)，B (2,-1,3)等距离的轨迹。 解 设动点坐标为M(x, y, z)，则由条件得： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 , 2 1 3 , 1 2 1 2 1 3 d MA x y z d MA x y z d d x y z x y z = = − + − + − = = − + + + − = ⇒ − + − + − = − + + + − 即： − + 2 1 x y −4 +4−2z+1=−4x+4+2y+1−6z+9, x y − 3 2 + =z 4. 以后可以看到，该轨迹为一平面
向量与向量的表示 1向量及几何表示 定义既有大小又有方向的量称为向量 e一般用a,b,…等来表示一个向量。 定义如果两个向量d和b的大小相同, 方向相同,就称d和b相等,记为
向量与向量的表示 1.向量及几何表示 定义 既有大小又有方向的量称为向量。 一般用 a b, , 等来表示一个向量。 G G " a G b G a G 定义 如果两个向量 和 的大小相同， 方向相同，就称 a 和 相等，记为 G b G a b = . G G
由此可以看到:决定一个向量的要素是向量的大小和 向量的方向。所以在这里讨论的向量都是自由向量:即 可以放在空间的任何位置,只要不改变向量的大小和它 的方向 向量的夹角:设向量a和b,将它们的起点重合,由 此得到的夹角定义为向量的夹角。记为 =(a2,b)(0≤6≤x) 由此可以看到,若两向量有相同的方向,/6 则夹角为0;方向相反,则夹角为π
由此可以看到：决定一个向量的要素是向量的大小和 向量的方向。所以在这里讨论的向量都是自由向量：即 可以放在空间的任何位置，只要不改变向量的大小和它 的方向。 向量的夹角：设向量 和 ，将它们的起点重合，由 此得到的夹角定义为向量的夹角。记为 a G b G θ θ = ≤ ( , a b n ) ( 0 θ π ≤ ). G G 由此可以看到，若两向量有相同的方向， 则夹角为 0；方向相反，则夹角为 π
2向量的坐标表示 在三维空间中,设向量a=MM,起点M6=(x0, 终点M=(x,x),xx0,yym,z分别称为a=MM在x轴,y 轴,z轴上的投影,记为 M X-x av=y-yo M
2.向量的坐标表示 在三维空间中，设向量 ，起点M0=(x0 ,y0 ,z0 ), 终点M=(x,y,z)，x-x0 , y-y0, z-z0分别称为 在x轴, y 轴, z轴上的投影，记为 0 a M= M JJJJJJG G 0 a M= M JJJJJJG G 0 0 0 x y z a x x a y y a z z = − = − = − y z x o M0 a M y0 y