第二章有界线性算子与线性泛函 本章首先讨论线性算子的有界性和有界线性算子的空间,然后叙述关于线性算子和线性 泛函的若干基本定理,它们是共鸣定理、开映射定理、闭图像定理以及Hahn- Bana ch延拓 定理(包括分析形式和几何形式).这些定理在整个泛函分析理论中有着基本的重要作用 本章还将介绍这些定理在 Fourie分析、积分方程、微分方程适定问题以及逼近论和近似计 算等方面的应用 第9讲空间B(X,Y与X 教学目的 掌握有界线性算子的基本性质和算子空间B,Y)的性质 授课要点 1、线性算子有界的等价条件。 2、算子空间B,Y的范数与基本性质。 3、求算子范数的某些常见方法 我们已经在第一章引入了线性算子与线性泛函的概念,同时也介绍了算子的连续性概念 现在让我们给出连续线性算子与连续线性泛函的一种形式上不同的定义,在基本空间是度量 空间的情况下,它们在实质上是等价的 定义1设X,Y是线性赋范空间,T:→Y是线性算子.T称为是有界的,若对于X 中的任一有界集A,T(A)是Y中的有界集 注意应该把这一定义中的有界算子的概念与数学分析中有界函数的概念加以区别,后者 是指在整个定义域中所取的值为有界的函数.同时要把线性算子与初等数学中所定义的线 性函数加以区别,后者是指形如∫(x)=ax+b的所有函数.但只有在b=0的情况,它才是我 们定义的线性算子 定理1设X,Y是线性赋范空间,T:X→Y是线性算子,则下列诸条件等价: (1)T在某一点x连续 (2)T在X上连续 (3)T是有界算子 (4)T在X的某一点的有界邻域内有界.特别地,T在X的单位球中有界
第二章 有界线性算子与线性泛函 本章首先讨论线性算子的有界性和有界线性算子的空间，然后叙述关于线性算子和线性 泛函的若干基本定理，它们是共鸣定理、开映射定理、闭图像定理以及 Hahn--Banach 延拓 定理(包括分析形式和几何形式). 这些定理在整个泛函分析理论中有着基本的重要作用. 本章还将介绍这些定理在 Fourie 分析、积分方程、微分方程适定问题以及逼近论和近似计 算等方面的应用. 第 9 讲 空间 B(X,Y)与 X* 教学目的： 掌握有界线性算子的基本性质和算子空间 B(X,Y)的性质。 授课要点： 1、 线性算子有界的等价条件。 2、 算子空间 B(X,Y)的范数与基本性质。 3、 求算子范数的某些常见方法。 我们已经在第一章引入了线性算子与线性泛函的概念，同时也介绍了算子的连续性概念. 现在让我们给出连续线性算子与连续线性泛函的一种形式上不同的定义，在基本空间是度量 空间的情况下，它们在实质上是等价的. 定义 1 设 X，Y 是线性赋范空间，T：X→Y 是线性算子. T 称为是有界的，若对于 X 中的任一有界集 A，T(A)是 Y 中的有界集. 注意应该把这一定义中的有界算子的概念与数学分析中有界函数的概念加以区别，后者 是指在整个定义域中所取的值为有界的函数. 同时要把线性算子与初等数学中所定义的线 性函数加以区别，后者是指形如 f (x) = ax + b的所有函数. 但只有在 b=0 的情况，它才是我 们定义的线性算子. 定理 1 设 X，Y 是线性赋范空间，T：X→Y 是线性算子，则下列诸条件等价： (1) T 在某一点 0 x 连续. (2) T 在 X 上连续. (3) T 是有界算子. (4) T 在 X 的某一点的有界邻域内有界. 特别地，T 在 X 的单位球中有界
存在c>0使得 卩≤cr 若T=∫是X上的线性泛函并且∫≠0,则以上诸条件还等价于 (6)∫的0空间N(O)={x∈X;f(x)=0}是X中的闭集 (7)N(不在X中稠密 证明(1)→(2)若T在x。连续,即Vxn 且y→y,令x=y,-y+x,则x→,“七时Tx→x0若y∈x是任一点并 Tx =T( T是线性的,故Ty (2)→(3)若T不是有界的,则存在有界集AcX,7(4在Y中不是有界的.即 使得|xn|≥n.不妨设|x|sM,取 则lyn|≤M/ y→0.