式对t求导:B(x+th) [(2t-3)f(xo) (4t-4)f(x1)+(2t-1)f(x2 →(x0) [-3f(x)+4f(x1)-f(x2)]; 2h 2h [-f(x)+f(x2);(中点公式) [f(xo)-4f(x1)+3/(x2) 带余项的三点求导公式: f(x0)=,[-3f(x)+4f(x1)-f(x2)+f() 3 f(x1) -f(x)+f(x2)-f"(2);(中点公式) h 6 f(x,) [f(x)-4f(x1)+3f(x2)+f() 2h 3
' 2 0 0 1 2 ' 2 0 0 1 2 ' 2 1 0 2 ' 2 2 0 1 2 1 ( ) [(2 3) ( ) 2 (4 4) ( ) (2 1) ( )]. 1 ( ) [ 3 ( ) 4 ( ) ( )]; 2 1 ( ) [ ( ) ( )]; 2 1 ( ) [ ( ) 4 ( ) 3 ( )]. 2 t P x th t f x h t f x t f x P x f x f x f x h P x f x f x h P x f x f x f x h + = − − − + − = − + − = − + = − 上式对 求导： （中点公式） ＋ 2 ' "' 0 0 1 2 2 ' "' 1 0 2 2 ' "' 2 0 1 2 1 ( ) [ 3 ( ) 4 ( ) ( )] ( ); 2 3 1 ( ) [ ( ) ( )] ( ); 2 6 1 ( ) [ ( ) 4 ( ) 3 ( )] ( ). 2 3 h f x f x f x f x f h h f x f x f x f h h f x f x f x f x f h = − + − + = − + − = − + 带余项的三点求导公式： （中点公式） ＋
可利用插值多项式,建立高阶数值微分公式: f4)≈P0)(x),k=1,2, 例:对P2(x0+th)=[(2t-3)f(x0) 2h (4t-4)f(x1)+(2t-1)f(x2)再对求导, 有P2(x+m)=2(f(x)-2f(x)+f(x2) h →2(x1)=,2(f(x1-h)-2f(x1)+f(x1+h), 带余项的二阶三点公式: f(x1)=2[f(x1-h)-2f(x1)+f(x1+b) f4(2) 12 同样,针对m也可扩展,如五点插值求积公式
( ) ( ) ( ), 1,2, k k m f P x k = 可利用插值多项式，建立高阶数值微分公式： ' 2 0 0 1 2 " 2 0 0 1 2 2 " 2 1 1 1 1 2 2 " (4) 1 1 1 1 2 1 ( ) [(2 3) ( ) 2 (4 4) ( ) (2 1) ( )]. 1 ( ) ( ( ) 2 ( ) ( )], 1 ( ) ( ( ) 2 ( ) ( )], 1 ( ) [ ( ) 2 ( ) ( )] ( ). 12 P x th t f x h t f x t f x t P x th f x f x f x h P x f x h f x f x h h h f x f x h f x f x h f h + = − − − + − + = − + = − − + + = − − + + − 例：对 再对 求导， 有 带余项的二阶三点公式： 同样，针对m也可扩展，如五点插值求积公式
3、样条求导 三次样条函数S(x)及其 阶导数均一致收敛于 被插值函数f(x)及其一、二阶导数,故用样条函数的 导数近似函数导数 f(x)≈S()(x)(k=1,22… 不仅可靠性好,且可计算非节点处导数的近似值。 其截断误差为:f()(x)-S()(x)=O(h4-) 对等距划分a=x0<x1<…<xn=b,且xk+1-xk=h 次样条S3(x)在节点上的导数值S(xk)=m满足下列 连续性方程组 mk-1+4mk+mk+1=3(Vk+1-yk-1)/h 在给定一类边界条件下,求解方程组得出的m即可 作为导数f(x2)的近似值
3、 样 条 求 导 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1,2, ) ( ) ( ) ( ). k k k k k S x f x f x S x k f x S x O h − = − = 三次样条函数 及其一、二阶导数均一致收敛于 被插值函数 及其一、二阶导数，故用样条函数的 导数近似函数导数 不仅可靠性好，且可计算非节点处导数的近似值。 其截断误差为： 0 1 1 3 1 1 1 1 ' , , ( ) ( ) 4 3( ) / . ( ) n k k k k k k k k k k k a x x x b x x h S x S x m m m m y y h m f x + − + + − = = − = = + + = − 对等距划分 且 三次样条 在节点上的导数值 满足下列 连续性方程组 在给定一类边界条件下，求解方程组得出的 即可 作为导数 的近似值
数值积分 f(x)的原函数不存在或不适宜计算, 只有f(x)的离散数据点 求)=∫fx)d的近似数值 E(=A(x)-(x I()=1(x 思择:思新{…} f,(x)常取插值或分段插值多项式
数值积分 I( f ) f ( x )dx . f ( x ) f ( x ) ; b a 求 的近似数值 只有 的离散数据点 的原函数不存在或不适宜计算 = 1 2 { , , , } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I b n n a b n n a f x dx I f f f x f x dx f f f f E → = = − 简单想法： 用简单函数序列 作为 的近似值，误差： f n ( x ) 常取插值或分段插值多项式
§1.插值型求积公式 P(x)是f(x)的插值多项式: Px)≈(x)+x-PxA )过ab两点:f3≈P(x 6-0/6/+x-6 f(a) b X-a x-b b (O) f(b fla)x fla)+f(b)) b 称梯形公式 y=f( y=P, 直边梯形代替曲边梯形 0
§1. 插值型求积公式 P( x ) f ( x ) f ( x )dx P( x )dx P( x ) f ( x ) b a b a ∫ ≈ → ∫ ≈ 是 的插值多项式： 1 b a ( ) 2 x a x b ( ) a,b : f(x) (x) f(b) f(a) b a a b x - a x b b a I f f(b) f(a) dx (f(a) f(b)) b - a a b P − − = + − − − − + = + − 一 过 两点 y=P1 () 直边梯形代替曲边梯形 y=f() 称梯形公式 y 0