钢锭的非对称冷却过程

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1989.02.024 第11卷第2期 北京科技大学学报 Vol,l1 No.2 1989年3月 Journal of University of Science and Technology Beijing Mar.1989 钢锭的非对称冷却过程 温治 高仲龙 (热能系) 清要：本文针对削锭在注东上的冷却过程，推导了钢定的非对称冷却过程传热数 学模型。该模型已波实例证明，可以用来估计对称传热假设的偏老以及生产中的可用程度， 也为研究铜锭任一局部位置的热状态参数提供了数学模型。 关键词：非对称冷却过爬，数学模型，让锭，误茶作计，还用性 Asymmetrical Cooling Process of Ingots Wen Zhi Gao Zhonglong ABSTRACT:In this paper,the mathematic model of the asymmetrical cooling heat transfer process of ingots in the teeming-train is presented.This results have been proved by practical example to be used to estimate the errors caused by the symmetrical heat transfer condition assumpations and its avail- ability in the actual production process.In the same time,it can provide to further study thermal state parameters of local positions of ingots. KEY WORDS:asymmetrical cooling process,mathematical model,teeming- train.errors estimation,availability 目前，对钢锭热过程的研究都假设为对称的边界条件，而实际生产中无论注后钢锭的冷 却还是炉内钢锭的加热都不是独立地存在。钢锭之间有遮蔽作用，其结果造成钢锭各表面点 的传热条件不完全相同，为此有必要研究钢锭的非对称传热过程。本文针对钢锭在注车上冷 却的实际过程（见图1），研究了钢锭的非对称冷却传热过程，不仪可为生产实际提供理论 数据，同时也可以用来研究钢锭任一局部位置的热状态参数，从而对钢能对称冷却过程数学 模型的计算结果做出什计和评价。 1987一10-03收稿 136

第 卷落 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 夕 。 声 钢 锭 的 非 对 称 冷 却 过 程 温 治 高仲龙 热能 系 ， 产 摘 要 本 文 针对 钢键 在 车上 的 冷却 过 程 ， 推 导 了钢锭 的 卜对称 冷 却 过 程 传热 数 学 模 型 。 该模 型已 被实例 证明 ， 可 以 用 来 沽 计对 称 传热假 设 的偏 旅以 及生 产 中的 可 用 程度 ， 也为研究钢锭 任 一 局 部位置的 热状 态 参数提 供 了 数学模 刑 。 关健 词 卜对 称 冷 却 过程 ， 数学 模 刑 ， ￡ 锭 气 ， 吴外佑 计 ， 适 性 才 ，夕 洲 刀 ， 一 ， 几 」 一 ， 一 手 · 「 ， 手 ， ， ， ， 尸甲 目前 ， 对 钢锭 热过 程 的研 究都 假 设 为对称 的边 界条件 ， 了苗实际 生 产 中无论注 后 钢锭 的冷 却 还是 炉 内钢锭 的加 热都不是 独立地 存 在 。 钢锭之 间有遮 蔽 作 用 ， 其结 果 造成 钢 锭各表面点 的 传热条 件不完全相 同 ， 为此 有必要 研 究 钢锭 的非 对 称 传 热过 程 。 本 文针 对 钢键 在注 车 上冷 却 的实际过 程 见 图 ， 研究 了 钢锭 的非 对 称冷 却传热过 程 ， 不仪 可 为 生 产实际 提供 理论 数 据 ， 同时 也 可以用来研究 钢锭任 一 局 部位 置的热状 态参 数 ， 从 而 对 润锭 对称冷 却过 程数 学 模 型 的计算结 果做 出估 计和 评 价 。 了一 一 玫稿 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1989．02．024