而阿,|=x,/Vn>Vn→∞.T在0点不是连续的,与(2)矛盾 (3)→(4)显然 (4)→(5)不妨设T在S(x,n)=(x∈x,|x-x}中有界,其中x∈X,r>0.注 s(0,1)+x0=S(xa,r) 由T的线性,T在S(x0,r)上的有界性必导致它在S(x,r)-x0上的有界性,从而导致在S(O,1) 上的有界性为证(5),假定在S(0,1)上,x≤c,则wx∈x,x≠0,x|∈S(O,1),从而 此式对于任何vx∈X成立 (5)→(1)由(5)中式子不难知道,xn→0时Txn→0,T在0点连续 现在设∫为X上的线性泛函并且∫≠0 (2)→(6)若∫在X上连续,由于{0}是Φ中的闭集,由第4讲定理3,N()= f-({0})是X中的闭集 (6)→(7)若N(在X中稠密,由(6)知N()=N()=X.与∫≠0矛盾 (7)→(3)由(7),x0∈X,r>0使得Ox,r)∩N()=.若∫不是有界泛函,由 (3)与(4)等价性的证明知道,∫在任一点的有界邻域上都不是有界的.特别地∫不在O(0,r) 上有界.我们证明此时f(O(0,n))=Φ,后者是整个标量域.实际上,va∈φ,存在 x∈O(0,n)∈OO,使得(x)>,取x a x f(r) 则<|<r,x∈O(0,r).另一方面 f(x)=a
(5) 存在 c＞0 使得 Tx ≤ c x , ∀x∈ X. （1） 若T = f 是 X 上的线性泛函并且 f ≠ 0 , 则以上诸条件还等价于： (6) f 的 0 空间 N( f ) = {x∈ X; f (x) = 0} 是 X 中的闭集. (7) ) N( f 不在 X 中稠密. 证明 (1)⇒ (2) 若 T 在 0 x 连续，即∀ 0 x x n → 时Txn →Tx0 . 若 y ∈ X 是任一点并 且 y y n → ，令 0 x y y x n = n − + ，则 0 x x n → . 从而 0 0 Tx T( y y x ) Tx n = n − + → ， T 是线性的，故 Ty Ty n → . (2) ⇒ (3) 若 T 不是有界的，则存在有界集 A ⊂ X, T(A) 在 Y 中不是有界的. 即 ∀n, , ∃xn ∈ A 使得 Tx n n ≥ . 不妨设 xn ≤ M ，取 y x / n, n = n 则 y ≤ M / n → 0, n 即 yn → 0 . 而 Ty n = Txn / . n > n → ∞ T 在 0 点不是连续的，与(2)矛盾. (3)⇒ (4) 显然. (4)⇒ (5) 不妨设 T 在 ( , ) 0 S x r =｛ x∈ X x − x ≤ r 0 ; ｝中有界，其中 , 0. x0 ∈ X r > 注 意 ) (0,1) ( , 0 0 rS + x = S x r （2） 由 T 的线性，T 在 ( , ) 0 S x r 上的有界性必导致它在 0 0 S(x , r) − x 上的有界性，从而导致在 S(0,1) 上的有界性. 为证(5)，假定在 S(0,1) 上， Tx ≤ c ，则∀x∈ X, x ≠ 0, x / x ∈ S(0,1), 从而 ( ) c, T(x) c x , x x T ≤ ≤ 此式对于任何∀ ∈x X 成立. (5)⇒ (1) 由(5)中式子不难知道， → 0 n x 时 → 0 Txn ，T 在 0 点连续. 现在设 f 为 X 上的线性泛函并且 f ≠0. (2)⇒ (6) 若 f 在 X 上连续， 由于｛0｝是Φ中的闭集，由第 4 讲定理 3， N( f ) ＝ ({0}) −1 f 是 X 中的闭集. (6)⇒ (7) 若 N( f ) 在 X 中稠密，由(6)知 N( f ) ＝ N( . f ) = X 与 f ≠0 矛盾. (7)⇒ (3) 由(7)， 0 ∃∈ > x Xr, 0使得 0 Ox r N f ( ,) () ∩ = ∅ . 若 f 不是有界泛函，由 (3)与(4)等价性的证明知道， f 在任一点的有界邻域上都不是有界的. 特别地 f 不在O(0,r) 上有界. 我们证明此时 f ( O(0,r) ）＝Φ，后者是整个标量域. 实际上， ∀α ∈Φ, 存在 x'∈O(0, r) ∈O(0,r), 使得 f (x') > α ，取 ( ') ' f x x x α = ，则 x < x' < r, x∈O(0,r) . 另一方面 f (x) =α
