y为9到G中的f-可测映射 1.14设∫为(9,万)上的一有界可测函数,则存在简单可测 函数序列(f,,n≥1),使得|fn|≤|f,m≥1,且fn一致收敛于∫ 1.15设(,)为一可测空间,C={A1,A2,}为9的一 个可数划分(即A:∩A=0,≠j,EA;=9).令T=0{FUC} 则 (1)T={∑1(A1∩B):B;∈F,1}, 2)设g为g上一T可测实值函数,则存在一列F-可测实 函数(n,≥1,使得9=∑1fIA 1.16设!为一距离空间,B(9)为9上的 borel o-代数.令 c2)表示9上有界连续函数全体,则B{92)=0(f:f∈C(9)} 117设,1≤≤m}为R上实值 Borel函数,则 (f1,…,m)为(BR",B(Rm)到自身的可测映射.(提示:利用命 题13) 1.18∫:9→C为(2,F)上的复值可测函数,当且仅当∫ 为(,)到(cB()中的可测映射 §2单调类定理(函数形式) 设(9,为一可测空间.有时我们只知道有一类F可测函 数满足某一性质,而希望证明所有-可测函数满足该性质.这时 我们就要用到函数形式的单调类定理 下一定理是与第一章定理22(2)相应的函数形式 21定理设C为9上的一丌类,H为由上的一些实值 函数构成的线性空间.如果它们满足下列条件: (1)1∈礼; (2)fn∈礼,n≥1,0≤fn↑f,且∫有限(相应地,有界) →∫∈升; (3)A∈C,IA∈升, 则升包含9上的所有o(C)}-可测实值(相应地,有界)函数 证令F={Acg:IA∈H},则易知F为入类,且CC 29
于是由第一章定理2.2(2)知σ(C)C不.设∫为a(C)可测实值(相 应地,有界)函数,令 n2"-1 k 91 ∑如嘉≤+<缺1+m+2 则gn∈升,gn↑∫,从而由(2)知∫+∈H,同理∫∈H,故 ∫=「+-∫∈升.定理证毕 下面我们着手推广定理21.为此,首先引进入族概念,它是 集合的入类概念在函数情形下的类似物 22定义设H为9上的一族非负有界函数,称礼为A族, 如果它满足下列条件: (1)1∈; (2)∫∈H,a∈R+→af∈H; (3)f,9∈H,∫≥9→f-g∈升 (4)升n∈H,n≥1,fn↑∫,且∫有界→∫∈升 设C为9上的一非负有界函数,我们用A(C)表示包含C的 最小入族,并称∧(C)为由C生成的入族 23注设为A-族,则礼还有如下性质: 5)f,9∈孔→∫+g∈升 事实上,设C为一常数,使得∫+g≤C,则由(3)知 ∫+g=C-[C-f)-g∈升 下一定理是与第一章定理23(2)相应的函数形式 24定理设C为9上的一族非负有界函数.我们用C古(C) 表示非负有界a(f:∫∈C)可测函数全体,则下面二断言等价: (1)(C)=C(); (2)∫,9∈C→∫g∈∧(C) 证只需证(2)→(1).设(2)成立,令 91={f∈∧(C):Vg∈C,∫g∈∧(C)}, 则易见91为入族,且91C,故有91=∧(C).再令 92={f∈A(C):vg∈A(C),fg∈∧C)}