1数学模型 为了研究问题的方便，对钢锭冷却过程做如下几点假设： (1)一批钢锭是同时浇注、同时脱模的，并且浇注和脱模过程是瞬时完成的。 (2)忽略钢锭的纵向传热，以钢锭高度的1/2处截面做为计算截丽，即将钢锭的三维传 热问题简化为二维矩形域上的传热问题。 (3)注车上的8块钢锭几何位置是对称的，并H忽酪巾注管的影响，因此计算时只须求 出其中两块钢锭的热状态参数就可观全貌。 (4)钢锭和锭模都是各向同性的.其物性参数只是温度的单值函数，口认为密度不发生 变化。 (5)处于系统内部的气体看成是减弱系数为零的透明介质，系统外界看成是黑度为1的 包络，钢锭和锭榄的外表面都是漫-灰表面。 钢锭非对称冷却过程的二维数学模型可用以下几个方程加以描述： (1)钢锭过热冷却过程的能量平衡方程式： pC.v.h.d.(T.-T) (1) (2)钢锭和锭模内部点的导热微分方程： pc,87=(7)+(®) (2) (3)锭与模脱开后锭与模之间的热流密度表达式： gn=ace:〔(6'-(60)〕+1-8grad7 (3) (4)锭模外表面以及钢锭脱模后钢锭表面与外界的热流密度表达式： Pk=h(T-T)+C。∑F1k(J:-J)·10-8 (4) 1 上述式中：T一温度； t一时间： p—密度： C。—比热； k一导热系数 h一一对流给热系数； C。一斯蒂芬一波尔滋曼系数： B一锭与模脱开后辐射占的权重： J1一第i面的有故辐射； F:·k一第i面对第k面的角系数： e1—导来黑度； V。一体积： A。一面积； x一x方向空问变量： y一y方向空间变量； 下标：S一钢锭；m一锭模；a一一环境。 式(4)中J:和J。的计算是研究钢定非对称冷却传热过程的关德，首先必须求出钢锭 (包括锭模`各表面之间的辐射换热角系数。本文采用蒙的~卡罗法求出了各面之间的辐射换 热角系数，在此基础上，求出各表面对移动微元面的结果热流。将钢锭（或锭模）的每一个表 面看成是一个温度均匀的辐射表，从而构成22个辐射表面A:(i=1,2,…0),加上欲 137

数学模型 为 了研 究 问题 的方 便 ， 对 钢锭冷 却过程做如 下几 点假设 一 批 钢锭是 同时浇注 、 同时 脱模 的 ， 并且 浇注和脱模过 程是 瞬 时完成 的 。 忽 略 钢锭 的纵 向传 热 ， 以 钢 锭高度 的 处截 面做 为计算截 而 ， 即 将 钢 锭 的三维 传 热向题 简化 为二 维矩 形 域 的传 热问 题 。 注 车 上 的 块 钢锭 几 何位置是 对称 的 ， 并 币忽 略 中注 管 的影响 ， 因此 计算时只须 求 出其 中两块 钢锭 的热状 态参 数就可观 全 貌 。 钢锭和 锭 模都是 各 向同性 的 其 物性 参 数 只 是 温 度 的 单值 函数 ， 日认 为 密度 不 发生 变化 。 处 于 系统 内部 的气体 看成是 减 弱 系数 为零 的 透 明 介质 ， 系统 外 界 看成是 黑 度为 的 包 络 ， 钢锭 和 锭 模 的外 表面都是 漫 一 灰 表 面 。 钢锭 非对称冷 却过 程的 二 维数学 模型 可 用 以下 几个 方程 加以描述 钢锭过 热冷却过程 的能 量平 衡方 程式 口 · 」 一 一 。 厂 · 日了一 一 · 了 ’ 一 了 钢 锭 和 锭 模 内部点 的 导热微 分 方 程 刁 日 口 、 刁 ， 口 、 尽 下 二 万 气 “ 而 少 十 万 灭 “ 。歹 锭 与模 脱开 后 锭 与模之 间的 热流 密度 表达式 价 、 ， 、 。 一 刀 。 “ ‘ 匕又 一 谕 一 权而右 ‘ 一 刀 ’ ” “ “ ’ 锭 模外表面以 及钢 锭脱 模后 钢锭表面 与外 界的 热流 密度表达 式 入 一 。 兄 。 一 、 · 一 上述式 中 － 温度 － 时 间 － 密度 － 比 热 支－ 导热 系数 － 对流 给 热 系数 。 － 斯蒂 芬一波尔兹 曼系数 － 锭 与模 脱开 后辐 射 占的权重 － 第 面 的有效 辐 射 、 一一 第 而对 第 而 的 角系数 ， 。 － 导来 黑度 厂 。 － 体积 － 面积 二 － 方 向空间 变量 夕 － 方 白空间 变 量 下 标 － 钢 锭 － 锭 模 。 一一 环 境 。 式 川 “ 、 和 的计算是 研究 钢锭非 对 称冷却 传 热过 程 的关健 ， 首 先 必 须 求 出 钢锭 包括 锭模 ‘ 各 表面之 间的辐射换 热角系数 。 本 文采 用 蒙 的 一 卡罗法 求 出 了各 面之 间 的辐 射换 热 角系数 ， 在 此基础 ， 求 出各 表而对移 动微 元面 的结 果 热流 。 将 钢 锭 或 锭 模 的每一 个 表 面看成是一个温 度均 匀的辐 射表面 ， 从 而 构成 个辐射表面 ， 亡 ， … … ， 加上欲 名