现在对于-f(x0)∈①,∈O(0,r)使得f(y)=-f(x),即f(x0+y)=0,从而 x+y∈N().但显然x+y∈O(x0,r),所以O(xa,r)∩N(f)≠②,与所设矛盾 在线性代数、数学分析和微分方程中我们接触过许多有界线性算子的例子,下面举出 些常见的 例1设X=①",Y=①.在第4讲我们已提到,每个m×n阶矩阵A=(a)定义了一 个线性映射T:φ”→φ".反之,对于每个线性算子T:φ”→Φ",各取",⑦m的一组基 1,……, ∑a,1,1≤ 则得到m×n阶矩阵A=(a) 于是,从"到④m的线性算子可以与m×n阶矩阵对应起来 特别地,取m=1便得到Φ"上的线性泛函,它的一般形式是 f(x)=a1x1+…+anxn,Vx=(x1,…,xn)∈q 其中a1…,an是某一组标量 命题有限维线性赋范空间上的每个线性算子都是有界的 证明先设=φ”,X上的范数是欧氏范数,e1,…,en是X的一组基底,则对于任何 X y =∑x4ek Te4是Y中确定的元,T完全由Te4确定.由范数的三角不等式与 Minkowski不等式, 由定理1(5),T是有界的.由第一章第6讲知道,X上的任一范数都等价于欧氏范数,故结 论对于X上的任一范数成立。 例2(第二型 Fredholm积分算子)设(g,∑,p)是测度空间,K(s,)是在 (2×92,∑x,μ×)上可测的二元函数,满足 L'=JIK(s, Dl du(s)du(0)<o 定义T:L2()→L(),其中Tx=y时
现在对于 , ( ) − f x0 ∈Φ ) ∃y ∈O(0,r 使得 ( ) ( ) 0 f y = − f x ，即 , ( ) 0 f x0 + y = 从而 ( ) 0 x + y ∈ N f . 但显然 ( , ) 0 0 x + y ∈O x r ，所以O(x0 ,r) ∩ N( f ) ≠ ∅ ，与所设矛盾. 在线性代数、数学分析和微分方程中我们接触过许多有界线性算子的例子，下面举出一 些常见的. 例1 设 , . n m X =Φ Y =Φ 在第 4 讲我们已提到，每个 m×n 阶矩阵 ( ) A = ai j 定义了一 个线性映射 T： n m Φ →Φ . 反之，对于每个线性算子 T： , n m Φ →Φ 各取 n m Φ ,Φ 的一组基 底 n m e1 , ⋅ ⋅ ⋅, e ; µ1 , ⋅ ⋅ ⋅, µ ； 令 Te i n j m j i = ∑ i j ≤ ≤ = , 1 1 α µ 则得到 m×n 阶矩阵 ( ) A = ai j . 于是，从 n Φ 到 m Φ 的线性算子可以与 m×n 阶矩阵对应起来. 特别地，取 m=1 便得到 n Φ 上的线性泛函，它的一般形式是 n n n n f (x) =α1 x1 +" + α x , ∀x = (x1 ,", x )∈Φ （3） 其中α α n , , 1 " 是某一组标量. 命 题 有限维线性赋范空间上的每个线性算子都是有界的. 证 明 先设 X= n Φ ，X 上的范数是欧氏范数， n e , , e 1 " 是 X 的一组基底，则对于任何 x ∈X, , 1 ∑= = n k k k x x e , 1 k m k Tx ∑ xkTe = = Tek 是 Y 中确定的元，T 完全由Tek 确定. 由范数的三角不等式与 Minkowski 不等式， ( ) ( ) ( ) , 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 Tx x Te Te x Te x n k k n k k n k k k n k ∑ k ∑ ∑ ∑ = = = = ≤ ≤ = 由定理 1(5)，T 是有界的. 由第一章第 6 讲知道，X 上的任一范数都等价于欧氏范数，故结 论对于 X 上的任一范数成立。. 例 2 (第二型 Fredholm 积分算子) 设 (Ω, Σ, µ)是测度空间， K(s,t) 是在 (Ω×Ω, Σ×Σ，µ×µ)上可测的二元函数，满足 ( , ) ( ) ( ) . 2 2 = ∫∫ < ∞ × L K s t dµ s dµ t Ω Ω 定义 : ( ) ( ), 2 2 T L µ → L µ 其中Tx = y 时
