湘潭大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 傅立叶变换（3.9）周期信号的傅立叶变换

第三章傅立叶变换 (3)

第三章 傅立叶变换（3）

§3.9周期信号的傅立叶变换 目的:使周期信号与非周期信号的分析方法统一。 周期信号不满足绝对可积条件,但引入冲激表示频 cos wtI 谱的条件下,其傅立叶变换存在。 正、余弦信号的傅立叶变换 1(ojt te m) jFf[sn w, t cOW,t=-(e 由欧拉公式: 2 jsin w, t=(e/l-e h 1<>2z() C0wt<>[O(w+w1)+6(v-w1) sin w,t<>j[S(w+w-S(w-wD)

§3.9 周期信号的傅立叶变换 目的：使周期信号与非周期信号的分析方法统一。 周期信号不满足绝对可积条件，但引入冲激表示频 谱的条件下，其傅立叶变换存在。 一：正、余弦信号的傅立叶变换      = − = + − − ( ) 2 1 sin ( ) 2 1 cos 1 1 1 1 1 1 j w t j w t j w t j w t j w t e e w t e e 由欧拉公式： 1 2 (w) sin [ ( ) ( )] cos [ ( ) ( )] 1 1 1 1 1 1 w t j w w w w w t w w w w  + − −  + + −       [cos ] 1 FT w t [sin ] 1 jFT w t

§3.9周期信号的傅立叶变换 二 般周期信号的傅立叶变换 2丌 A:设周期信号的周期为71角频率w1(1=),f(4)展开 成傅立叶级数形式则:f(1)=∑Fnem 两边取傳立叶变换,则: FTL()=FT∑Fem =∑F7(Fnem)=2z∑F2(w-mw) F(w)=FTIf(t]=2>Fn S(w-nwi) 其中:F 2f(1)e jnwit dt

§3.9 周期信号的傅立叶变换 二：一般周期信号的傅立叶变换 ：设周期信号的周期为 角频率 ), ( )展开 2 , ( 1 1 1 1 f t T A T w w  =   − = jnwt n f t F e 1 成傅立叶级数形式则： ( ) 两边取傅立叶变换，则：    −  − = ( ) = 2 ( − )1 1 FT F e Fn w nw jnwt n   [ ( )] [ ]  1  − = jnwt n FT f t FT F e   −  ( ) = [ ( )] = 2 ( − ) F w nw1 F w FT f t  n  − − = 2 2 1 1 1 1 ( ) 1 T T jnwt n f t e dt T 其中：F

§3.9周期倌号的傅立叶变换 B:周期性矩形脉冲与单脉冲的傅立叶变换的关糸 周期信号傅立叶级数:f(1)=∑F2em 其中:F=1 若从f(t)中取一个周期,记为f0(t),记其傅立叶 变换为5(m)则:F(m)=/Omh() 对比(1),(2)式,显然有: Fn=Fo(w)

§3.9 周期信号的傅立叶变换 B:周期性矩形脉冲与单脉冲的傅立叶变换的关系 其中： ( ) （1） 1 2 2 1 1 1 1 − − = T T jnwt n f t e dt T F 1 1 0 2 0 0 2 ( ) ( ), ( ), ( ) ( ) (2) T jwt T f t f t F w F w f t e dt − − =  若从 中取一个周期，记为 记其傅立叶 变换为 则：   − = jnwt n f t F e 1 周期信号傅立叶级数： ( ) 对比(1),(2)式，显然有： 1 0 1 1 ( ) n w nw F F w T = =

§3.9周期信号的傅立叶变换 例1:若草位冲激函数的间隔为T,用δ7(1)表示单位冲激 序列,即:61()=∑(-n)求其傳立叶级数与侮立 叶变换。 解:δn(1)为周期函数,展开成傅立叶级数可写为: 6()=∑ Nwt 2元 or(te nwt dt ,6( nwt dt T S T S F(1)=FT6(O)=2n∑F26(m-m)=2(-m) Fn另解:F0() W=nw

§3.9 周期信号的傅立叶变换 例1：若单位冲激函数的间隔为T，用 表示单位冲激 序列，即： 求其傅立叶级数与傅立 叶变换。 (t)  T 解： T (t)为周期函数，展开成傅立叶级数可写为： s jnwt T n T t F e w   2 ( ) ; 1 1 = =  − s T T jnwt T T jnwt n T T t e dt T t e dt T F 1 ( ) 1 ( ) 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 = = =  − − − −     −  = jnwt s T e T t 1 1  ( )    −  − ( ) = [ ( )] = 2 [ ( − )] = ( − ) F w nw1 w1 w nw1 F w FT t  T  n   s n w n w T F w T F 1 ( ) 1 * 1 0 = 另解： = ( )  ( )  =− = − n T s  t  t nT