第7讲紧性与有限维空间可分性 教学目的:掌握单位球的紧性与空间维数的关系,以及可分的概念 授课要点: 有限维空间的同构性 2、有限维空间单位球的紧性特征 3、可分性与可分空间。 现在让我们转到有限维空间的特殊性质.在上一讲推论3中已经知道,对于有限维空间 来说,判别紧集的条件十分简单.实际上我们将会看到,这种情况是有限维空间所独有的.这 里我们先给出一个同构性定理,在第4讲中我们曾定义了两个空间同构的概念 定理1设X,Y是线性赋范空间,T:X→Y是到上的线性映射,则T是X到Y上的 同构当且仅当存在正数a,b使得 ax|‖Tx|bx‖,vx∈X (1) 若X与Y同构,当一个是完备空间时,另一个也是 证明充分性.若对于任意的x∈X所说的不等式成立,则当x1=Tx2时, ax1-x2|‖T(x1-x2)‖=0, 从而x1=x2,T是一一的.若xn,x∈X,xn→x,则 ‖Txn-Tx|b‖xn-x|→0,Txn→Tx, T是连续的.若yn,y∈Y,yn→y,不妨设y=Ixn,y=Tx,则 dr-yn-Tya‖xn-x|‖Tx-7x|=yn-y>0, 于是T-yn→Ty,T连续.总之X,Y同构 必要性.设T是从X到Y上的同构映射,若不存在b>0使得‖xbxl(x∈X),此 时对于任意的n,有xn∈X,‖Txn|川xn‖,令
第 7 讲 紧性与有限维空间 可分性 教学目的：掌握单位球的紧性与空间维数的关系，以及可分的概念。 授课要点： 1、 有限维空间的同构性。 2、 有限维空间单位球的紧性特征。 3、 可分性与可分空间。 现在让我们转到有限维空间的特殊性质．在上一讲推论 3 中已经知道，对于有限维空间 来说，判别紧集的条件十分简单．实际上我们将会看到，这种情况是有限维空间所独有的．这 里我们先给出一个同构性定理，在第 4 讲中我们曾定义了两个空间同构的概念． 定理 1 设 X ，Y 是线性赋范空间，T : X →Y 是到上的线性映射，则T 是 X 到Y 上的 同构当且仅当存在正数 a ，b 使得 a || x ||≤||Tx ||≤ b || x || ，∀x ∈ X ． （1） 若 X 与Y 同构，当一个是完备空间时，另一个也是． 证 明 充分性．若对于任意的 x∈ X 所说的不等式成立，则当Tx1 = Tx2 时， a || x1 − x2 ||≤||T(x1 − x2 )||= 0 ， 从而 1 2 x = x ，T 是一一的．若 xn , x∈ X ， x x n → ，则 ||Txn −Tx ||≤ b || xn − x ||→ 0，Tx Tx n → ， T 是连续的．若 n y ， y ∈Y ， y y n → ，不妨设 n Txn y = ， y = Tx ，则 || || || || || || || || 0 a T −1 yn −T −1 y = a xn − x ≤ Txn −Tx = yn − y → ， 于是T y T y n −1 → −1 ， −1 T 连续．总之 X ，Y 同构． 必要性．设T 是从 X 到Y 上的同构映射，若不存在b > 0 使得||Tx ||≤ b || x || (∀x∈ X ) ，此 时对于任意的 n ，有 xn ∈ X ，|| || || || n n Tx > n x ，令
x=一,则|=→0, 从而x→0.但 Till lTx,‖ 这说明T不是连续的.矛盾即证明存在b>0,‖Ixbx‖,x∈X.同样地,由连续, 存在a>0,‖Tyy,vy∈Y,令y=Tx即得ax|1x 最后的结论是明显的. 线性空间X上的两个范数‖,·称为是彼此等价的,若存在a,b>0使得 asx‖2≤bxll, vx∈X (2) 由上面定理及其证明可以得出以下推论 推论1线性空间X上的两个范数‖,‖"l2是彼此等价的,若对于任何xn∈X, lxn1→0当且仅当‖xn‖2→0 定理2设X是线性赋范空间,Y是X的线性子空间,dimY=n,Φ"是n维欧氏空 间.若F:"→Y是到上的(或一一的)线性映射,则F是到Y上的同构并且Y是X的 闭子空间 证明令e4=(0…0,10…0) (e)=y4,则 ①∑ae)=∑ay 由于F为一一映射,F(x)=0时必有x=0,于是a4=0,k=1…,n,这说明y…,y线性 无关,所以F是到上的.(另一方面,若F不是一一的,则y…,y线性相关,dmF(")<n F不是到上的.)由 F∑ae)∑ay水y)∑|aF)2, 假设b=C∑‖y‖)2,则va=(a1,…,an)∈φ”,‖F(a)|b‖l‖·所以F是连续的 考虑函数
