六逻辑学与理性精神+ 1同一律的内容是:在同一思维过程中,一切思想都必须保持同一 例1张先生买了块新手表。他把新手表与家中的挂钟对照,发现手表比挂钟慢了三分钟:后来他又把 家中的挂钟与电台的标准时对照,发现挂钟比电台标准时一天快了三分钟。张先生由此推断:他的表是准 确的 以下哪项是对张先生推断的正确评价? A.张先生的推断是正确的,因为手表比挂钟慢三分钟,挂钟比标准时快三分钟。 B.张先生的推断是正确的,因为他的手表是新的。 C.张先生的推断是错误的,因为他不应该把手表和挂钟比,应该直接和标准时间比 D.张先生的推断是错误的,因为挂钟比标准时快三分钟,是标准的三分钟:手表比挂钟慢三分钟,是不 标准的三分钟 生的推断既无法断定为正确,也无法断定为错误。 2矛盾律的内容是:两个互相矛盾或互相反对的命题不能同真,必有一假 例2甲、乙、丙三位男同学在白马湖边散步。对面走来一位摩登女郎。甲说:她是外语系的。乙说 她不是外语系的。丙说:你们说的都对。 请问丙的说法是否有错误? 3排中律的内容是:两个互相矛盾或互相下反对的命题不能同假,必有一真 例3甲、乙、丙三位男同学在寝室讨论是否有鬼的问题。甲说:世界上没有鬼。乙说:世界上有鬼 丙说:你们说的都不对 请问丙的说法是否有错误? 第二章命题逻辑 一简单命题和复合命题 简单命题就是只能分析为不同的词项、不能分析为其他命题的命题 复合命题则是包含其他命题的命题,它是用联结词和其他命题构成。 (1)春天来了。 (2)如果冬天来了,春天将不再遥远。 二联言命题 联言命题是反映若干事物情况同时存在的命题。它是由“并且”这类联接词和两个或两个以上的支命题 形成 (3)毛泽东是思想家,并且毛泽东是政治家。 4)天下雨,路又滑。 联言命题的真值由它的支命题的真值确定。支命题的真值都真时联言命题为真 联言推理的有效式 1合成式:p 所以,p并且q 2分解式:p并且q 所以p 选言命题 选言命题分为相容选言命题和不相容选言命题。 相容选言命题是借助“或者”这类联结词和支命题形成 (5)小李发烧或是由于感冒,或是由于肺炎 相容选言命题的真值由它的支命题的真值确定。有一个支命题为真时相容选言命题的真值命题为真 相容选言推理的有效形式
六 逻辑学与理性精神+ 1 同一律的内容是：在同一思维过程中，一切思想都必须保持同一。 例 1 张先生买了块新手表。他把新手表与家中的挂钟对照，发现手表比挂钟慢了三分钟；后来他又把 家中的挂钟与电台的标准时对照，发现挂钟比电台标准时一天快了三分钟。张先生由此推断；他的表是准 确的。 以下哪项是对张先生推断的正确评价？ A． 张先生的推断是正确的，因为手表比挂钟慢三分钟，挂钟比标准时快三分钟。 B． 张先生的推断是正确的，因为他的手表是新的。 C． 张先生的推断是错误的，因为他不应该把手表和挂钟比，应该直接和标准时间比。 D． 张先生的推断是错误的，因为挂钟比标准时快三分钟，是标准的三分钟；手表比挂钟慢三分钟，是不 标准的三分钟。 E． 张先生的推断既无法断定为正确，也无法断定为错误。 2 矛盾律的内容是：两个互相矛盾或互相反对的命题不能同真，必有一假。 例 2 甲、乙、丙三位男同学在白马湖边散步。对面走来一位摩登女郎。甲说：她是外语系的。乙说： 她不是外语系的。丙说：你们说的都对。 请问丙的说法是否有错误？ 3 排中律的内容是：两个互相矛盾或互相下反对的命题不能同假，必有一真。 例 3 甲、乙、丙三位男同学在寝室讨论是否有鬼的问题。甲说：世界上没有鬼。乙说：世界上有鬼。 丙说：你们说的都不对。 请问丙的说法是否有错误？ 第二章 命题逻辑 一 简单命题和复合命题 简单命题就是只能分析为不同的词项、不能分析为其他命题的命题。 复合命题则是包含其他命题的命题，它是用联结词和其他命题构成。 （1） 春天来了。 （2） 如果冬天来了，春天将不再遥远。 二 联言命题 联言命题是反映若干事物情况同时存在的命题。它是由“并且”这类联接词和两个或两个以上的支命题 形成。 （3） 毛泽东是思想家，并且毛泽东是政治家。 （4） 天下雨，路又滑。 联言命题的真值由它的支命题的真值确定。支命题的真值都真时联言命题为真。 联言推理的有效式 1 合成式 ：p q 所以，p 并且 q 2 分解式：p 并且 q 所以 p 三 选言命题 选言命题分为相容选言命题和不相容选言命题。 相容选言命题是借助“或者”这类联结词和支命题形成。 （5） 小李发烧或是由于感冒，或是由于肺炎。 相容选言命题的真值由它的支命题的真值确定。有一个支命题为真时相容选言命题的真值命题为真。 相容选言推理的有效形式：