求微元面A2:和连接钢锭（或模）各表面的假想辐射面A22,这样就会构成山22个辐射表 面组成的辐射换热封闭系统（见图1），其辐射换热网络图见图2。然后利用基尔霍夫定律 列出各个节点i的能量方程式： Jx-Ji (5) 1-e1 1 Aie (kvi) AFik 式中：E。1一黑体辐射力： J:一有效辐射： A:一辐射表面积； F,k一第i面对k面的角系数； e1一第i面的表面黑度。 "1 2=j22 223 F12 2 12F23 2F24 b3 1-) 1e: A353 tic; 用122个表面辐射换热封闭系统 图222个表面辐射换热网络阳 Fig.1 Closed system of radiative Fig.2 Network diagram of radiative heat transfer of 22 surfaces head transfer of 22 surfaces 将式(5)展开，并利用E。22=J22这一条件，就会得到包含有J,J2J2的方程组， 求解该方程组就会得到J,J2丁2：的值，最终求出移动微元面A2:的结果热流密度921。 计算中对每一个时问步长都必须求解·个由21个未知数组成的线性代数方程组，运算 工作量很大。为此本文又根据8块钢锭在注车上儿何位置对称这一条件，提出了一个简化方 法。即将第1,4,5,8这4块钢锭看成是具有同一温度的辐射表面Au,第2,3,6， 7这4块钢锭看成是具有同一温度的辐射表面A,再加上连接钢锭（或锭模）各表面的假 想辐射面A,和移动微元面A,,这样构成了由4个辐射表面组成的辐射换热封闭系统，其辐 射换热网络图见图3。同样利用基尔裙夫定律列出各个节点的能量方程式(6)： E-J;+-J+1:-J+E-=0 X E-、+-人+J,=+E人=0 (6) X22 E=+-人+-人+E:0 X33 XI X 上述式中： I-8. =:= 1-eu x11= Avev 138

