Newton- Cotes公式的稳定性 系数C及节点值x可相当精确给出,误差来 自函数值f(x)的计算。设f(xA)为准确值, f(xA)为计算值,E=f(xk)-f(xk)则 (b-a∑[f(x)-f(xk)x=(b-a)∑=C k=0 k=0 记=max|=k,若C均为正数,则得 k (b-aXekckm<(b-aclegllckm[<e(b-a) 若C()有正负(n≥8),稳定性没有保证
Newton－Cotes公式的稳定性 ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) [ ( ) ( )] ( ) max , ( ) ( ) ( ) k k k k k k n n n n k k k k k k k n k k k n n n n k k k k k k f x f x f x f x f x b a f x f x C b a C C b a C b a C b a C = = = = = − − − = − = − − − (n) 系数C 及节点值x 可相当精确给出，误差来 k k 自函数值 的计算。 设 为准确值， 为计算值， 则 （ 记 若 均为正数，则得 若 ( ) 8), n k 有正负（ 稳定性没有保证。 n
s2梯形抛物线公式的误差估计 衡量插值型求积公式的精度,可以用多项式的 次数作为标准 定义(代数精确度)。对 般的求积公式: f(x)dx Akf(xk) 其中A是不依赖于f(x)的常数。若f(x)为任意一个 次数不高于n的代数多项式时,式中等号成立;而对 ∫(x)是n+1次多项式时不全精确成立,则称该求积 公式有n次代数精确度
§2. 梯形,抛物线公式的误差估计 公式有 次代数精确度。 是 次多项式时不全精确成立，则称该求积 次数不高于 的代数多项式时，式中等号成立；而对 其中 是不依赖于 的常数。若 为任意一个 定义（代数精确度）。对一个一般的求积公式： 1 ∫ ≈ ∑ k 0 k n f ( x ) n n A f ( x ) f ( x ) f ( x ) dx A f ( x ) k n k b a + = 衡量插值型求积公式的精度,可以用多项式的 次数作为标准
梯形求积公式的代数精确度 由梯形公式的误差: f(x)=P(x)+ (x-a)(x-b)a≤5≤b 当f(x)是次多项式时, f"(x)≡0-f(x)=P1(x)→>I(f)=∫P1(xx 但当f(x)=x2时, ∫x=x=b≠P(x=b(a2+b2 因此代数精确度是1
( )( b) b 2! ''( ) ( ) ( ) = 1 + − − x a x a f f x P x 由梯形公式的误差： 梯形求积公式的代数精确度 f x f x P x I f P x d x f x b a ''( ) 0 → ( ) ( ) → ( ) = ( ) ( ) 1 1 当 是一次多项式时， 1 3 2 2 2 1 3 3 2 2 ∫ ∫ ∫ 因此代数精确度是 但当 时， ( ) b a f ( x )dx dx ( x )dx f ( x ) P a b b a x x b a b a b a + − = − = = =
Newton-otes求积公式的代数精确 度 Newton- Cotes求积公式有误差 f(x)=P(x)+ (x),a≤5≤b (n+1)! 当f(x)为n次多项式时 f(0)=0→)10)=Pn(x)dx,从而至少 有n次代数精确度
( ), b ( 1)! ( ) ( ) ( ) Cotes ( 1) + = + − + w x a n f x x Newton f P n n 求积公式有误差 有 次代数精确度。 从而至少 当 为 次多项式时 0 1 n (x) I(f) (x)dx , f ( x ) n b a n ( n ) f → = P + Newton-Cotes求积公式的代数精确 度
n=偶数时 Newton- Cotes求积公式的代数精确度 对n+1次多项式g0)=2bx则q(x)=m+1)bn 积分误差 4(x)-P/x=/+( (x)x=bn∫w(x)ahx (n+1) (令x=a+th)=bnh”2(t-1)…(t-ndt 当n为偶数时,上式积分为0,即: ∫q(x)h=∫P(x)dkx 即 Newton- Cotes求积公式当n为偶数时至少 有n+1次代数精确度
n=偶数时Newton-Cotes 求积公式的代数精确度 b x q bn (n ) k n k k n q(x) (x) (n )! 1 1 1 0 1 ∑ 1 + + + = 对 + 次多项式 = 则 = + ( x a t h ) t(t ) (t )dt ( x )dx ( x )dx w( x )dx w( x )dx n n n b a n b a b a n b a b h b ( n )! q ( ) q P ( n ) ∫ 1 n ∫ ∫ 1 ∫ ∫ 0 2 1 1 1 = + = − − − = = + + + + + 令 积分误差： 有 次代数精确度。 即 求积公式当 为偶数时至少 当 为偶数时，上式积分为 ，即： n 1 Newton Cotes n ( ) ( ) n 0 ∫ ∫ + − x dx = x dx b a n b a q P