2.1裂纹尖端弹性应力场 .21. 而位移分量u是相等的（详见公式(2.22）).也就是说相对xz平面，裂纹上下表面 反对称地滑开. 撕开型裂纹(IⅡ型裂纹) 如图2.3(c)所示，上、下裂纹面，位移分量u大小相等，方向相反.也就是说， 上：、下裂纹表面，相对x之平面，沿z方向反对称撕开 2.1.5中心裂纹 鉴于应力强度因子概念的重要性，我们不仿用另一种方法分析裂纹尖端场.众 所周知，弹性力学平面问题可以用Muskhelishvili复势理论[4来解决.应力场和位 移场可以用二个复变量函数()，()来表示： ox十04=4Rc{(z)} og-irrg=(2)+(2可+z元+(2 (2.37) 2u(u+iv)=Ko(z)-z()-v(z) 式中 ()='(z,(z)=(z) 2.38) 对于直线裂纹问题，引入复变量函数2()，w(之)取代Φ，()将是更方便的： w(z)=z(z)+() (2.39) 2(2)=w'()=z)+z重'(z)+亚(z) (2.37)式可改写为 ox+o=4R{()} 0u-iTxg=(2）+2()+（名-)(2 (2.40) 2(t+i)=p(z)-w(2)-(z-2)2 公式(2.39)中上方带短的横杠“-”的函数是这样定义的： (z)=,(之)=业（②） (2.41) 如图2.4所示，考察无限大板中的中心裂纹，裂纹长度为2，无穷远处受均匀 应力场，0，的作用 裂纹面上的边界条件可表示为 Φ+(x)+2-(x)=中(x)+2+(x)=0 (2.42)
.22· 第2章线弹性断裂力学 图2.4 由此得 [(x)-2(x】+=[(x)-2(x,x∈L (2.43) 式中， L=(-a,a) 由(2.43)式，不难看出函数(z)一2(z)是全平面上的解析函数，因此在全平面上 恒有 (z)=Φ(z)+C (2.44) 式中，C是待定常数， 从(2.42)式，又可推得 [Φ(x)+2(x]++[(x)+2(x)川=0，x∈Z (2.45) 这是一个典型的Hilbert问题，其通解为 (z)+2(z)=P()X(z) (2.46) 式中， P(z)=C1名+C0 (2.47) 注意到函数（之）和2（之）在裂纹尖端有奇性，无穷远处有界，X(z)应为 X(x)- 1 (2.48) 在无穷远处，函数()，(2)具有以下性质四：
2.1裂纹尖端弹性应力场 23. (2)=T+0 () (2.49) =r+() 式中， o) (2.50) '= 2og-o）+i0 由2.40)第2式，推得 2(o∞)=og-ig-T C=(oo)-(oe)=ain-2r-T' (2.51) 再由(2.46)式，令z→0∞，得 C1 =ag-iTa (2.52) 最终得 ()-jP(e)X()-jT (2.53) 24)=Pa)x创+T 公式(2.47)中的待定参数Co,可以根据位移单值条件确定.Muskhelishvili的经典 之作4给出了详细论述，对于我们的问题，C0=0, 在裂纹前方有 0y-iny=(e)+2(x)= go-iT vaai s>a (2.54) 在右边裂纹尖端A处，建立极坐标系(r,).在裂纹尖端A的前方： 0=0, 无=r十a (2.54)式改写为 Oy-iTay= ago-i (2.55) Vr(2a+r万 由25阿式消楚地看出，在裂纹尖端附近，应力场具有疗的奇异性
.24- 第2章 线弹性断裂力学 2.2 应力强度因子理论 通过以上的分析，可以看出，裂纹尖端附近的应力场一般说来可表示为 KI V2ar ∑+0∑” √2r (2.56) ∑ V2元r 应力强度因子可由裂纹尖端应力场定义： KI lim v2xroy(r,0) r→0 Kn-in2v(r0) (2.57) Ka=Ii吗V2rTgz(c,0) K1和KⅡ也可用复变函数(z)来定义： K=K1-iKI=2v2元limm[VE(z】 (2.58) 式中，复变量z的原点必需取在裂纹尖端.公式(2.58)可以由公式(2.53)和(2.55) 加以验证 由(2.55)式，立即得到无穷大的板中心裂纹的应力强度因子： K1=a8Vaa Kn =TVna 公式(2.56)表明，应力强度因子K1,K11和Km是表征裂纹尖端应力奇性场的 强度的参量，它与坐标(，)无关.一般说来K的大小，与加载方式，载荷大小，裂 纹长度及裂纹体几何形状有关 应力强度因子的量纲很特殊，这一点在历史上也曾引起一些非议，但是现在应 力强度因子的概念已经得到举世公认.它的量纲为力][长度]2国际单位为牛顿 米-3/2N,n3/2);工程单位为千克，毫米-3/2(kg·mm-32) 对裂纹这样的缺陷，经典的应力集中因子概念已失去意义.应力集中因子概念 只适用于缺口端部曲率半径为有限非零情况， 公式(2.56)表明，裂纹尖端附近的应力状态完全由应力强度因子参量来决定 一旦这些参量确定下来，裂纹尖端附近的应力场就完全确定了.因此对于理想的线 弹性材料，Irw)于1957年提出了应力强度因子断裂准则： KI=KC (2.59)
2.2应力强度因子理论 ·25. 也就是说对于I型裂纹，当K1值达到临界值Kc时，裂纹就会起始扩展.式中KC 称为材料断裂韧性，它由实验确定.它是与试验温度、板厚、加载速率及环境有关 的材料参数.一旦这些外部因素确定下来，K。即为材料常数，它不依赖于加载方 式和试样几何.在一定范围内，它也不依赖于试样尺寸和裂纹尺寸. 实验表明，张开型裂纹最容易产生脆断.因此，断裂准则(2.59)最先是针对1 型裂纹提出来的.对于复合型裂纹的脆断准则，我们将在第5章中介绍 在平面应变情况下，张开型裂纹尖端前方材料处于三轴拉伸状态：0y=0x,0:= v(ov十oz.而平面应力情况下，裂纹尖端前方材料处于双轴应力状态：0y=oz,02= 0.因此，平面应变情况下，裂纹更容易扩展.断裂韧性K。的实验表明，K。随厚度 而变，当厚度较大时，K℃随厚度增加而减小，逐步趋向稳定的下平台值.通常用充 分厚的板进行实验，以确定材料的平面应变断裂韧性KC 对于平面应变状态下的张开型裂纹，我们有如下脆断准则： KI=KIC (2.60) 对于理想线弹性材料，如果裂纹扩展引起应力强度因子增加（大多数受载情况 下，裂纹长度增加，外载保持不变引起应力强度因子增加)，那么裂纹起始扩展必然 导致失稳扩展.在这种情况下，(2.60)式也可看作裂纹失稳扩展准则 对于大多数工程材料，裂纹尖端存在着一个塑性区，如图2.5所示.在塑性区 内，应力应变状态与线弹性解完全不同 13 和=和 产r 图2.5 但是如果这个塑性区尺寸是充分小，完全被K场控制的主导区所包围.那么 塑性区内的应力应变场将由K场所控制.也就是说两个试样的几何形状、加载方 式和裂纹尺寸并不相同，但是如果这两个试样的应力强度因子相等的话，那么裂纹 尖端附近的应力应变场也将是相同的.假如第一个试样在某个临界应力强度因子 作用下，裂纹开始扩展，则第二个试样在相同的临界应力强度因子作用下，裂纹也