|| || n n n n x x x′ = ，则 0 1 || ′ ||= → n xn ， 从而 ′ → 0 n x ．但 ′ = > n → ∞ n x Tx Tx n n n || || || || || || ， 这说明T 不是连续的．矛盾即证明存在b > 0 ，||Tx ||≤ b || x ||，∀x∈ X ．同样地，由 −1 T 连续， 存在 a > 0 ， || || 1 || || 1 y a T y ≤ − ，∀y∈Y ，令 y = Tx 即得 a || x ||≤||Tx || ． 最后的结论是明显的． 线性空间 X 上的两个范数 1 || ⋅|| ， 2 || ⋅|| 称为是彼此等价的，若存在 a,b > 0使得 1 2 1 a || x || ≤|| x || ≤ b || x || ， ∀x∈ X （2） 由上面定理及其证明可以得出以下推论． 推论 1 线性空间 X 上的两个范数 1 || ⋅|| ， 2 || ⋅|| 是彼此等价的，若对于任何 xn ∈ X ， || || 0 xn 1→ 当且仅当|| || 0 xn 2→ ． 定理 2 设 X 是线性赋范空间，Y 是 X 的线性子空间， dimY = n ， n Φ 是 n 维欧氏空 间．若 F Y :Φn → 是到上的（或一一的）线性映射，则 F 是 n Φ 到Y 上的同构并且Y 是 X 的 闭子空间． 证 明 令 n k k e = (0 ," ,0 ,1,0,",0)∈Φ ， k = 1,", n ， k k F(e ) = y ，则 ∑ ∑ = = = n k k k n k k k F e y 1 1 ( α ) α ． 由于 F 为一一映射， F(x) = 0时必有 x = 0 ，于是 = 0 α k ， k = 1,", n ，这说明 n y , , y 1 " 线性 无关，所以 F 是到上的．（另一方面，若 F 不是一一的，则 n y , , y 1 " 线性相关， F n n dim (Φ ) < ， F 不是到上的．）由 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 || (∑ )|| ∑| | || || (∑|| || ) (∑| | ) = = = = ≤ ≤ n k k n k k n k k k n k k k F α e α y y α ， 假设 2 1 2 1 (∑|| || ) = = n k k b y ，则 n ∀α = (α1 ,",α n )∈Φ ，|| F(α) ||≤ b ||α ||．所以 F 是连续的． 考虑函数
f(a1,…,an)圳FC∑a2e),va=(a1…,an)∈ 则∫是n元连续函数.E={a,∑|a4F=1是”中的有界闭集从而是紧集,由上一讲定理4 (3),∫可以达到上,下确界.不妨设 B=f(a9,…,a)=inf{f(a1…an);(ax1…,an)∈E} 因为y,…,y线性无关,仅当a1=…=an=0时f(ax1…,an)=0,但(a9…,a)位于E上 故B>0 现在对于每个非0的(a1…,an)∈",令 a4= 则(a1,…,an)∈E,从而‖FC∑ale)B或者 FC∑a4e川‖≥B(∑la4)2, B‖a‖≤‖F(a),va∈ 由定理1,F是从φ"到Y上的同构映射.由于Φ"完备,故Y完备.作为X的子空间,Y 是闭子空间.证毕 设X,Y为线性赋范空间,dimX=dimY=n,则存在到上的一一映射T:”→X和 F:Φ"→Y,使得(1-4-9)成立.由此我们得到 推论2 (1)同维数的有限维线性赋范空间彼此同构 (2)有限维线性空间上的任意两个范数等价 (3)任何有限维线性赋范空间完备.线性赋范空间的任何有限维线性子空间是闭的 最后,让我们证明有限维空间的一个特征 引理( Riesz)设X是线性赋范空间,EcX是闭线性子空间,若E≠X,则 v(0<E<1),存在x∈X,‖x|=1使得d(x2E)=infd(x0,x)>E
