3、迭代法的几何意义② n +IS 0(xn) =的(x X ax X
3、迭代法的几何意义② y x = ( ) O x y y x = 0 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 ( ) n n x x + =
3、迭代法的几何意义③ mi=o(rn) y=p(x) y=x ax x X
3、迭代法的几何意义③ y x = ( ) O x y y x = 0 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 ( ) n n x x + =
3、迭代法的几何意义④ n +IS 0(xn) =0(xX xx, ax x X
3、迭代法的几何意义④ y x = ( ) O x y y x = 0 x 1 x 2 x 3 x 1 ( ) n n x x + =
4、迭代法的收敛性 定理2设φ(x)在包含根α的区间[a,b]上可微,且满足 0(x)q< x∈a 则对任何xn∈[ab],迭代过程xm1=(x)(n=0,2,…) 定收敛。(证明) 说明: ①q越小,收敛速度越快。通常认为q<01时,是较快的; 05<q<1时,是较慢的。 ②实际应用中,若(x)连续且[a,b较小,可用(x)k<l代 替定理中的判别式。 定理3若在区间[ab]上连续函数φ(x)满足李普希兹条件: 0x)-以(x2)≤Lx-x2(0≤L<1 则迭代过程一定收敛。(证明略)
定理2 设φ(x)在包含根α的区间[a,b]上可微，且满足 则对任何 迭代过程 一定收敛。（证明） 1 ( ) ( 0,1, 2, ) n n x x n + = = 0 x a b [ , ], | ( ) | 1, [ , ] x q x a b 说明： ①q越小，收敛速度越快。通常认为q<0.1时，是较快的； 0.5<q<1时，是较慢的。 ②实际应用中，若 连续且 较小，可用 代 替定理中的判别式。 ( ) [ , ] x a b | ( ) | 1 x 定理3 若在区间[a,b]上连续函数φ(x)满足李普希兹条件： 则迭代过程一定收敛。（证明略） 1 2 1 2 ( ) ( ) (0 1) x x L x x L − − 4、迭代法的收敛性
衡量收敛速度的指标 定义设迭代过程收敛,如果存在正数r和c,使满足 lim n+1-a/ C n→>∞x- 则称该迭代过程是r阶收敛的或称收敛的阶数为r,称常数c 为渐近误差常数。 说明:(1)阶数r决定敛散性及收敛速度 当r=1,c<1时,称为线性收敛;当>1时,称为超线性收敛; 当r=2时,称为平方收敛。 (2)常数c与f(x)在x=附近的性态有关,对收敛速度有一定 的影响。c越大,则初值离真实值越近迭代序列才收敛
定义 设迭代过程收敛，如果存在正数r和c，使满足 则称该迭代过程是r阶收敛的或称收敛的阶数为r，称常数c 为渐近误差常数。 1 | | lim | | n r n n x c x + → − = − 当r=1,c<1时，称为线性收敛；当r>1时，称为超线性收敛； 当r=2时，称为平方收敛。 衡量收敛速度的指标—— 说明：（1）阶数r决定敛散性及收敛速度 （2）常数c与f(x)在x=α附近的性态有关，对收敛速度有一定 的影响。c越大，则初值离真实值越近迭代序列才收敛