求微 元 面 和 连接 钢锭 或 模 各 表而 的 假 想辐 射面 ， 这 样就 会 构 成 由 个辐 射 表 面 组成 的辐 射换 热封闭系统 见 图 ， 其辐 射换 热网 络图 见图 。 然 后利 用 墓尔霍夫定 律 列 出 各个节 点 的能 量方程 式 、 一 ， 一 巴 ￡ 、 兰 一 ， ‘ 式 中 。 － 黑体辐 射 力 刁 －辐射表面积 ， － 第 而的 表面 黑 度 。 ‘ －有效 辐射 、 ， 、 －第 面 面 的角 系数 · ﹁犯， 。 霎纂 匕 一 〕 雪 一 一飞 。 一 ’ 缪 匕』 匕口 饭于 ’ 飞 ， 歹 ‘ 飞 一 只 ￡。 生丈立 。 责 ’ 一 ‘ 万卜 毛 ，几 工︸ 图 个表面 辐 射换 热 封闭系统 图 个 表面 辐 射换 热 网 络 图 「 「 「 将 式 展 开 ， 并 利 用 、 这一 条件 ， 就 会得到 包含有 ， ， · · · ” ，的 方程 组 ， 求解 该 方程 组就 会得到 、 ， · “ … 、 的 值 ， 最 终 求 出移 动 微 元 面 的结 果热 流 密度 ，。 计算 ‘卜对 每一 个 时 问步长都必 须 求解 一 个 山 个 未 知 数 组成 的线性代 数 方程 组 ， 运算 工 作 量很大 。 为 此本文 又 根据 块 钢锭 在注 车 上 儿 何位 置对 称这一 条件 ， 提 出 了一 个简化 方 法 。 即 将第 ， ， ， 这 块 钢锭 看成是 具 有 同一温度 的辐 射表 面 ， 第 ， ， ， 这 块 钢锭 看成是 具 有 同一温 度 的辐 射 表 面 、 ， 再 加 连接 钢 锭 或 锭模 各 表面 的假 想辐 射面 和移 动微 元面 ‘ ， 这样 构成 了由 个辐射 表面 组成 的 辐 射换 热封 闭系 统 ， 其辐 射换 热 网络 图 见图 。 同样利 用 墓尔霍 夫定律 列 出各 个 节点 的能 量方程 式 、 一 。 十 吞二占 十 二 尽 一 二 几 一 二 一 凡一 了二 十 一 人 了二 一 吞 十 风 一 ‘ 卜 。 工 。 一 劣 劣 二 一 十 一 二 － 了 二丛 、 坑 ‘ 二 呜 上 述 式 「， 卜 巴￡ ︸ 一 、 万 一 几 尸宜 己 七 三 ￡ 、 ， 二

1 1 1 =A,F,0 AuFu, A.F,u 1 1 1 1 A Fi,v 1 1 1 1 =AF,N=A,F、u A.F。,i 1-Eu 1-8: AiE Ebi 1 AFia 1 1-Ey J jEba ArFva 图31个表面锢射换热网路图 Fig.3 Network diagram of radiative heat transfer of 1 surfaces 将式(6)稍加整理，得到如下形式的矩阵方程式： 1 X2 X11 1 1 ，1 ) 1 x22 光2 1 1 X3 Eb· :x11 E+ X28 (7) E心十 对式(7)求解，得到、J,和J:的值，然后利用下面两式均可得到移动微元面A:的结 果热流密度9： 1:-E 1-E 4- A:x11 (8) 或： -J+人-J+E- 9=1 (9) Ai 139

二 ， ， ， 。 二 ， ， 丫 “ 直万几 ， 、 ， 二 一 二二 一 搜 户 ， 。 丫 。 二二二 一 ‘ 二一 。 户 － ’ ， 、 、 ， 。 召 ， 。 尸 ， 一￡。 又盯 一 月 ‘ 口确彻吞 刀 ￡， 刀。 百卜卜 尸‘ 气 了 沂尸 、 月 ， ，， 一 卫止址 城 ， 丫厂 二， 刃 图 个表面 辐射换 热 网络 图 将式 稍 加整理 ， 得到 如 下形 式的矩 阵方程 式 沉 了、 工大 牛 一 汁 飞 十 为一 一劣 一 、 工 ‘、 生，叮 伪 升 玲 洽 了、 上 工洽 劣 风 ， 一 一 戈 ， 、 火劣 。 如、 对式 求解 ， 得到 。 、 和 ‘ 的值 ， 然后 利用下 面 两式 均 可 得到 移 动微 元 面 ， 的结 果 热流 密度 小 ， 一 劣 一 ， 或 一 一