( , , ) || ( ) || 1 1 ∑= = n k n k k f α " α F α e ， n ∀α = (α1 ,",α n )∈Φ 则 f 是 n 元连续函数． { ; | | 1} 1 2 = ∑ = = n k E α α k 是 n Φ 中的有界闭集从而是紧集，由上一讲定理 4 （3）， f 可以达到上，下确界．不妨设 ( , , ) inf{ ( , , );( , , ) } 1 1 0 0 β = f α1 " α n = f α " α n α " α n ∈ E ． 因为 n y , , y 1 " 线性无关，仅当 0 α1 =" = α n = 时 ( , , ) 0 f α1 " α n = ，但( , , ) 0 0 α1 " α n 位于 E 上， 故 β > 0． 现在对于每个非 0 的 n (α1,",α n ) ∈Φ ，令 2 1 2 1 (∑| | ) = ′ = n k k k k α α α ， 则(α1 ′,",α n ′)∈ E ，从而 ∑α′ ≥ β = || ( ) || 1 n k k k F e 或者 2 1 1 2 1 || (∑ ) || (∑| | ) = = ≥ n k k n k k k F α e β α ， 即 β ||α || ≤ || F(α) || ， n ∀α ∈Φ ． 由定理 1，F 是从 n Φ 到Y 上的同构映射．由于 n Φ 完备，故Y 完备．作为 X 的子空间，Y 是闭子空间．证毕． 设 X ，Y 为线性赋范空间， dim X = dimY = n ，则存在到上的一一映射T X :Φn → 和 F Y :Φn → ，使得（1-4-9）成立．由此我们得到 推论 2 （1）同维数的有限维线性赋范空间彼此同构． （2）有限维线性空间上的任意两个范数等价． （3） 任何有限维线性赋范空间完备．线性赋范空间的任何有限维线性子空间是闭的． 最后，让我们证明有限维空间的一个特征． 引理（Riesz） 设 X 是线性赋范空间， E ⊂ X 是闭线性子空间，若 E ≠ X ，则 ∀ε (0 < ε < 1) ，存在 x0 ∈ X ，|| || 1 x0 = 使得 = > ε ∈ ( , ) inf ( , ) 0 0 d x E d x x x E ．
证明取x∈X\E,E闭,故d(x,E)=d>0.因为d/E>d,取x∈E,使得 x-x'|<d/E.令 x Ro 则‖x0|=1.对于任意的x∈E,E为子空间,故x+-x'lx∈E,此时 x-x' xo ‖ lx-x'‖l F-x'-li-x'l x >d/d/)=s 即d(x0,E)>E 定理3设X是线性赋范空间,则以下条件等价 (1)dim x oo (2)X中每个有界闭集是紧集 (3)X的闭单位球Sx={x∈X川‖x|1}是紧集 (4)单位球面Sn(x)={x,x|=1}是紧集 证明只须证明(4)→(1).若反设dmX=∞,取x1∈X,目x|1,记y1=span{x} 则dim1=1.由定理7,y是闭线性子空间,H≠X.由 Riesz引理,存在x2∈X,‖x2|1 d(x2,)1,记2=pan(x1x2},则dmy2=2,H2闭并且2≠X·从而有x,‖x1|1, d(x,2)>,…由此得到序列{xn},x∈S(),当m≠n时,‖xm-xn|,{xn}没有 收敛子序列.故S(X)不是紧集.矛盾说明dmX<∞ 最后让我们介绍集合的可分性概念.当一个集合为可分集时,研究起来较为方便 定义设X是度量空间,AcX.称集合A是可分的,若存在可数集BcX使得 BA.当X本身可分时,称X是可分空间 命题紧集、相对紧集和完全有界集都是可分的. 证明只需要证明完全有界集的情况.取6↓0,设x“)…x是A的有限6网,令 B={x;k≥l1i≤n1},则B是可数集并且vx∈A,有x∈O(x“),1),故x“)→x,于是
