(上潇文大字 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 、化二次型为标准形 定义只含有平方项的二次型 ∫=kny2+k2y2+…+kn 称为二次型的标准形(或法式) 对于二次型, (x,x…,x)=∑anxx=x2Ax何为可逆 线性变换? 我们讨论的主要问题是:寻求可逆的线性变换,(菲退化 的线性变换,非奇异的线性变换) 将其化为标准形
二、化二次型为标准形 我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，(非退化 的线性变换，非奇异的线性变换） 将其化为标准形． 只含有平方项的二次型 2 2 2 2 2 1 1 n n f = k y + k y + k y 称为二次型的标准形（或法式）． 定义 T 1 2 = x Ax , 1 ( , , , ) n n ij i j i j f x x x a x x = = 对于二次型， 何为可逆 线性变换？
(上定关孝 定义 JLAO TONG UNIVERSITY 设 y1+c12y2+…+C1nyn 2=C21y1+c22y2+…+c2nyn 记C=(c) n1y1+cny2+…+Cmy mmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 若C可逆,称上述变换为可逆线性变换 1(非退化的线性变换,非奇异的线性变换), 进一步,若C是正交的,称上述变换为正交线性变换, 几何角度:正交变换的特性在于保持线段的长度不变, 即,在不同的坐标系下几何图形不变 x,y是n维列向 线性变换常用矩阵记号:x=C 里 将其代入∫=x74x,有 化为关于y o Ax=(Cy A(Cy)=y(CTAc)y 的二次型
= + + = + + n n n nn n n n n n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y 1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 1 11 1 12 2 1 , , 设 C (c ), 记 = ij f x Ax T = 将其代入 f = x T Ax,有 y (C AC)y. T T (Cy) A(Cy) = T = 化为关于 y 的二次型 定义 若C可逆，称上述变换为可逆线性变换 (非退化的线性变换，非奇异的线性变换） ， 进一步，若C 是正交的，称上述变换为正交线性变换， 几何角度: 正交变换的特性在于保持线段的长度不变, 即，在不同的坐标系下几何图形不变。 线性变换常用矩阵记号： x Cy = x, y 是n维列向 量
(上潇文大字 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 说明 1.二次型经可逆变换x=C后,其秩不变,但f 的矩阵由A变为B=CAC; B与A的这种关系称为合同关系 定义对于矩阵A、B,若满足B=C'AC,称矩阵 A、B合同 性质 1.反身性, 2.对称性 3.传递性
B与A的这种关系称为合同关系 说明 ; 1 , , A B C AC . x Cy f T = = 的矩阵由 变为 二次型经可逆变换 后 其秩不变 但 定义 对于矩阵A、B，若满足 ，称矩阵 A、B 合同 T B C AC = 性质： 1. 反身性， 2. 对称性 3. 传递性
(上定关孝 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 要使二次型经可逆变换x=Cy化为标准型, 就是要使 yC ACy=kyi +k2y2+.+knyn k2 15y2 也就是要使C′AC成为对角矩阵 常用的方法 1正交代换法(用正交变换化二次型为标准形, 其特点是保持几何形状不变) 2配方法
2 2 2 2 2 1 1 n n T T y C ACy = k y + k y + k y ( , , , ) , 2 1 2 1 1 2 = y y y k k k y y y n n n 也就是要使C AC成为对角矩阵. T 要使二次型经可逆变换 化为标准型， 就是要使 x Cy = 常用的方法： 1 正交代换法(用正交变换化二次型为标准形， 其特点是保持几何形状不变)． 2 配方法
(上定关孝 正交代换法 由于对任意的实对称矩阵A,总有正交矩阵P, 使P1AP=A,即PAP=△.把此结论应用于二次 型,有 定理2任给二次型∫=∑a1x,x/(n=a)总有 正交变换x=Py,使∫化为标准形 ∫=4y2+2y2+…+λny2, 其中λ,,…,是∫的矩阵A=(qn)的特征值
型 有 使 即 把此结论应用于二次 由于对任意的实对称矩阵 总有正交矩阵 , , . , , 1 = = − P AP P AP A P T ( ) 正交变换 使 化为标准形 定理 任给二次型 总有 x Py f f a x x aij a ji n i j ij i j , 2 , , 1 = = = = , 2 2 2 2 2 1 1 n n f = y + y + y , , , ( ) . 其中 1 2 n是 f 的矩阵A = aij 的特征值 1 正交代换法