计算结果表明，结合钢锭任注车上的具体情况将钢锭各表面间的辐射换热简化为4个表 面的辐射换热系统是可行的，其最大误差只有6°C,详情见算例。 2算 例 本文针对某厂在注车上冷却的8块钢锭（见图1），利用蒙的-卡罗法求出了钢锭（或 锭模)各表面之间的角系数；在此基础上，建立钢锭非对称冷却传热过程的二维数学模型， 然后利用有限差分技术，对钢锭以及锭模断面做离散化处理，在离散点上用差商代替微商， 得到离散点上的差分方程；最后将差分方程转化成计算机语言上机计算，得到各离散点上的 数值解。 计算用基本参数如下： (1)钢锭断面尺寸： (0.62067）×(0.7g02）×2.5m (2)钢锭单重：7,77t (3)钢种：20* (4)锭模壁厚：0.135m (5)锭模材质：铸铁 5,1g 1600 14n0 1200 1 20 3675 4060“804im2010一 Time in mould,mu 图4现场实测点乐在 图5第5块制锭4边中点表i温度变化 Fig.Sketch of actual measure Fig.5 Avcrage temperature of four sides points of site middle points of No.5 ingot ,we:i《f1knt 900 1bUt 700 14G0 00 300 100 2 406080100120140 20 4n5n8010m120140 Time i mouid.tin 阁6第6块钢健1个角部点的温度变化 阳7第后块钢筐表平均温度 Fig.6 Temperature of four corner points Fig.7 Surface average temperaturc of No,6 mould of No,5 ingot 140

尸 计算结果 表明 ， 结 合 钢锭在注车 上 的具 体情况 将钢 锭各表面间的辐 射换 热 简化 为 个 表 面 的辐射 换 热 系统是 可行 的 ， 其最 大 误 差只 有 ， 详情见算例 。 算 例 本文 针对 某厂 在注车 上冷却 的 块 钢锭 见 图 ， 利 用 蒙的 一 卡罗法 求 出 了钢锭 或 锭模 各 表面 之 间 的角系 数 在 此 基 础 上 ， 建 立 钢锭非 对称冷却传热过 程 的二 维 数学 模型 ， 然 后利 用 有限 差分 技 术 ， 对 钢锭以 及 锭模 断面 做 离散 化处理 在离散点 上 用差商 代替微商 ， 得到 离散 点 上 的差 分 方 程 峨 后将 差 分方程转 化成 计算机 语 言上机 计算 ， 得到各 离散点上 的 数值解 。 计算用基 本 参 数如 下 ，声 钢 。 面 尺寸 哒笼些 · 玉号必 · 沉 钢锭单 重 锭模壁 厚 。 钢 种 雄 锭 模 材质 铸 铁 山 昨。 润 卜 一 ， 心囚任 防门曰州 。 ︸﹃︸ 一 三 卜 一 乙门厂月引一 ‘ ，‘ ‘ 曰 少 ‘ 讹 二元 日 ﹄︸‘ ·︺甲 ，了， 裂引 介下 产 梦 ’ 一 一 川 】 一 乃 川 以 日 旧 勺 咕 进 图 现 场 实测点 ，’ 兹图 诬 比 急 图 第 块 钢锭 边 中点 表 面温 度变化 一 「 一 护 。 、 ’ ‘ 曰” 。 件 卜 认 芍 、 卜 叨 曰 、 比 ‘ 、 心 几 一 减 月 习 华 吐 ﹄ 砂尸 ， 、 、 口、 、 之弓贬 叼 、 自 竹 门 比 ， 日 、 卜 、 ， 研 川 ，二 厕 未 之 ， 鑫叁墓 尸 。 。 别 ︸山﹄一 弓 云 日 。 渊 切 。﹄﹃， 尸钊﹄。 研 一 一一 一 一 一 声 户 ‘ 一 山 之〔 叮 】 旧 「 玉 分 们 〕 一 一 川 一 ， 一 第 块 钢 论 个角部点 的 温 度变 化 一 厂 「 卜 「了 图 图 第 几 块 洲锭 人 峪 了 孟 几 卜均温 度 。 石 产 峨