证 明 取 x X \ E ~ ∈ ， E 闭，故 , ) 0 ~ d(x E = d > ．因为 d / ε > d ，取 x′∈ E ，使得 || / ε ~|| x − x′ < d ．令 || ~|| ~ 0 x x x x x − ′ − ′ = 则|| || 1 x0 = ．对于任意的 x ∈ E ， E 为子空间，故 x′+ x − x′ || x ∈ E ~|| ，此时 x x x x x x x − − ′ − ′ − = || ~|| ~ || || 0 x x x x x x x || ~|| ~ || ~|| 1 − ′− − ′ − ′ = > = d d /( / ) . ε ε 即 ( , ) > ε d x0 E ． 定理 3 设 X 是线性赋范空间，则以下条件等价： （1）dim X < ∞ ． （2） X 中每个有界闭集是紧集． （3） X 的闭单位球 S = {x ∈ X;|| x ||≤ 1} X 是紧集． （4）单位球面 S (X ) = {x;|| x ||= 1} p 是紧集． 证 明 只须证明（4）⇒（1）．若反设dim X = ∞ ，取 x1 ∈ X ，|| || 1 x1 = ，记 span{ } 1 1 Y = x ， 则dim 1 Y1 = ．由定理 7，Y1 是闭线性子空间，Y1 ≠ X ．由 Riesz 引理，存在 x2 ∈ X ，|| || 1 x2 = ， 2 1 ( , ) d x2 Y1 > ．记 span{ , } 2 1 2 Y = x x ，则dim 2 Y2 = ，Y2 闭并且Y2 ≠ X ．从而有 3 x ，|| || 1 x3 = ‖， 2 1 ( , ) d x3 Y2 > ，…．由此得到序列{ }n x ， x S (X ) n ∈ p ，当 m ≠ n 时， 2 1 || xm − xn ||> ．{ }n x 没有 收敛子序列．故 S (X ) p 不是紧集．矛盾说明dim X < ∞ ． 最后让我们介绍集合的可分性概念．当一个集合为可分集时，研究起来较为方便． 定义 设 X 是度量空间， A ⊂ X ．称集合 A 是可分的，若存在可数集 B ⊂ X 使得 B ⊃ A ．当 X 本身可分时，称 X 是可分空间． 命 题 紧集、相对紧集和完全有界集都是可分的． 证 明 只需要证明完全有界集的情况．取ε k ↓ 0 ，设 ( ) ( ) 1 , , k n k k x " x 是 A 的有限 k ε 网，令 { ; 1,1 } ( ) k k B = xi k ≥ ≤ i ≤ n ，则 B 是可数集并且 ∀x∈ A ，有 ( , ) ( ) k k i x∈O x ε ，故 x x k i ( ) → ，于是
B→A. 例1co,c,P(1≤p<∞),P[a,b],C[a,b,L"[a,b(1≤p<∞)都是可分空间 考虑集合B={(…,n0…)∈Q,n≥1},即B是由至多有限多个坐标不为0并且每个 坐标都是有理数的元素构成易知B是可数集对于任意的x=(x)∈c和E>0,由于xn→0 先取n使得|xnkE,Wn>m0·再取有理数n;…,使得maxx-kE.记y=(,…,,0,…) 则y∈B并且‖x-y|=max|x,-y| max max|x-rmax|xl}<E.这说明B在co中是稠密 的,故c0可分 对于c,记e=(1…),B′=BU{reo;r∈Q}·若x=(x)∈c,不妨设xn→a.先取m使 得|xn-akE,n>n,再取有理数F,,…,使得|r-akE,maxx-rkE,令 y’=(…,,r,…),此时y∈B并且 lx-y'ls max(max x-r l, max Ix-a+r-ak 2a C 对于P,由于x=(xn)∈"时,∑|x,P<∞,先取n使得∑|xnP<E",再取有理数 ,…,使得∑x-P<E”,仍记y=(…、10),注意此时y∈P并且整个BcP,此 外 lx-yBs∑x1-P+∑xP<2",或‖x-yl<y2a 由此知道是可分的 对于其余的空间,容易知道有理系数多项式的全体依照Pab]的范数是其中的可数稠密 子集,所以Pa,b可分 根据 Weierstrass定理,C[a,b]中的每个元(连续函数)可用多项式一致逼近,实际上即 是依照C[a,b]中的范数逼近.