微分方程数值解 计算科学系杨韧
微分方程数值解 计算科学系 杨韧
838椭圆型差分方程的迭代法 迭代法的基本理论 1、迭代公式 线性方程组Ax=b (3.45) 其中A是N阶非奇异矩阵,x,b均为N维列向量。 将方程组改写为x=Ox+C 的迭代公式x+)=Gx()+cn=01…(3.47) P椭圆型差分方程的送代送
椭圆型差分方程的迭代法 §3.8 椭圆型差分方程的迭代法 一、迭代法的基本理论 1、迭代公式 线性方程组 （3.45） 其中A是N阶非奇异矩阵，x，b均为N维列向量。 将方程组改写为 的迭代公式 （3.47） x = Gx+c x (n+1) = Gx(n) + c n = 0,1, Ax = b
2、迭代的收敛性判断 定理34解方程组(345)的迭代格式(347) 对任意右端c及任意初始向量X(0)收敛的充分必 要条件为 p(G)=mx4|<1 推论1迭代格式(347)收敛的充分条件为 G‖<1 P椭圆型差分方程的送代送
椭圆型差分方程的迭代法 2、迭代的收敛性判断 定理3.4 解方程组（3.45）的迭代格式（3.47） 对任意右端 c 及任意初始向量 X（0） 收敛的充分必 要条件为 推论1 迭代格式（3.47）收敛的充分条件为 ( ) = max i 1 i G G 1
3、收敛速度 迭代公式 (n+1) Gxn)+c n=o1 准确解满足x*=Gx+C 记解的误差向量am)二y(m)二y* xn=0,1,… (n+ 误差向量满足 Ge n=01 e()一初始误差向量 P椭圆型差分方程的送代送
椭圆型差分方程的迭代法 3、收敛速度 迭代公式 准确解满足 记解的误差向量 误差向量满足 x (n+1) = Gx(n) + c n = 0,1, x = Gx + c e (n) = x (n) − x n = 0,1, = = + (0) —初始误差向量 ( 1) ( ) 0,1, e e Ge n n n
设迭代矩阵G有N个线性无关的特征向量v;分别 对应于特征值λi且 ≥入 由c=2 得c"=Ge=∑cG=∑c入 e)=Ge=∑cGn=2c2n P椭圆型差分方程的送代送
椭圆型差分方程的迭代法 设迭代矩阵G 有 N 个线性无关的特征向量 vi，分别 对应于特征值λi，且 由 得 1 2 N = = N i i i e c v 1 (0) = = = = = N i i i i N i i i e G e c G v c v 1 1 (1) (0) = = = = = N i i i i N i i i i e G e c G v c v 1 2 1 (2) (1)