(二)抛物型求积公式 [a,b]区间二等分:a a+ b,作抛物线 (r=a+b )(x-b) (aa+b f(a) )(a-b) tb (x-a)(x-b) atb x-ax atb atb a+b.-(6) a b) (b-a)(b atb atb )(x-b)f(a)-2( x=)x b)ft (b-a) atb +(x-a)(x 2)(b)
(二) 抛物型求积公式 2 b [ , ] , , b, 2 b ( )( b) 2 ( ) ( ) b ( )( b) 2 b ( )( ) ( )( ) b 2 ( ) ( ) b b b 2 ( )( b) ( )( ) 2 2 2 2 b b ( )( ) ( ) 2( )( ) ( ) 2 2 ( ) a a b a a x x P x f a a a a a x a x x a x b a f f b a a a a b a b a a x x b f a x a x b f b a + + − − = + − − + − − − − + + + + + + − − − − + + = − − − − − − 区间二等分： 作抛物线 b ( )( ) ( ) 2 a x a x f b + + − −
I()= b-af(a)+4(a+b+f(b) 称 Simpson公式 y=f( a (a+b)/2 b
2 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) 6 2 b a b a a b I f x dx f a f f b P − + = + + y=P2() y=f() 称 Simpson 公式 a (a+b)/2 b
(三.1) Newton- Cotes求积公式 /a,b/n等分:x=a+ih,i=0,1,…,n,h= a 则n+1个节点的插值多项式: W Pn(x)=∑ Xi, w( Xo 0(x-x1h'(: 10P=∑∫ =o (3(x-x,)w'(x, dx ff(x) ∑Af(x) 称 Newton- Cotes求积公式
(三.1) Newton-Cotes求积公式 n b , i 0, 1, , n , h a [ a,b] n : xi a i h − 等分 = + = = f ( x ), w(x) (x x ) (x x ) (x x )w'( x ) w(x) P (x) n i n n i i i n = − − − = + = 0 0 则 1 个节点的插值多项式： 0 0 ( ) Newton-Cotes b b n n i a a i i i n i i i w(x) I(f) (x)dx dx f( ) (x )w'( ) A f x P x = x x = = − 称 求积公式
(三2)计算系数A1:变换X=a+th (a+th-a(a+th-a-h(a+th-a-2h)(a+th-a-nh =th(t-1h…(t-n)h=ht(-1)…(-n x)=∏(x1-x) 0.i≠ ih…1·h·(-1…(--切mh(x-x=-h h"t!m-)!(-1) w(x) x h"t(t-1)…(t-n) hdt X XC (-1)hmn-0的(t- (-1) (-1)…(t-n) -
th(t ) h (t n)h t(t ) (t n) (a t h a)(a t h a h)(a t h a h) (a t h a nh) w(x) h n = − − = − − = + − + − − + − − + − − + 1 1 2 1 (三.2)计算系数 Ai : 变换 x=a+th 0 , ( ) 1 1 1 n i j i j i j i k n n i w'( ) x x ih h ( )h ( (n i))h (( ) (i k)h) i ! (n - i) ! ( x x x h ) = − = − = − − − − = − = − dt (t i) t(t ) (t n) i!(n i)! h hdt (i!)(n i)!h(t i) t(t ) (t n) dx (x )w'( ) w(x) n n-i n n n-i n b a i i i ( ) ( ) h h x x A ∫ 1 ∫ 1 0 0 1 1 1 − − − − = − − − − = − = − − +
(三3) Newton- Cotes系数C n-l (-1) t-1)…(t n(i).(n-i (t-i) A=(6-ao C是不依赖于fx与lab/的常数,只与分点 数n有关。 可以证明Cm=Cm,且∑Cm=1,由此可以 推出当C>0时插值型求积公式有数值稳定性 当n=8时出现负数,n≥8时不常用 n=4时成 Newton- Cotes求积公式
n 0 ( ) i 1 ( ) n 1 A n-i (n) i n i (n) i t(t ) (t n) dt n(i!) (n i)! (t i) b a f(x) [a,b] ( ) C C C − − = − − = − − 记 是不依赖于 与 的常数，只与分点 数 有关。 (三.3) Newton-Cotes系数Ci (n) n 4 -Cotes . n 8 , 8 . 0 . , ∑ 1, 0 时成 求积公式 当 时出现负数 时不常用 推出当 时插值型求积公式有数 值稳定性 可以证明 且 由此可以 Newton ∴ n≥ C C C C (n) i n i (n) i (n) n-i (n) i = = = = =