否定肯定式:p或者q 非 所以 或者q或者r 非 所以q或者r 不相容选言命题是由“要么……要么……”这类联结词和支命题形成的 (6)要么玉碎,要么瓦全 有一个支命题为真且只有一个支命题为真时不相容选言命题的真值命题为真。 不相容选言推理的有效形式 1否定肯定式:要么p要么q 非 所以q 要么p要么q要么r 非p,非 所以 2肯定否定式:要么p要么q 所以非q 要么p要么q要么r 所以非q非 四假言命题 假言命题亦称条件命题表示条件的命题叫前件,表示结果的叫后件。它是有条件的反映某种情况存 在的命题。它因条件的不同可分为三种:充分条件假言命题、必要条件假言命题、充要条件假言命题 充分条件假言命题及其推理 充分条件假言命题是反映一事物情况是另一事物情况充分条件的命题。它的典型联结词是“如果… (7)如果我当总理,那么就任命你当财政部长 (8)人心齐,泰山移。 充分条件假言命题的真值取决于它的前件是否是它的后件的充分条件。只有前件真后件假时,它才 充分条件假言推理是根据充分条件假言命题的逻辑性质进行推演的推理。它的有效式是 背定前件式 否定后件式 如果p那么q 如果p那么q 非 所以q 所以非p 如果我考上了硕士研究生,我请你吃饭。我考上了硕士研究生。所以我请你吃饭。 例5 如果有严重的贪污行为,那就会犯罪。他没有犯罪。所以,他没有严重的贪污行为。 下面的两种形式是无效的:否定前件式,肯定后件式 如果p那么q 如果p那么q
否定肯定式：p 或者 q 非 p 所以 q p 或者 q 或者 r 非 p 所以 q 或者 r 不相容选言命题是由“要么……要么……”这类联结词和支命题形成的。 （6） 要么玉碎，要么瓦全。 有一个支命题为真且只有一个支命题为真时不相容选言命题的真值命题为真。 不相容选言推理的有效形式 1 否定肯定式：要么 p 要么 q 非 p 所以 q 要么 p 要么 q 要么 r 非 p，非 q 所以 r 2 肯定否定式：要么 p 要么 q p 所以 非 q 要么 p 要么 q 要么 r p 所以非 q 非 r 四 假言命题 假言命题亦称条件命题,表示条件的命题叫前件,表示结果的叫后件。它是有条件的反映某种情况存 在的命题。它因条件的不同可分为三种：充分条件假言命题、必要条件假言命题、充要条件假言命题。 1 充分条件假言命题及其推理 充分条件假言命题是反映一事物情况是另一事物情况充分条件的命题。它的典型联结词是“如果… 那么…”。 （7） 如果我当总理，那么就任命你当财政部长。 （8） 人心齐，泰山移。 充分条件假言命题的真值取决于它的前件是否是它的后件的充分条件。只有前件真后件假时，它才 是假的。 充分条件假言推理是根据充分条件假言命题的逻辑性质进行推演的推理。它的有效式是： 肯定前件式 否定后件式 如果 p 那么 q 如果 p 那么 q P 非 q 所以 q 所以 非 p 例4 如果我考上了硕士研究生，我请你吃饭。我考上了硕士研究生。所以我请你吃饭。 例5 如果有严重的贪污行为，那就会犯罪。他没有犯罪。所以，他没有严重的贪污行为。 下面的两种形式是无效的：否定前件式，肯定后件式。 如果 p 那么 q 如果 p 那么 q
