故由定理27知Cb(D)=M(D)但显然有Cb(D)=Cb(C),故最终 有Cb(C)=M(D)C孔. 设(2)成立,则1∈M(C),M(c)cH,且M(C)为一线性空 间.余下证明同上 设(3)成立,则定理27中的条件(2)成立,故有C6(C)= M(C)c升. 习题 29设C为9上的一有界函数族若C为线性空间,则M(c) 亦为线性空间. 210设C为s上的一非负有界函数族,则下列二条件等 价 1)M()=(C); (2)∫g∈C→f∧g∈M(C);f∈C,a∈R→a,a-f∧a∈ C 21(定理21的另一种形式)设C为9上的一丌-类,升为 2上的一非负实值函数族.如果下列条件被满足: (1)1∈死 (2)∫∈孔,a∈R+→a∫∈升;∫,g∈孔∫≥g→∫-9 ∫-g∈化; (3)fn∈H,n≥1,0≤fn↑f,且∫有限(相应地,有界)→f∈ (4)A∈C,IA∈升 则礼包含9上的所有非负o(C)可测实值(相应地,有界)函数 §3可测函数序列的几种收敛 设(9,F,)为一测度空间.本节将研究(2,4)上实值可测 函数序列的几种收敛及它们之间的关系.为了叙述方便,我们将 采用如下术语:如果某一性质在9上除了一零测度集外成立,则 称它几乎处处成立,简称ae.成立 31定义设(fn)≥1,f均为实值可测函数
(1)如果存在一零测集N,使得如∈N°有lmfn(u)=∫(u) →。° 则称(n)几乎处处收敛于∫(或ae.收敛于f),记为 lim fn=f n→。 ae,或升n当∫ (2)如果对任给∈>0,存在N∈F,μ(N)<∈,使得(fn)在N° 上一致收敛于f,则称(n)几乎一致收敛于f,并记为imfn=f 几→ amn,或fn“f (3)如果对任给∈>0,lim山(lf-f>)=0,则称(fn)依测 度收敛于f,并记为f“f 更一般地,对一定向序列(fa)也可定义上述几种收敛概念, 特别,对双指标序列(fnm)可定义上述收敛概念 32定义设(升n)为一列实值可测函数.如果(fn-fmn)ae 收敛于0(当n,m→∞),则称(fn)为ae.收敛基本列类似可以 定义其它各类收敛的基本列 33注由定义看出,上述各类收敛的极限是a.e.唯一确定 的例如:设fnf,f当g,则∫=g,ae.另一方面,设 当∫,∫=9,ae.则∫n“g此外,对各类收敛序列(fn),若 对每个n,用一与fnae.相等的实值可测函数gn代替fn,则(n) 亦为同类收敛序列,其极限与(fn)的极限ae相等, 下一定理给出了上述几种收敛的刻画 34定理设(n)及∫均为实值可测函数. (1)fnsf,当且仅当ve>0有 (∩U-升≥ (31) (2)f。吗f,当且仅当ve>0有 limu(Ulfn-fI2e0)=0 (32) (3)fn母∫,当且仅当对(n)的任何子列(fn),存在其子列 (fn),使得向f(→∞) 35
证(1)设(an)为实数列,a为一实数,则要使an→a,必 须且只需对每个k≥1,存在自然数n(k)使得当讠≥n(k)时有 a-a<是.因此我们有 a:f(a)→fa)}=∩U∩|-升< k=l n=l i=n 于是,∫当f,当且仅当 UnU-n2】)=0 即≥1有 (1)得证 (2)必要性设fn∫.则Y6>0,BF∈F,山(F)<6,使f 在F°上一致收敛于∫.于是ve>0,存在N,使得当讠≥N时,有 f(u)-f(u)<e,∈F° 因此,U巴N1-∫|≥ecF,特别有 lim sup(Unfn-f≥e)≤以(F)< 必要性得证. 下证充分性.设对任给∈>0有(3.2)成立.则W6>0,Vk≥ 1,3m(k),使得 八(∪联一升≥) i=n(k)
∪U联-升 k=l i=n(k) 则μ(F)<6,且有 ∩∩-升<k k=l i=n(k) 这表明在P上fn一致收敛于∫.依定义,f吗∫ (3)必要性,设斗∫.令(fn)为(fn)的一子列,则仍有 fn∫.由依测度收敛的定义,存在(fn)的子列(fn),使得 (n-2)2,wk2 故Ⅶm≥1,我们有 (∪,-2≤∑2=2m- ke=m 因此,ve>0,与(fn)相应的(32)成立,从而fnf 下证充分性.我们用反证法.假定(fn)不依测度μ收敛于f, 则存在某个c,使得 lim sup山(fn-升≥e)>6>0. →0 于是存在(fn)的子列(fn),使得对一切m有(fn-升≥l)>6 显然(fn)不包含几乎一致收敛的子列.充分性得证 35定理(1)我们有 fn2母∫→ff;吗∫→f今∫ 33) (2)若为有限测度,则有fn当∫分爪吗∫ 37
3)设fn兮f则存在子列(fn),使ff 证(1)直接由定理34或定义31推出 (2)设fn当f.由定理34,ve>0,有(31)成立.于是由有限 测度的从上连续性(第一章定理33)知(32)成立,故有fn叫f 3)由定理34(3)及上述(1)推得 36注(1)定理3(2)中“→”部分通常称为 Egorof定理 (2)设(92,,)为一有限测度空间,fn,f为实值可测函数. 则由定理34(3)及定理35(2)知,为要f1分f,必须且只需对(fn) 的任一子列(fn,存在其子列(玩)使∫n∫ 作为定理34(3)的一个应用,我们有如下的 37定理设g为B上一实值 Borel可测函数,D为Rm的 一子集.又设(fA)n1为实值可测函数序列,f(为实值可测函 数,i=1,…,m.假定∫及f()在D中取值,且对1≤i<m, f0“f),则有如下结论: (1)设g(x1,…,xm)为D上的一致连续函数,则g(f fm)g(f(),…,f(m); (2)设9(x1,…,xm)为D上的连续函数.若为有限测度, 则g(fA,…,m)“g(f(),…,fm) 证往证(1)首先,由117及1130知9(f10,…,fm)为实 可测函数.设(n)为自然数列的一子序列,由定理24(3),并利用 对角线法则,可取(mn)的子列(mk),使得对每个i1≤讠≤m,有 f)吗f().由于g在D上一致连续,故易见 m)2吗g(f ,…,fm) 因此,由定理34(3)知,g(fA),…,fm)当g(f(1),…,f(m).(1) 得证.(2)的证明完全类似 习题 38设(fn)为一实值可测函数序列,则为要(fn)ae(相应