所以Pa,b]在Ca,b]中稠密.另一方面容易验证,当A在B中 稠密,B在C中稠密时,A一定在C中稠密.于是有理系数多项式的全体在C[a,b中稠密, C[a,b]是可分的 最后根据 Lysin定理,Cla,b]在L[a,b]中稠密,于是L[a,b是可分的
B ⊃ A． 例 1 0 c ，c ， p l (1≤ p < ∞)， P[a,b]，C[a,b] ， L [a,b] p (1≤ p < ∞)都是可分空间． 考虑集合 {( , , ,0, ); , 1} B = r1 " rn " ri ∈Q n ≥ ，即 B 是由至多有限多个坐标不为 0 并且每个 坐标都是有理数的元素构成．易知 B 是可数集．对于任意的 0 x (x ) c = n ∈ 和ε > 0 ，由于 → 0 n x ， 先取 0 n 使得| |< ε n x ， 0 ∀n > n ．再取有理数 0 , , 1 n r " r 使得 − < ε ≤ ≤ max | | 1 0 i i i n x r ．记 ( , , ,0, ) y = r1 " rn0 " ， 则 y ∈ B 并且 − = − ≤ − < ε ≥ ≤ ≤ > || || max | | max{max | |,max | |} 1 1 0 0 i i n i i i n i i i x y x y x r x ．这说明 B 在 0 c 中是稠密 的，故 0 c 可分． 对于c ，记 (1,1, ) e0 = " ， { ; } B′ = B ∪ ri e0 ri ∈Q ．若 x x c = ( n )∈ ，不妨设 x a n → ．先取 0 n 使 得 | x − a |< ε n ， ∀n > n0 ，再取有理数 0 , , , 1 n r r " r 使 得 |r − a |< ε ， − < ε ≤ ≤ max | | 1 0 i i i n x r ， 令 ( , , , , ) y′ = r1 " rn0 r " ，此时 y′∈ B′ 并且 || || max{max | |,max | |} | | 2ε 1 0 0 − ′ ≤ − − + − < ≤ ≤ > x y x r x a r a i i n i i i n ， 故c 可分． 对于 p l ，由于 p n x = (x )∈l 时， ∑ < ∞ ∞ =1 | | i p n x ，先取 0 n 使得 p i n p n ∑ x < ε ∞ = 0 +1 | | ，再取有理数 0 , , 1 n r " r 使得 p n i p i i ∑ x − r < ε = 0 1 | | ，仍记 ( , , ,0, ) y = r1 " rn0 " ，注意此时 p y ∈l 并且整个 p B ⊂ l ，此 外 p i n p n n i p i i p p || x y || | x r | | x | 2ε 1 1 0 0 − ≤ ∑ − + ∑ < ∞ = = + ，或|| || 2p p x y − < ε 由此知道 p l 是可分的． 对于其余的空间，容易知道有理系数多项式的全体依照 P[a,b]的范数是其中的可数稠密 子集，所以 P[a,b]可分． 根据 Weierstrass 定理，C[a,b] 中的每个元（连续函数）可用多项式一致逼近，实际上即 是依照C[a,b] 中的范数逼近．所以 P[a,b]在C[a,b] 中稠密．另一方面容易验证，当 A 在 B 中 稠密， B 在C 中稠密时， A 一定在C 中稠密．于是有理系数多项式的全体在C[a,b] 中稠密， C[a,b] 是可分的． 最后根据 Lyzin 定理，C[a,b] 在 L [a,b] p 中稠密，于是 L [a,b] p 是可分的．