目 录 序 前言 第一章集类与测度· 1集合运算与集类… 2单调类定理（集合形式） ········ ·5 3测度与非负集函数…… 84外测度与测度的扩张 S5欧氏空间中的Lebesgue-Stieltjes测度…19 86测度的通近·… ·····…21 第二章可测映射… …24 81定义及基本性质 24 2单调类定理（函数形式）………………29 S3可测函数序列的几种收敛………………34 第三章积分………………… …40 1定义及基本性质…………………40 S2积分号下取极限 ·········· ···········…45 3不定积分与符号测度…49 4空间LP及其对偶…………61 S5 Daniell积分… ·····…··72 S6 Bochner积分和Pettis积分……………77 第四章乘积可测空间上的测度与积分………84 S1乘积可测空间 ···84 S2乘积测度与Fubini定理….....…86 3由-有限核产生的测度… …92 84无穷乘积空间上的概率测度·… ·········96 第五章Hausdorff空间上的测度与积分……99 S1拓扑空间… ·…99 S2局部紧Hausdorff空间上的测度与Riesz表现定理109 S3 Hausdorff空间上的正则测度·… ·…*··115
S4空间Co(x)的对偶 5用连续函数通近可测函数………………124 6乘积拓扑空间上的测度与积分…·126 7波兰空间上有限测度的正则性………133 第六章测度的收敛……………138 S1欧氏空间上Borel测度的收敛…138 82距离空间上有限测度的弱收敏……141 S3胎紧与Prphorov定理… …*·145 4波兰空间上概率测度的弱收敏……………148 S5局部紧Hausdorff空间上Radon测度的淡收敏…151 第七章概率论基础选讲……………157 S1事件和随机变量的独立性……157 S2条件数学期望与条件独立性……………………162 3正则条件概率………… .···174 §4 Kolmogorov相容性定理及Tulcea定理的推广…………181 S5随机变量族的一致可积性…… *187 6本性上确界…… S7解析集与Choquet容度·……200 8经典映论… ,··…207 参考文献……………… …217 名词索引…………… 218 .vi
第一章集类与测度 §1集合运算与集类 集合是现代数学的最基本的概念之一,任何一组彼此可以区 别的事物便构成一个集合.在测度论中,我们通常在某一(或某 些)给定的集合(称为空间)中讨论问题 11令9为一给定的非空集合,其元素以w记之.设A为 的子集,我们用u∈A或日A分别表示u属于A或不属于A 不含任何元素的集称为空集,以卩记之.我们用AB或BCA 表示B是A的子集,用 A∩B,AUB,A\B,A△B 分别表示A与B的交、并、差和对称差,即 AnB={u:w∈A且∈B},AUB={:u∈A或u∈B}, A\B={:w∈A且wgB},A△B=(A\B)U(B\A 我们用A°表示9\A,并称A°为A(在9中)的余集,于是有 A\B=A∩B°.有时也用AB表示A∩B.若A∩B=0,称A与 B互不相交.显然有A∩A°=0,AUA°=92 12集合交和并运算满足如下的交换律、分配律及结合律: A∩B=B∩A,AUB=BUA; (AUB)∩C=(An∩CU(B∩C), (ANBUC=(AUC)n(BUC) (AnB)nC=A∩(BnC),(AUB)UC=AU(B∪C 此外,它们关于余集运算有如下的 de Morgan公式 (AnB)°=A°UB°,(AUB)=As∩B°,(A°)°=A
13以9的某些子集为元素的集合称为(上的)集类.今 后,如无特别说明,总假定集类是非空的,即至少含一个元素(可 以是空集).设{A;,i∈为一集类,其中I为指标集,它用以给 集类元素“编号”,则可如下定义集类中元素的交与并: ∩A;={:w∈A,对一切i∈I}, i∈I UA2={:∈A,对某一i∈} 我们有相应的交换律、分配律、结合律及 de morgan公式 14设{An,n≥1}为一集合序列.若对每个m,有AnC An+1(相应地,AnAn+1),则称(An)为单调增(相应地,单调 降).二者统称为单调列对单调增或单调降序列(An),我们分别 令A=UnAn或A=∩nAn,称A为(An)的极限,通常记为 An↑A或An↓A.一般地,对任一集列(An),令 lim sup An=∩∪A, lim inf An=∪∩Ak n=l k=n m=l k 分别称其为(An)的上极限和下极限.显然有 lim sup An={u:w属于无穷多个An}, 7→0 lim inf An={:a至多不属于有限多个An} 从而恒有 lim inf An C lim sup A,若 lim inf A= lim sup An,称 n→ n→。 (An)的极限存在,并用lmAn表示(An)的极限(即令 lim An= 7→ lim inf An= lim sup An) 几→。。 15设{An,n≥1}为一集列.若(An)两两不相交(即≠ m今An∩Am=0)则常用∑An表示UnAn若有∑,An=9 称{An,n≥1}为9的一个划分
对任一集列(An),令 B1=A1,Bn=AnA…A-1,n≥2, 则{Bn,n≥1}中集合两两不相交,且有∑nBn=∪nAn这 将可列并表示为可列不交并的技巧是很有用的 16设C为一集类(约定是非空的),如果A,B∈C→A∩B∈ C(从而A1,A2,…An∈C→A1A2…,An∈C),称C对有限交封 闭如果An∈C,n≥1→∩nAn∈C,称C对可列交封闭类似可 定义“对有限并封闭”及“对单调极限封闭”等概念.令 A;:n≥1,A;∈C,i=1 2= 1 则Cnr对有限交封闭,我们称Cnf为用有限交运算封闭C所得的 集类.类似地,我们用 Uf,tSf,cs,ca,CEσ 分别表示用有限并、有限不交并、可列交、可列并及可列不交并 封闭C所得的集类.此外,我们用Cn,Jf表示(Cn)Uf,用Ca6表 示(C).今后常用这些记号,读者应熟悉并牢记它们 17命题设C为一集类,则有如下结论: (1)Cnf, uf=Cuf, nf (2)若C对有限交封闭,则CUf,Cxf,C及C亦然; (3)若C对有限并封闭,则Cn及C亦然 证直接从集合的交和并的分配律推得 现在我们用对集合运算的封闭性来划分不同类型的集类.下 面是测度论中常用的一些集类的定义 18定义设C为一集类 (1)称C为丌-类,如果它对有限交封闭 (2)称C为半环,如果0∈C,且有 A,B∈C→A∩B∈C,A\B∈Cxf