33线性定常系统的稳定性 3.3.1稳定性的概念 若控制系统在足够小的初始偏差的 作用下,其过渡过程随时间的推移,逐 渐衰减并趋于零,即具有恢复原平衡状 态的能力,则称这个系统稳定。否则 称这个系统不稳定 第3章控制系统的时域分析
第3章 控制系统的时域分析 3.3 线性定常系统的稳定性 3.3.1 稳定性的概念 若控制系统在足够小的初始偏差的 作用下，其过渡过程随时间的推移，逐 渐衰减并趋于零，即具有恢复原平衡状 态的能力，则称这个系统稳定。否则， 称这个系统不稳定
3.3.2线性定常系统稳定的充分必要条件 设n阶线性定常系统的微分方程为 dc(t) d"c(t) dc(t) +a1 +∴+a +a,c( d t d t d t d r(t),dr(t) +b1 +…+b +bnr()(3-7) d t d t 对式(3-7)作拉氏变换,得 M(S) R(S)+ NS 3-8) D(S) D(S) 第3章控制系统的时域分析
第3章 控制系统的时域分析 3.3.2 线性定常系统稳定的充分必要条件 设n阶线性定常系统的微分方程为 对式(3-7)作拉氏变换，得 ( ) (3- 7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 b r t dt dr t b dt d r t b dt d r t b a c t dt dc t a dt d c t a dt d c t a m m m m m m n n n n n n = + + + + + + + + − − − − − − (3-8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D s N s R s D s M s C s = +
在式(3:8)中取R(s)=0,得到在初始状态影响下系 统的时间响应(即零输入响应)为 C(S) N() D(S) 若p为系统特征方程D③)=0的根且当p,各 不相同时,有 c(t)=L[C(s)=∠1N) D(S) ∑Aepn 若系统所有特征根p的实部均为负值,即 ReLp<0则零输入响应(暂态响应)最终 将衰减到零,即imc(t)=0 这样的系统就是稳定的。 第3章控制系统的时域分析
第3章 控制系统的时域分析 在式(3-8)中取R(s)=0，得到在初始状态影响下系 统的时间响应(即零输入响应)为 若pi为系统特征方程D(s)=0的根且当pi各 不相同时，有 若系统所有特征根pi的实部均为负值，即 Re［pi］<0 则零输入响应(暂态响应)最终 将衰减到零，即 这样的系统就是稳定的。 ( ) ( ) ( ) D s N s C s = = − − = = = n i p t i i A e D s N s c t L C s L 1 1 1 ( ) ( ) ( ) [ ( )]lim ( ) = 0 → c t t
反之,若特征根中有一个或多个根具有正实部 时,则暂态响应将随时间的推移而发散,即 imnc()=∞ 这样的系统就是不稳定的。 宗上所述,系统稳定的充分必要条件是系 统特征根的实部均小于零,或系统的特征根均 在根平面的左半平面。 第3章控制系统的时域分析
第3章 控制系统的时域分析 反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部 时，则暂态响应将随时间的推移而发散，即 这样的系统就是不稳定的。 综上所述，系统稳定的充分必要条件是系 统特征根的实部均小于零，或系统的特征根均 在根平面的左半平面。 = → lim c(t) t
3.3.3劳斯判据 设n阶系统的特征方程为 D(s=aosn+a, S/"-+.+an- S+a =a0(-1)(sP2)…(s-nl=0 将上式的系数排成下面的行和列,即为劳斯 阵列(劳斯表) 第3章控制系统的时域分析
第3章 控制系统的时域分析 3.3.3 劳斯判据 设n阶系统的特征方程为 D(s)=a0 s n+a1 s n-1+…+an-1 s+an =a0 (s-p1 )(s-p2 )…(s-pn )=0 将上式的系数排成下面的行和列，即为劳斯 阵列(劳斯表)