183贝叶斯估计的一个例子 第二步写出样本数据y的联合密度,即似然函数: L(,y)=∏(2xo3)exp{-(2-03/2o2}(n个一元正态密度相乘) y~N(,a2)(合并同类项 ae exp (y+-0)/27](去掉常数顼,加减 xep[2E0y-m+20-0-0+2+)](展开平方项) oc eX p(∑(-0)/r} (去掉常数∑m(),而∑(--=(-02m(-=0) xcx{m(-0)/2a2y(m个相同的数相加变为乘法) xep{b(-)/2}(定义h=n/02) 似然函数的形式与先验密度相似,这为后面的计算提供了方便
11 18.3 贝叶斯估计的一个例子 第二步 写出样本数据y的联合密度，即似然函数： (n个一元正态密度相乘) 𝑦~𝑁(𝜇, 𝜎 ሻ 2 (合并同类项) (去掉常数项，加减 ) (展开平方项) (去掉常数 ，而 ) (n个相同的数相加变为乘法) (定义ℎ ∗ ≡ 𝑛Τ𝜎 2 ) 似然函数的形式与先验密度相似，这为后面的计算提供了方便。 2 1 2 2 2 1 ( ; ) (2 ) exp ( ) 2 n i i L y − = y = − − 2 2 1 exp ( ) 2 n i i y y y = − − + − 2 2 2 1 1 1 1 exp ( ) 2 ( )( ) ( ) 2 n n n i i i i i y y y y y y = = = − − + − − + − 2 2 1 exp ( ) 2 n i y = − − 1 1 ( )( ) ( ) ( ) 0 n n i i i i y y y y y y = = − − = − − = 2 2 − − exp ( ) 2 n y * 2 − − exp ( ) 2 h y 2 1 ( ) n i i y y = −
183贝叶斯估计的一个例子 第三步根据贝叶斯定理,写出后验分布的密度核。 ee/(n ∝(h(y-0)2+h(O-1)2]}(指数相加) 其中,指数项中的方括弧项可以简化为: h*(y-0)2+h(0-1) =h(y2-2y0+02)+h(2-20+2) K h(e-u 12
12 18.3 贝叶斯估计的一个例子 第三步 根据贝叶斯定理，写出后验分布的密度核。 𝑠 2≡ 𝐞 Τ ′𝐞 𝑛 − 𝐾 ∝ exp − 1 2 ℎ ∗ 𝑦ത − 𝜃 2 + ℎ 𝜃 − 𝜇 2 (指数相加) 其中，指数项中的方括弧项可以简化为: ℎ ∗ 𝑦ത − 𝜃 2 + ℎ 𝜃 − 𝜇 2 = ℎ ሻ ∗ (𝑦ത 2 − 2𝑦ത𝜃 + 𝜃 2 ሻ + ℎ(𝜃 2 − 2𝜇𝜃 + 𝜇 2 ∝ ℎത 𝜃 − 𝜇ҧ 2
183贝叶斯估计的一个例子 根据以上推导可知, L()0(0)e{-lh(-m)l 这还是一个正态分布的密度核,故后验分布仍是正 态分布。后验分布的精确度提高为 五≡h+h* 即先验精确度h与样本精确度h*之和。后验分布的 期望值调整为 反≡(h+h*y)/h 即先验均值μ与样本均值y之加权平均,权重为各自 的精确度。 如果先验信息不精确,即h较小,则先验均值对于 后验均值的影响就较小 13
13 18.3 贝叶斯估计的一个例子 根据以上推导可知， 𝐿(𝜃; 𝑦ሻ𝜋(𝜃ሻ ∝ exp − 1 2 ℎത 𝜃 − 𝜇ҧ 2 这还是一个正态分布的密度核，故后验分布仍是正 态分布。后验分布的精确度提高为 ℎത ≡ ℎ + ℎ ∗ 即先验精确度ℎ与样本精确度ℎ ∗之和。后验分布的 期望值调整为 𝜇ҧ≡ ℎ𝜇 + ℎ Τ ∗𝑦ത ℎത 即先验均值𝜇与样本均值𝑦ത之加权平均，权重为各自 的精确度。 如果先验信息不精确，即h较小，则先验均值对于 后验均值的影响就较小