非p 所以,非q 所以p 2必要条件假言命题及其推理 必要条件假言命题是由“只有…才”这类联结词连接两个支命题形成的复合命题 (9)只有年满18岁才有选举权。 必要条件假言命题的真值取决于它的前件是否是它的后件的必要条件。因此只有当它的前件假而 后件真时它才是假的。 根据必要条件假言命题这一性质,必要条件假言推理的有效式是 否定前件式 背定后件式 只有p才q 只有p才q 非 q 所以,非q p 只有年满18岁才有选举权。他没有年满18岁。所以他没有选举权 例7只有年满18岁才有选举权。她有选举权。所以,她年满了18岁 下面的两种形式是无效的:肯定前件式,否定后件式。 只有p才q 只有p才q 非 所以,非p 3充分必要条件假言命题及其推理 充分必要条件假言命题是由“当且仅当”这类联结词连接两个支命题形成的复合命题 五负命题 负命题是由否定一个命题而得到的命题。它通过把“并非”这类否定词置于一个命题之前或之后而形 成的。其标准形式是“并非p” 负命题所否定的可以是一简单命题,也可以是复合命题。简单命题的负命题的值与它相反。复合命 题的负命题等值于另外一些命题 1“并非(p并且q)”等值于“非p或者非q”。 2“并非(p或者q)”等值于“非p且非q” 3“并非(如果p那么q)”等值于“p并且非q” 4“并非(只有p才q)”等值于“非p且q 5“非非p”等值于“p” 真值联结词真值形式 1命题形式 命题形式是一个具体命题抽出具体内容之后只保留其位置的框架,或者说是由这些位置和联结词所形 成的一个结构 一个复合命题的形式是用命题变项p、q、r…取代其中的简单命题,联结词保持不变后而得到的。 例6的命题形式是:只有p才q 命题形式有两种成分:命题变项:联结词(逻辑常项)。 2真值联结词 常语言的联结词有两个主要问题:一是不精确,二是负载了许多非逻辑的内容 撇开联结词所表达的各支命题在内容、意义上的联系只考虑各支命题的真假关系时日常语言的联结词 就成为真值联结词。 3真值形式 命题形式中的日常语言联结词用真值联结词替换后所得到的形式叫真值形式。如p∧q、pVq 等
非 p q 所以，非 q 所以 p 2 必要条件假言命题及其推理 必要条件假言命题是由“只有…才”这类联结词连接两个支命题形成的复合命题。 （9）只有年满 18 岁才有选举权。 必要条件假言命题的真值取决于它的前件是否是它的后件的必要条件。因此只有当它的前件假而 后件真时它才是假的。 根据必要条件假言命题这一性质，必要条件假言推理的有效式是： 否定前件式 肯定后件式 只有 p 才 q 只有 p 才 q 非 p q 所以，非 q 所以 p 例6 只有年满 18 岁才有选举权。他没有年满 18 岁。所以他没有选举权。 例7 只有年满 18 岁才有选举权。她有选举权。所以，她年满了 18 岁。 下面的两种形式是无效的：肯定前件式，否定后件式。 只有 p 才 q 只有 p 才 q p 非 q 所以，q 所以 ，非 p 3 充分必要条件假言命题及其推理 充分必要条件假言命题是由“当且仅当” 这类联结词连接两个支命题形成的复合命题。 五 负命题 负命题是由否定一个命题而得到的命题。它通过把“并非”这类否定词置于一个命题之前或之后而形 成的。其标准形式是“并非 p”。 负命题所否定的可以是一简单命题，也可以是复合命题。简单命题的负命题的值与它相反。复合命 题的负命题等值于另外一些命题。 1“并非（p 并且 q）”等值于“非 p 或者非 q”。 2“并非（p 或者 q）” 等值于“非 p 且非 q” 3“并非（如果 p 那么 q）” 等值于“p 并且非 q” 4“并非（只有 p 才 q）” 等值于“非 p 且 q” 5“ 非非 p” 等值于“p” 六 真值联结词 真值形式 1 命题形式 命题形式是一个具体命题抽出具体内容之后只保留其位置的框架，或者说是由这些位置和联结词所形 成的一个结构。 一个复合命题的形式是用命题变项 p、q、r…取代其中的简单命题，联结词保持不变后而得到的。 例 6 的命题形式是：只有 p 才 q 命题形式有两种成分：命题变项；联结词（逻辑常项）。 2 真值联结词 日常语言的联结词有两个主要问题：一是不精确，二是负载了许多非逻辑的内容。 撇开联结词所表达的各支命题在内容、意义上的联系只考虑各支命题的真假关系时日常语言的联结词 就成为真值联结词。－∧∨→←→ 3 真值形式 命题形式中的日常语言联结词用真值联结词替换后所得到的形式叫真值形式。如 p∧q、 p∨q、 －p 、 q→p 等
