第二章可测映射 §1定义及基本性质 11定义设(,)及(E,E)为两个可测空间,∫为9到E中 的映射(简记为∫:9一E).如果对一切A∈E,有f1(A)∈F, 则称∫为厂可测映射 今后,我们用f1(2)表示集类{f-1(A):A∈郾},于是,f 为不可测映射兮f1(E)CF 12定义设为实数域,R=RU{-∞,∞}.我们分别用 B(R)及B(R)表示R及R上的 borel o代数.令(,F)为一可 测空间,∫为9到R中的映射.如果∫-(B()CF,称∫为 Borel可测函数,简称可测函数.若进一步∫只取实值,则称∫为 实值可测函数.设C为复数域,∫:9一￠称为复值可测函数, 是指它的实部和虚部同时为实值可测函数 容易看出:f为(9,万)上的实值可测函数,当且仅当∫为 (,刀)到(R,B(R)中的可测映射 下一命题给出了可测映射的一个有用刻画 13命题设(9,)及(E,E)为两个可测空间,C为生成∝-代 数E的一集类.如果∫为9到E中的一个映射,使得f-1(C)cF 则∫为可测映射 证令g={ACE:f-1(A)∈乃},则9为E上的一a-代 数.由假定,9>C,从而9()=E,这表明f-(E)C万,即f 为可测映射 1.4系设∫为可测空间(9,F)上的一数值函数(即取值于 R),则下列条件等价: (1)f∫为可测函数; (2)a∈R,[f<a∈f;
(3)la∈R,[f≤叫]∈ 4)a∈R[f>d]∈万; (5)va∈R,[f≥叫]∈F 这里及今后,[∫<叫]表示集合{u:∫(u)<a} 证令C1={-,a):a∈R}则易知a(C1)=B(R),故由命 题1.3知(2)→(1).类似可证(3)÷(1).此外,显然有(2)(5)及 (3)兮(4).证毕 由于可测函数可以取+和-0,我们在研究可测函数的算 术运算(即加、减、乘、除)时,作如下约定: 1)(土∞)+2=x+(±0)=x-(千∞)=±o,|zl|<o (2)(土∞)+(±o)=(±∞)-(干o)=±o; (3)x/±∞=0,|c<∞; ±∞, (4)x·(±∞)=(±∞)·z={0, 0 干 <0; (5)下列运算被认为无意义:(±∞)-(土o),(土∞)+(干o) 土∞/±∞,±∞/干∞,a/0 15命题(2,F)上实值(复值)可测函数全体构成实域(复 域)上的一向量空间 证只需考虑实值可测函数情形.令q表示R中的有理数全 体.设f,g为实值可测函数,则a∈R,有 f+g<q=∪(f<rnp<a 从而∫+9为实值可测函数.此外,对任何a∈B,a∫显然为实 值可测函数.证毕. 16命题设f,g,{升n,n≥1}都为(,)上的可测函数 (1)∫g为可测函数; (2)若∫+g处处有意义,则∫+g为可测函数; (3)若f/g处处有意义,则∫/g为可测函数; (4) inf fn, sup fn, lim inf∫n及 lim sup f均为可测函数; t→
(5)[∫=g及[f≤g]为可测集. 证(1)首先假定∫及g非负,则va∈R,a>0有 Ifg<a]=[=oUlg=ojU(UU<r)n(g<=]EF, 故∫g为可测函数对一般的可测函数∫及g,令 ∫+=fv0,f=(-f 显然∫及∫为可测函数.于是∫g的可测性由下式及(2)推得 g=(什-f)(g+-g-)=(f+g++∫g-)-(ftg-+fg+) (2)由命题1的证明看出 (3)设|g>0处处成立,则易知g-1为可测函数.若f/g处 处有意义,则f/g=f·g1,故f/g为可测函数. (4)la∈B,我们有 inffn<a]=UIn<al 故由(1)和(3)推得(4) (5)令fn=(f∧n)V(-n),9n=(g∧n)V(-n),则 ∩ d=∩Un≤gl 由于[fn=gn]=[ 0],[fn≤9n]=[fn-gn≤0,从而 f=y]及[f≤g]为可测集 下面我们研究可测函数的构造 17定义设AC9,令 ∈A, 0 E A
称IA为集A的示性函数设∫为9上的一实函数,若∫只取有 限多个值,称∫为简单函数 设∫为一简单函数,其值域为{a1,…,an}令A;=f-1({a;}) =1,…,n,则∫=∑}=1a;IA4若(2,万)为可测空间,则∫为厂 可测,当且仅当每个A为F可测集 18定理设(9,为一可测空间,∫为一可测函数. (1)存在一简单可测函数序列(fn,m≥1),使得对一切n≥1, 有|fn≤|fl,且limf=∫ n→。 2)若∫非负,则存在非负简单可测函数的增序列(fn,使得 lim fn=f n-o0 证将∫表为∫+-∫,易知(1)是(2)的推论往证(2)对 n 令 2n嘉≤f<禁+n[f2列] 则fn为非负简单可测函数,且∫n↑f. 下一定理是上一定理的简单推论,今后常被引用. 19定理设(9,F)为一可测空间,C为生成的一个代 数.令升为!上的一族非负实值函数,如果它满足下列条件: (1)f,g∈升,a,B≥0→a∫+Bg∈升 (2)fn∈H,n≥1,fn↑∫且∫有限(相应地,有界)或f↓ ∫→∫∈; (3)ⅤA∈C,IA∈礼, 则C包含9上的所有非负实值(相应地,有界)可测函数 证令T={A∈F:IA∈升},则由(3)知TC,且由(2)知 C为单调类,故由单调类定理知T=F于是由(1)、(2)及定理 18推得定理的结论 110定义设(E,E)为一可测空间,为9到E中的一族 映射.令 F=({∪∫(E) fe 27
则厂为使礼中所有元素为可测的最小σ-代数.我们称厂为函数 族礼在Ω上诱导的σ-代数特别,若(E,E)=(配,B(R),我们 常用o{,f∈升表示这一a-代数F 下一定理给出了(f)可测函数的一个刻画 111定理设∫为9到一可测空间(E,E)中的映射,o(f) 为∫在9上诱导的a-代数(即σ()=f-1(E),则为要9上 的一数值函数φ为a(f)}可测,必须且只需存在E上的一E可 测函数h,使得φ=h。∫(这里hof表示h与∫的复合,即 hof(u)=h(f(ω),∈).如果φ为实值(相应地,有界)(f)-可 测,则h可取为实值(相应地,有界)函数 证充分性显然(见下面的习题113).下证必要性.设A∈ a(f),则存在B∈E,使A=f1(B),即有IA=IBof,于是对任一 (f)可测简单函数φ,存在E上一E-可测函数λ,使得φ=hof 现设φ为一a(f)可测函数,由定理18存在一列o(f)可测简 单函数φn,使limφn=φ.由上所证,存在一列E上E-可测实 值函数hn,使φn=hno∫.令h= lim sup h,则φ=h。f.若 进一步为实值(相应地,存在一常数c>0,使得l≤c),令 h=M[h<(相应的,令b=h∧c-h∧c)则φ=boJ∫定理 证毕. 习题 112设(E,E)为一可测空间,C为生成E的一集类.设 为g到E中的一族映射,厂为H在9上诱导的a-代数,则 ∪f() ∫∈ 设φ为F可测函数,则存在H的可数子族‰o={f1,2,…},使 得φ为F-可测,其中5为o在Ω上诱导的a-代数. 113设(,),(E,2)及(G,9)为可测空间,∫为9到E中 的F可测映射,h为E到G中的E可测映射.令φ=hof,则