第四章正弦稳态分析 在线性电路中若激励以同一频率正弦规律变化,则相 应的响应也以同一频率正弦规律变化,只是幅值和相位不 同。这种电路称为正弦交流电路,对其规律的分析为稳态 分析。正弦稳态分析在实际系统中应用极为广泛。 第一节正弦量及其描述 正弦量的时域表示 正弦电流(t)= I cOs(t+v) 正弦电压u()= Um coS((ot+v)/0 周期T频率∫和角频率O 2J 2丌 2If (=T) T 2.相(位)角、初相(角)与相位差 y为纵轴左边正向最大值的点与原点间的最短距离,规 定在s。平=0的正弦量可视为参考正弦量
第四章 正弦稳态分析 在线性电路中若激励以同一频率正弦规律变化，则相 应的响应也以同一频率正弦规律变化，只是幅值和相位不 同。这种电路称为正弦交流电路，对其规律的分析为稳态 分析。正弦稳态分析在实际系统中应用极为广泛。 第一节 正弦量及其描述 一．正弦量的时域表示 正弦电流 ( ) cos( ) m i i t I t 正弦电压 ( ) cos( ) m u u t U t 1．周期T 频率f 和角频率ω T ω 2πf 2π 2π ωt u(t) Um Ψu 0 (=ωT ) T f 1 2．相(位)角、初相(角)与相位差 Ψ为纵轴左边正向最大值的点与原点间的最短距离，规 定在 |Ψ|≤π 。 Ψ =0的正弦量可视为参考正弦量
相位差φ:两同频率正弦量的相位角之差。等于它们的 初相之差(与无关的常数)。 Qu=(ot+Yu)-(ot+v)=yu-yi pna>0:称u超前于减称滞后于u; n<:称滞后于i或称超前于u; 9a=0:称u与同相;@n=±π:称与饭相; n=±(x/2)称与证交。 3.振幅(幅值、最大值)与有效值( (effective value) 有效值:若电流i一个周期T内流过某电阻R所作的功 等于大小为的直流电流在这段时间内对同样R所作的功, 则就定义为的i有效值。 :R=n2Rat=P2R-vya方均 根值 瞬时值为小写字母i,l;最大值为大写字母上足标mlmt Um;有效值同直流为大写字母如Ⅰ,U
相位差φ：两同频率正弦量的相位角之差。等于它们的 初相之差(与t无关的常数)。 ui u i u i (ωt ) (ωt ) φui >0：称u超前于i或称i滞后于u ； φui<0：称u滞后于i 或称i超前于u； φui =0 ：称u与i 同相 ； φui =±π： 称u与i反相 ； φui =±(π／2) 称u与i正交。 3．振幅(幅值、最大值)与有效值(effective value) 有效值：若电流i在一个周期T内流过某电阻R所作的功 等于大小为I的直流电流在这段时间内对同样R所作的功， 则I就定义为的i 有效值。 i Rdt I Rdt I RT T T 2 0 2 0 2 T i dt T I 0 1 2 方均 根值 瞬时值为小写字母i， u；最大值为大写字母上足标mIm, Um；有效值同直流为大写字母如I， U
正弦量的有效值 若有:u= U cOs(ot+vn)Un=√2U=1.414 U=S Um cos (ot dt =to Um r1+ cos(2at+ 2y u dt om t, sin(2at 2yD?? =m=0.707 同理:Im=√2I=1.4141 交流表指示值、铭牌额定值通常指有效值(如220V); 而耐压值、冲击值往往指最大值。Um=311V 正弦量的相量表示 1、正弦交流量的运算。列 例:已知:u1=5c0s(t+30°)V,2=10c0s(at+60°)V
正弦量的有效值 cos( ) m u 若有：u U t m m 0 2 m 0 2 m 0 2 2 m 0.707 4 2 sin(2 2 ) 2 2 1 cos(2 2 ) cos ( ) 1 U t t U T U dt t T U U t dt T U T u T u T u Um 2U 1.414U I 2I 1.414I 同理：m 交流表指示值、铭牌额定值通常指有效值(如220V)； 而耐压值、冲击值往往指最大值。 Um =311V 二．正弦量的相量表示 1、正弦交流量的运算。列： 例：已知： u1 5 cos(ωt 30)V, u2 10 cos(ωt 60)V
求:u=u1+l2=? 解:直接用三角函数进行: l=11+l2=5c0(o+309)+10co(+60°) 9. 33 cos at-11, 16 sin t =933116c0+mrca116 933 =1455c0(t+5019)V 正弦交流量的运算较复杂。观察到u的o与u1、l2相同, 只是振幅与初相这两个要素不同。将复数与正弦量建立 某种联系,可使运算简化。 2、正弦量与复数的关系 v2lej(at+y=v2I cos(at+Vi)+j 2I sin(at+vi Im coSt+y+j m sin(ot+yi)
? 求：u u1 u2 解：直接用三角函数进行： 5cos( 30 ) 10cos( 60 ) 1 2 u u u ωt ωt 9.33 cosωt 11 .16 sinωt 14.55cos( 50.1 )V ] 9.33 11.16 9.33 11.16 cos[ g 2 2 t t arct ω ω 正弦交流量的运算较复杂。观察到u的ω与u1、u2相同， 只是振幅与初相这两个要素不同。将复数与正弦量建立 某种联系，可使运算简化。 2、正弦量与复数的关系 cos( ) j sin( ) 2 2 cos( ) j 2 sin( ) j( ) m i m i i i i I t I t Ie I t I t t ω ω ω ω ω
正弦量为一复数的实部 i=v2I cos(at+vi)=Revile(ot+v Relv2lejvijot=relv2iejat i=le=∠v称为正弦量的有效值相量 (phasor 大写字母上加小圆点是为了使之与有效值Ⅰ相区别,相 量不同于一般的复数,是针对正弦电流诚正弦电压u而 言的复常数反映其幅值和相位 i=Re|√2i.e/a (t=0 (tt1)at e旋转因子,Rev2e1为旋转矢量在实轴上的投影
2 cos( ) [ 2 ] ( ) Re i j i t i I t Ie ω ω [ 2 ] [ 2 ] j t j t i j Ie e I e ω ω R Re e 正弦量为一复数的实部 i j I Ie I i 称为正弦量i的有效值相量(phasor)。 大写字母I 上加小圆点是为了使之与有效值I 相区别，相 量不同于一般的复数，是针对正弦电流i或正弦电压u而 言的复常数,反映其幅值和相位。 +i +j (t=0) Ψi (t=t1) ωt1 Ψi ωt1 [ 2 ] j t i I e ω Re ωt e jωt旋转因子， [ 2 ] j t I e ω Re 为旋转矢量在实轴上的投影