从简单的真值形式可以生成任意有穷长的真值形式。在生成过程中的最后一步所使用的联结词叫 做主联结词。 (P→q)∧(p→r)∧(-qV-r)]→-p 真值形式不是一个具体内容的命题。它们本身是没有真值的。如果命题变项的真值确定后并且联 结词的意义也固定了,它们也就有真值了 真值联结词的意义经解释确定:命题变项的真值可以指派。 4真值联结词意义的解释 q q 0 0 七日常语言中复合命题的符号化(写出命题的真值形式) 骤:第一用不同的命题变项取代不同的原子命题 第二用相当的真值联结词取代命题联结词 例7或者甲是罪犯,或者乙是罪犯 p表示甲是罪犯,q表示乙是罪犯。V表示或者。则例7可写为pVq 人类假如想要知道自己渺小,无需仰视繁星密布的苍穹,只要看一看在我们之前就存在过、繁 荣过、而且已经消失了的古代文化就足够了。 p表示人类想要知道自己渺小,q表示需仰视繁星密布的苍穹,r表示看一看在我们之前就存在 过、繁荣过、而且己经消失了的古代文化就足够了。则例8可写成p→-q∧r 八重言式及其判定方法 1重言式、矛盾式、偶真式 D1一真值形式A是重言式,当且仅当,对于A中命题变项的任一真值指派,A恒取值为真 D2一真值形式A是矛盾式,当且仅当,对于A中命题变项的任一真值指派,A恒取值为假 D3一真值形式A是偶真式,当且仅当,对于A中命题变项的某些真值指派,A取值为真。对于A中命题 变项的另一些真值指派,A取值为假 2真值表方法 用真值表方法判定一个公式的步骤是 1)找出该公式中所有不同的命题变项,并竖行列出它们之间所有可能的真值组合。例9(p→q)∧p→ (p→q)∧p (p→q)∧ (2)按照公式的生成次序,由简单到复杂横行列出该公式的所有子公式,直至该公式本身 (3)按照对真值联结词的解释,由命题变项的值逐步计算出各个子公式的值,直至该公式本身的值。若该 公式的值恒为真,则它为重言式:若该公式的值恒为假,则它为矛盾式:若该公式的值有时为真,有时为 假,则它为偶真式
从简单的真值形式可以生成任意有穷长的真值形式。在生成过程中的最后一步所使用的联结词叫 做主联结词。 [（P→q）∧（p→r）∧（－q∨－r）]→－p 真值形式不是一个具体内容的命题。它们本身是没有真值的。如果命题变项的真值确定后并且联 结词的意义也固定了，它们也就有真值了。 真值联结词的意义经解释确定；命题变项的真值可以指派。 4 真值联结词意义的解释 P q －p P∧q P∨q P→q P←→q 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 七 日常语言中复合命题的符号化（写出命题的真值形式） 步骤：第一 用不同的命题变项取代不同的原子命题； 第二 用相当的真值联结词取代命题联结词； 例 7 或者甲是罪犯，或者乙是罪犯。 p 表示甲是罪犯，q 表示乙是罪犯。∨表示或者。则例 7 可写为 p∨q 例8 人类假如想要知道自己渺小，无需仰视繁星密布的苍穹，只要看一看在我们之前就存在过、繁 荣过、而且已经消失了的古代文化就足够了。 p 表示人类想要知道自己渺小，q 表示需仰视繁星密布的苍穹，r 表示看一看在我们之前就存在 过、繁荣过、而且已经消失了的古代文化就足够了。则例 8 可写成 p→－q∧r 八 重言式及其判定方法 1 重言式、矛盾式、偶真式 D1 一真值形式 A 是重言式，当且仅当，对于 A 中命题变项的任一真值指派，A 恒取值为真。 D2 一真值形式 A 是矛盾式，当且仅当，对于 A 中命题变项的任一真值指派，A 恒取值为假。 D3 一真值形式 A 是偶真式，当且仅当，对于 A 中命题变项的某些真值指派，A 取值为真。对于 A 中命题 变项的另一些真值指派，A 取值为假。 2 真值表方法 用真值表方法判定一个公式的步骤是： （1）找出该公式中所有不同的命题变项，并竖行列出它们之间所有可能的真值组合。