y(s)=|K(s,)x()d() 则T是有界线性算子 这里,首先TX∈(),事实上由 Holder不等式 ly(s du(s)=K(s, t)x(Odu(o) du(s) ≤()d(s)duoj|xs)ds 故y∈L2()其次,容易验证T是线性的.最后,T是连续的,因为(5)表明 2=|y2≤L|(2,V 例3设算子T:"→l满足当Tx=y,x=(xn),y=(yn)时 yn=∑ ankle,n 这里(am)是无穷矩阵,满足c=∑∑|am<,则T是有界的 直接计算表明 A-p1∑ax△ub= 线性是容易验证的,由定理1,T有界 算子的有界性不仅与算子自身的构造有关,而且与空间有关,这一点应引起足够重视 例4(1)先设C[O,是在[O,1中一阶导数连续的函数全体,其中的范数是 Ilo=max(maxl(), maxI()B 考虑微分算子D:C[0,1→CI0,1, D)=X(1),vt∈[0,1 由于 D是有界线性算子 (2)仍考虑如(1)的函数全体,但以|=max()作为其中的范数,记此空间为 C[O,1.同样对于微分算子D,取元素序列xn()=t",则
( ) ( , ) ( ) ( ). ∫ = Ω y s K s t x t dµ t （4） 则 T 是有界线性算子. 这里，首先 2 Tx L ∈ ( ) µ ，事实上由 Holder 不等式 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) 2 2 y s dµ s K s t x t dµ t dµ s Ω Ω Ω ∫ ∫ ∫ = ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 K s t dµ s dµ t x s dµ s Ω Ω Ω ∫∫ ∫ × ≤ , 2 2 2 = L x （5） 故 ( ). 2 y ∈ L µ 其次，容易验证 T 是线性的. 最后，T 是连续的，因为（5）表明 , ( ) 2 2 2 2 Tx = y ≤ L x ∀x ∈ L µ ． 例 3 设算子 1 T :l → l ∞ 满足当 , ( ), ( ) n n Tx = y x = x y = y 时 , 1. 1 = ∑ ≥ ∞ = y x n k n α nk k 这里( ) α nk 是无穷矩阵，满足 1 1 , nk n k c α ∞ ∞ = = = <∞ ∑∑ 则 T 是有界的. 直接计算表明 ∞ ∞ = ≥ ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = Tx = ∑ y = ∑ ∑ x ≤ ∑∑ x = c x n k k k nk n n nk k n n 1 1 1 1 1 1 1 α ( α )(sup ) ． （6） 线性是容易验证的，由定理 1，T 有界. 算子的有界性不仅与算子自身的构造有关，而且与空间有关，这一点应引起足够重视. 例4 (1) 先设 [0,1] (1) C 是在 ] [0,1 中一阶导数连续的函数全体，其中的范数是 max{max ( ), max '( )}. 0 1 0 1 (1) x x t x t ≤t≤ ≤t≤ = 考虑微分算子 : [0,1] (1) D C →C[0,1] ， ] Dx(t) = X '(t), ∀t ∈[0,1 （7） 由于 Dx = (1) 0 1 max x'(t) x t ≤ ≤ ≤ , ∀x ∈ [0,1] (1) C D 是有界线性算子. (2) 仍考虑如（1）的函数全体，但以 max ( ) 0 1 x x t ≤t≤ = 作为其中的范数，记此空间为 [0,1] ~ C ．同样对于微分算子 D，取元素序列 ( ) , n n x t = t 则