则g2为族,且913C(因有1=∧(C),故有g2=∧(C),这表 明∧(C)对乘积运算封闭.令 F={Acg:IA∈^(C)} 则厂既为≯类又为丌-类,故F为σ-代数.往证∧(C)对有限下端 运算封闭设∫,g∈^(C),为证∫∧g∈∧(C,不妨假定f≤1,g≤1, 于是有|f-g≤1,且有 (f-9)2=f2+92-2fgeN(C) 我们将用到如下事实(请读者自行证明):设|≤1,令P(x)=0, Pn+1(2)=Pn(x)+( (2-Pn(x)2),n≥0, 则Pn(x)↑|a.于是,由于 B(-9)=2(-9)2A(e, 故由归纳法知Pn(f-9)∈^(),n≥1.从而由入族的性质(4)知 f-g∈∧(C).最终我们有 ∫∧g=(Jf+g-|f-9)∈A(C) 现设∫∈C,a>0为一实数.则由上所证 ∧a)∈ ∧(C),故1-(∧1)∈∧(C).从而有 1-(A1)”↑<EAC 这表明[f<叫∈F因此∫为F可测.由定义110知a(f:f∈ C)CF 31
最后,设∫∈C(C),令 k f=∑21 备≤∫<翻 +nIn 则由于l品备≤<禁!∈A(C),故瓜n∈A(C),Jn↑∫∈(C),这表明 古c∧(C).但相反的包含关系恒成立,故有(C)=∧(C).定理 证毕 作为推论,我们得到与第一章定理2.2(2)相应的函数形式的 单调类定理 2.5定理设C为9上的一非负有界函数,且对乘积运算封 闭若H为一入-族,且包含C则包含一切非负有界a(f:∫∈C 可测函数 下面我们将给出其它形式的单调类定理,它们是第一章定理 23(1)的函数形式 26定义设为g上的一有界函数族,称为单调族,如 果它对一致有界单调序列极限封闭 设C为9上的一有界函数族,我们用M(C)表示包含C的最 小单调族,用Cb(C)表示有界a(f:∫∈C}可测函数全体 27定理设C为9上的一有界函数族.则下列二条件等价: (1)M()=Cb(C); (2)1∈M(C);f∈C,a∈R→af∈M(C); ∫,g∈C→∫+g∈M(C),f∧g∈M(C) 证只需证(2)→(1).设(2)成立,令 H1={f∈M(C):a∈R,af∈M(C);vg∈C,f+g,f^g∈M(C)} 则H1为单调族,且1C,故礼1=M(C).再令 H2={f∈M():v∈M(C),∫+9,fAg∈M(C)}
则H2为单调族,且咒2≥C(因为1=M(C),故升2=M(C).由 上所证,M(C)为一线性空间,且对有限下端运算封闭(从而也对 有限上端运算封闭)此外,依假定1∈M(C).令 F={Ac9:IA∈M(C)} 则厂为9上的一σ-代数 往证C中的每个元为F可测.设∫∈C,a∈B,令fn n(f-a)+A1,则fn∈M(C,且fn↑l>a故l>l∈M(C),即 有∫>叫∈F这表明∫为F-可测,于是σ(f:f∈C)CF 最后,设∫∈C(C),令 ∑ k ≤]+m k=0 由于M(c)为线性空间,故fn∈M(C).但fn↑f,于是f∈M(C), 这表明C(C)cM(C),因此有C()cM(C).但相反的包含关系 恒成立,故有M(C)=C6(C).定理证毕 作为定理的一个有用的推论,我们有 28定理设为9上的一有界函数的单调族,C为化的 子族则C(C),如果下列条件之一成立: (1)H为线性空间,1∈升,且C对乘积运算封闭; (2)C为一代数(即C为一线性空间,且对乘积运算封闭),且 存在C中某个一致有界的单调序列,其极限为1; (3)C为一线性空间,C对有限下端运算封闭,且存在C中某 个一致有界的单调序列,其极限为1. 证设(1)成立.令C为由1和C生成的代数,则DcH,从 而M(⑦D)c.易证M(C)为一线性空间(见习题29).设∫∈D, 且川升≤1.采用定理24的证明中的记号,令fn=Pn(),则 几n∈D,且0≤f↑f,故|f∈M(D).于是对一般的∫∈D,亦有 升∈M(D).设f,g∈D,则有 ∫^g=2+9--9∈M(D)