例 9 （p→q）∧p→ q p q p→q （p→q）∧p （p→q）∧p→q 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 （2）按照公式的生成次序，由简单到复杂横行列出该公式的所有子公式，直至该公式本身。 （3）按照对真值联结词的解释，由命题变项的值逐步计算出各个子公式的值，直至该公式本身的值。若该 公式的值恒为真，则它为重言式；若该公式的值恒为假，则它为矛盾式；若该公式的值有时为真，有时为 假，则它为偶真式
例10p→-q∧r p→-q/r 0 0001 0|00 3归谬赋值法 它的基本思路是:一公式A,假设它为假时,它的子公式或它的命题变项的赋值了出现矛盾则它是重言式。 q)∧(r→s)∧(p∨r)→qVs 010 九推理有效性的判定 一个推理可以看成一个蕴涵式,前提是前件,结论是后件。如果一个推理转换成一个蕴涵式后,这个蕴涵 式是重言式,这个推理就是有效的。因为这个推理形式的代入事例决不会出现前件真而后件假。因此判 一个推理是否有效就转化成为判定一个蕴涵式是否为重言式 例11如果某甲是罪犯,则他有作案时间;他没有作案时间:所以他不是罪犯。 解:用p表示某甲是罪犯:用q表示他有作案时间。与例11相应的蕴涵式是:(p→q)∧-q→ 用真 值表方法检验它的有效性: p→q (p→q)∧-q (p→q)∧-q→-p 0 例12 或者(逻辑学难学p),或者(没有多少学生喜欢它q)。 如果(数学容易学r),那么逻辑不难学。因此,如果许多学生喜欢逻辑学,那么数学并不容易学。 解:与例12相应的蕴涵式是: (p∨q)∧(r→-p) 用归缪赋值法检验它的有效性 01011110010001 第三章词项逻辑 把简单命题拆分为主项、谓项、联项和量项,然后根据这些成分之间的关系去进行推理,由此得到的 逻辑理论叫词项逻辑。 直言命题 1直言命题的定义、结构和类型 直言命题是反映某个对象具有或不具有某种性质的命题
例 10 p→－q∧r p q r －q －q∧r p→－q∧r 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 3 归谬赋值法 它的基本思路是：一公式 A，假设它为假时，它的子公式或它的命题变项的赋值了出现矛盾则它是重言式。 （p→q）∧（r→s）∧（p∨r）→q∨s 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 九 推理有效性的判定 一个推理可以看成一个蕴涵式，前提是前件，结论是后件。如果一个推理转换成一个蕴涵式后，这个蕴涵 式是重言式，这个推理就是有效的。因为这个推理形式的代入事例决不会出现前件真而后件假。因此判定 一个推理是否有效就转化成为判定一个蕴涵式是否为重言式。 例 11 如果某甲是罪犯，则他有作案时间；他没有作案时间；所以他不是罪犯。 解：用 p 表示某甲是罪犯；用 q 表示他有作案时间。与例 11 相应的蕴涵式是：（p→q）∧－q→－p 用真 值表方法检验它的有效性： p q －p －q p→q （p→q）∧－q （p→q）∧－q→－p 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 例12 或者（逻辑学难学 p），或者（没有多少学生喜欢它 q）。 如果（数学容易学 r），那么逻辑不难学。因此，如果许多学生喜欢逻辑学，那么数学并不容易学。 解：与例 12 相应的蕴涵式是： （p∨q）∧（r→－p）→（－q→－r） 用归缪赋值法检验它的有效性： （p∨q）∧（r→－p）→（－q→－r） 0 10 1 1 1 1 0 0 1 0 0 01 第三章 词项逻辑 把简单命题拆分为主项、谓项、联项和量项，然后根据这些成分之间的关系去进行推理，由此得到的 逻辑理论叫词项逻辑。 一 直言命题 1 直言命题的定义、结构和类型 直言命题是反映某个对象具有或不具有某种性质的命题