=.|Dxl=maxr“|=n.n21 所以D:C[O,1→C0,n不是有界线性算子 我们称T:X→Y是0算子,若Vx∈X,Tx=0.称T:X→X是单位算子(恒等算子), 若Wx∈X,Tx=x.前者记为0,后者记为L 在理论和实际应用中,有时仅考虑单个的有界算子是不够的,还要考虑有界算子族. 设X,Y为线性赋范空间,记B(X,Y)是从X到y中的有界线性算子全体,像定义函数空间的 线性运算那样定义B(X,Y)中的加法和数乘,容易知道B(X,Y是线性空间.当X=y时,记 B(X,Y)为B(X 特别地,X上的连续线性泛函的全体记为*,称*是X的共轭空间 定理2对于每个T∈B(x1,令‖=Sup|7x,则·‖是B(x,n上的范数 证明 1°易知‖T"20.若=0,则vx∈X|sL.x=0.此时x∈Xx,x≠0T(m)=0 从而Tx=0.于是T=0 2°实际计算知道 JaT=sup aTx=asup x=al 若T1,T2∈B(X,Y),则 IT+T2=sup(T,+T2)x<sup(T-r+T2*b 故‖·‖是B(X,Y)上的范数 定理3若T∈BX,Y,则Vδ>0, sup x 证明实际上 冒- =suplEx s supers.sup ≤sup 1/,x=0 思考题 若T∈B(X,Y,则|7=sup‖
1, max , 1 1 0 1 = = = ≥ − ≤ ≤ x Dx nt n n n t n n 所以 D : [0,1] ~(1) C →C [0,1] 不是有界线性算子. 我们称T : X → Y 是 0 算子，若∀x∈ X , Tx = 0. 称T : X → X 是单位算子（恒等算子）， 若 ∀x∈ X, Tx = x. 前者记为 0， 后者记为 I.． 在理论和实际应用中，有时仅考虑单个的有界算子是不够的，还要考虑有界算子族. 设 X，Y 为线性赋范空间，记 B(X,Y)是从 X 到 Y 中的有界线性算子全体，像定义函数空间的 线性运算那样定义 B(X,Y)中的加法和数乘，容易知道 B(X，Y) 是线性空间. 当 X=Y 时，记 B(X,Y)为 B (X). 特别地，X 上的连续线性泛函的全体记为 X*，称 X*是 X 的共轭空间． 定理 2 对于每个 T∈B(X,Y), 令 1 sup x Tx Tx ≤ = ，则‖ ‖· 是 B(X,Y)上的范数. 证 明 1° 易知‖T‖ ≥0. 若 T = 0 ，则 ∀x∈ X , x ≤1, Tx = 0. 此时 ∀ ∈ , ≠ 0, ( ) = 0. x x x X x T 从而 Tx = 0 ．于是T = 0 ． 2° 实际计算知道 1 1 sup sup . x x α αα α T Tx Tx T ≤ ≤ == = 3° 若 , ( , ) T1 T2 ∈ B X Y ，则 sup sup , sup ( ) sup( ) 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 T x T x T T T T T T x T x T x x x x x ≤ + ≤ + + = + ≤ + ≤ ≤ ≤ ≤ 故‖·‖是 B(X，Y)上的范数. 定理 3 若 T∈B(X,Y), 则 ∀δ > 0, 0 1 sup sup . x x Tx T Tx ≠ = x = = (8) 证 明 实际上 sup sup ( ) sup sup sup sup . 0 0 1 1 1, 0 0 x Tx x Tx Tx Tx x x T x Tx x≠ x≠ x = x ≤ x ≤ x≠ x≠ = = ≤ ≤ ≤ 思考题 1、 若 T∈B(X,Y), 则 1 sup . x T Tx < =