第七章非正弦周期电路的稳态分析 在无线电和电子工程中的电信号不一定是正弦周期变化的,例 如方波、锯齿波或者经过整流的半波,电力系统中正弦交流电受 某些干拢也有可能发生畸变不是严格的正弦浪,因此非正弦激励 下的响应的分析又将是电路课程中的一项内容。 周期性f()=f(t+T) nonsinusoidal periodic wave 非正弦浪激励 非周期性 第一节非正弦周期的傅里叶级数展开式 傅里叶级数:任一个周期(非正弦)函数只要满足狄里赫利 条件,都可以展开为一系列频率成整数倍的正弦函数之和。 若 f(t)=f(t+r)0 2丌 T
第七章 非正弦周期电路的稳态分析 在无线电和电子工程中的电信号不一定是正弦周期变化的，例 如方波、锯齿波或者经过整流的半波，电力系统中正弦交流电受 某些干扰也有可能发生畸变不是严格的正弦波，因此非正弦激励 下的响应的分析又将是电路课程中的一项内容。 0 t f (t) 0 t f (t) 0 t f (t) 非正弦波激励 周期性： 非周期性 f (t) = f (t +T) nonsinusoidal periodic wave 第一节 非正弦周期的傅里叶级数展开式 一、傅里叶级数：任一个周期（非正弦 ）函数只要满足狄里赫利 条件，都可以展开为一系列频率成整数倍的正弦函数之和。 若： f (t) = f (t +T) T 2 = T f 1 = T T T
f(t)=ao+2(ar cos kwt+bk sin kat) k=1 TJi f(o)dt ak==f()coskwtdt 2 b.resin kwtdt 2 将同频率项合并为一项,则有: f(t)=Ao+2Akm cos(kwt +Pr) =1 A=a0 0=A0 a2+b2 ak=Akm cos km tgk k bk= Akm sin k k
第一节 非正弦周期的傅里叶级 数展开式 = = + + 1 0 ( ) ( cos sin ) k k k f t a a kwt b kt − = 2 2 0 ( ) 1 T T f t dt T a − = 2 2 ( )cos 2 T k T f t kwtdt T a − = 2 2 ( )sin 2 T k T f t kwtdt T b = = + + 1 0 ( ) cos( ) k A Ak m kwt k f t A0 = a0 将同频率项合并为一项，则有： 2 2 Akm = ak + bk k k k a b tg = − a0 = A0 ak Akm k = cos bk Akm k = sin
f(t)=Ao+Am cos(wt+1)+ A2m cos(2wt+2)+ I3m cos (3wt+3)+A4m cos(4wt +P4)+ A5m cos(5wt+P5)+ A0称为周期函数f(t)的直流分量或恒定分量( DC component) A1mC0s(Wt+q1)称为周期函数f(的基波分量简称基波 ( fundamental frequency component。周期为T 其它各项称为周期函数ft)的高次谐液( high order harmonic component)如: A3ncos(2w+φ2)称为周期函数ft的二次谐波。其频率是 原周期函数的频率的两倍 、傅里叶系数与原周期函数的关系: 1)f(为偶函数:f(t)=f(-t),f(t)关于纵轴对称。则: bk=0, f(=ao+>ak cos kwt k=1 偶函数的傅里叶级数展开式中只含有偶函数项和直流分量。 其中: T ao=20 2f(dt uk TJo (t)cos kwtdt T
第一节 非正弦周期的傅里叶 + + + + 级数展开式 + + = + + + + + cos(3 ) cos(4 ) cos(5 ) ( ) cos( ) cos(2 ) 3 3 4 4 5 5 0 1 1 2 2 A wt A wt A wt f t A A wt A wt m m m m m A0称为周期函数 f(t)的直流分量或恒定分量(DC component)。 cos( ) A1m wt +1 称为周期函数 f(t)的基波分量简称基波 (fundamental frequency component)。周期为T cos(2 ) A2m wt +2 称为周期函数 f(t)的二次谐波。其频率是 原周期函数的频率的两倍。 其它各项称为周期函数 f(t)的高次谐波(high order harmonic component)如： 二、傅里叶系数与原周期函数的关系： 1） f(t)为偶函数：f(t) =f(-t)， f(t)关于纵轴对称。则： = = + 1 0 ( ) cos k = 0, f t a ak kwt bk 偶函数的傅里叶级数展开式中只含有偶函数项和直流分量。 其中： = 2 0 0 ( ) 2 T f t dt T a = 2 0 ( )cos 4 T k f t kwtdt T a
2)f()为奇函数:f-t=f(t),ft关于原点对称。 ak=0,ao=0, f()=2b, sinkwt k=1 奇函数的傅里叶级数展开式中只含有奇函数项。其中: f(1) bx=2 f(t)sin kwtdt 3)半波对称(镜对称):f()=ft+T/2) 波形移动半周后与原波形对称于横轴。 a0=0,a=0(k为偶数)b=0k为偶数 4=7D2(oskw(为奇数 k 2f(t) sinto(k为奇数) 半波对称(镜对称)函数的傅里叶级数展开式中只含有奇次谐 浪分量。故半波对称函数也称为奇谐波函数
傅里叶系数与原周期函数的关系： 2） f(t)为奇函数：f(-t) =-f(t)， f(t)关于原点对称。 = = 1 ( ) sin k 0, 0, f t bk kwt ak = a0 = 奇函数的傅里叶级数展开式中只含有奇函数项。其中： = 2 0 ( )sin 4 T k f t kwtdt T b 3）半波对称（镜对称）： f(t) =-f(t+T/2)， 波形移动半周后与原波形对称于横轴。 t f (t) 0 0, 0 , 0( ) a0 = ak =（k为偶数）bk = k为偶数 ( )cos ( ) 4 2 0 f t kwtdt k为奇数 T a T k = ( )sin ( ) 4 2 0 f t kwtdt k为奇数 T b T k = 半波对称（镜对称）函数的傅里叶级数展开式中只含有奇次谐 波分量。故半波对称函数也称为奇谐波函数
第二节非正弦周期量的有效值和平均值 非正弦周期电流、电压的有效值: 1)非正弦周期电流傅立叶级数展开式为: i()=l0+∑ Ikm cos(kr+g) 则有效值: dt T yrJo Aa, cos(kwt +i/ 1+∑ dt 12 =2+m+2m+-3m+ 222 1++2+3+ 非正弦周期电流的有效值为其恒定分量的平方与各次谐浪有效 值平方之和的平方根
第二节 非正弦周期量的有效值和平均值 一、非正弦周期电流、电压的有效值： = = + + 1 0 ( ) cos( ) k k m kwt k i t I I 1）非正弦周期电流傅立叶级数展开式为： 则有效值： = + + + + = + + + + = + + = = 2 3 2 2 2 1 2 0 2 3 2 2 2 2 1 0 1 2 0 2 2 2 2 [ cos( )] 1 1 I I I I I I I I I I kwt dt T i dt T I m m m T O k k m k T O 非正弦周期电流的有效值为其恒定分量的平方与各次谐波有效 值平方之和的平方根